Diffraction par une pupille circulaire


Observer

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Les 2 premières fonctions de Bessel, J_0 et J_1.
Crédit : ASM

Fonctions de Bessel

La figure de diffraction d'une pupille circulaire introduit les fonctions de Bessel.

besselcirculaire.png
Coupe de la figure de diffraction, en représentation logarithmique et unité \lambda / a. Le premier zéro est à l'abscisse 1.22.
Crédit : ASM

Diffraction

L'intensité diffractée par une pupille circulaire est donnée par J_1(X) / X, avec X=\pi a \theta / \lambda, avec a le diamètre de la pupille, \lambda la longueur d'onde et \theta la direction d'observation.


Apprendre

prerequisPrérequis

Diffraction de Fraunhofer.

objectifsObjectifs

(Page à n'aborder qu'en deuxième lecture). Introduire, pour une pupille circulaire, les fonctions de Bessel, qui justifient le facteur 1.22\ \lambda / a qui dimensionne la tache de diffraction.

Diffraction par une pupille quelconque

On considère une pupille, modélisée par une ouverture plane centrée en O, et l'on note M un point de la pupille. Cette pupille est éclairée par une onde plane uniforme, monochromatique, en incidence normale. L'amplitude de l'onde diffractée dans une direction repérée par le vecteur directeur \mathbf{u} s'écrit :

A \ =\ {4\over \pi a^2}\ \int\!\!\int _{\mathrm{pupille}} A(M)\ \exp\left( i{2\pi\over\lambda} {\mathbf{OM}}.{ \mathbf{u}}\right) \ {\mathrm{d}}{M}

base.png
M est un point courant de la pupille, de coordonnées polaires (r, \psi), et \mathbf{u} porte la direction pour laquelle on recherche l'amplitude de l'onde diffractée.
Crédit : ASM

Pupille circulaire

La pupille étant circulaire, de rayon a/2, il est préférable de décrire les coordonnées du point M et de la direction de diffraction \mathbf{u} en coordonnées polaires, avec les notations suivantes :

\begin{eqnarray*} \mathbf{u} =& \sin\theta \cos\varphi \ \mathbf{i} + \sin\theta \sin\varphi \ \mathbf{j} + \cos\theta\ \mathbf{k} \\ \mathbf{OM} =& r\cos\psi\ \mathbf{i} + r\sin\psi \ \mathbf{j} \\ {\mathrm{d}} M =& r {\mathrm{d}} r {\mathrm{d}} \psi \end{eqnarray*}

(\mathbf{k} est le vecteur normal au plan de la pupille). L'amplitude de l'onde diffractée dans la direction \mathbf{u} faisant un angle \theta avec l'axe optique s'écrit alors, en supposant l'amplitude incidente uniforme :

A \ =\ A_0 \ \int_0^{a/2} r {\mathrm{d}} r \int_0^{2\pi} \exp\left( i{2\pi\over\lambda} r \sin\theta \cos (\varphi-\psi)\right)\ {\mathrm{d}}\psi

On introduit les fonctions de Bessel, dont les 2 premiers termes sont, par définition :

\begin{eqnarray*} J_0 (X) =& \displaystyle{{1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \exp \bigl[-iX \cos v \bigr]\ {\mathrm{d}} v}\\ J_1 (X) =& \displaystyle{{1\over X}\ \int_0^{X} u J_0 (u)\ {\mathrm{d}} u}\\ \end{eqnarray*}

L'amplitude diffractée dans une direction faisant un petit angle \theta par rapport à l'axe optique, devient :

A (X) \ = \ 2 A_0 \ {J_1 (X) \over X} \ \ \mathrm{ avec } \ \ X \ = \ {\pi a \sin\theta \over \lambda} \ \simeq\ {\pi a \theta \over \lambda}

demonstrationDémonstration

Les calculs passent par les changements de variables

\begin{eqnarray*} v =& \varphi-\psi \ ; \ {\mathrm{d}} v = - {\mathrm{d}} \psi\\ u =& 2\pi\sin\theta r / \lambda \ ; \ {\mathrm{d}} u = 2\pi\sin\theta / \lambda\ {\mathrm{d}} r \\ \end{eqnarray*}

L'intensité diffractée dans la direction \theta s'écrit donc :

I(\theta) \ \propto \ \left({J_1 \left(\displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}\right) \over \displaystyle{\pi a \theta\over \lambda}} \right)^2

Zéros, anneaux et largeur à mi-hauteur

Pour X voisin de 0, J_1(X)\sim X/2. Par ailleurs, le premier zéro de la fonction J_1 (X) est pour X \simeq 3.832 = 1.22 \times \pi. La largeur à mi-hauteur du pic central de diffraction, supposée égale à la demi-largeur entre les 2 zéros de part et d'autre du pic central, s'écrit en fonction du diamètre de la pupille a et de la longueur d'onde \lambda :

1.22 \ {\lambda \over a}

La figure de diffraction s'annule ensuite pour les rayons 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unité \lambda /a. Les anneaux lumineux ont comme rayon, dans la même unité : 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71...