Rayonnement thermique


Loi du corps noir et lois dérivées

L'agitation thermique des particules constituant un corps produit un rayonnement continu, dans tout le spectre électromagnétique. Ce rayonnement thermique est décrit par la loi du corps noir (absorbant parfait).

Le Soleil, comme la plupart des étoiles, rayonne comme un corps noir. La loi fondamentale, la loi de Planck, donne l'intensité (autrement appelée luminance) en fonction de la longueur d'onde :

I_\lambda=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}       \hspace{2cm}W.m^{-2}.sr^{-1}.m^{-1}

avec :

h la constante de Planck (h=6,6 10-34 J.s), c la vitesse de la lumière (c=3 108 m.s-1) et k_B la constante de Boltzman (k_B=1,38 10-23 J.K-1)

L'intensité décrit donc la puissance rayonnée par unité de surface, d'angle solide et de longueur d'onde. La figure ci-contre montre la courbe d'intensité pour des étoiles de température différente en fonction de la longueur d'onde. Deux points sautent aux yeux :

  1. Le maximum de l'intensité est d'autant plus élevé que la température de surface de l'étoile est grande
  2. La longueur d'onde du pic de maximum d'intensité se décale vers les petites longueurs d'onde (vers le bleu) avec l'augmentation de la température de surface de l'étoile

Ces deux remarques sont exprimées par deux lois lois simplifiées déduites de la loi de Planck.

images/planck2.png
Intensité du spectre électromagnétique en fonction de la longueur d'onde pour des étoiles de température de surface différente. Ces courbes sont l'illustration de la loi de Planck. Les domaines UV, X et gamma sont vers la gauche de la figure, l'infra-rouge et la radio vers la droite.
Crédit : Adapté du graphe original de Glenn Elert - http://hypertextbook.com/physics/

Lois dérivées de la loi du corps noir

Loi de Wien

La loi de Wien relie la longueur d'onde maximale lambda_max à la température de surfaceT  :

lambda_max*T = 2897  μm.K

Nous retrouvons bien que plus une étoile est chaude plus la longueur d'onde du maximum d'intensité est petite (vers le bleu).

loi de Stephan

La loi de Stephan donne l’émission totale (en tenant compte de toutes les longueurs d'onde) du corps par unité de surface :

E = \sigma  T^4 \hspace{2cm} W.m^{-2}

Avec σ = 5,6698 x 10-8 W.m-2.K-4

Les basses fréquences

Enfin, considérons le cas où le terme dans l'exponentielle de la loi de Planck est petit :

\frac{hc}{\lambda k_B T} \ll 1

La loi de Planck se simplifie alors pour donner la loi de Rayleigh-Jeans :

I = 2ck_B \lambda^{-4}T

Dans le cas des basses fréquences (grandes longueurs d'onde), l'intensité est directement proportionnelle à la température.


Exercice

exerciceApplications des lois du corps noir

Données :

Question 1)

Loi de Wien

1a) Déterminez la température (dite effective) du Soleil T_soleil sachant que son pic d'émission (lambda_max) se situe à 500 nm. Même question pour la Terre T_terre( lambda_max = 9,6 μm).

1b) Calculez le rapport de température T_soleil / T_terre.

Question 2)

Loi du corps noir : limite des basses fréquences

2a) A partir des résultats précédents, déterminer la longueur d'onde minimale pour l'utilisation de la loi de Rayleigh-Jeans dans le cas du Soleil et de la Terre.

2b) A quelle domaine de longueur d'onde / fréquence avons-nous à faire ?

Question 3)

Loi de Stephan

A partir des résultats précédents, calculez l’émission totale du Soleil (à sa surface) ainsi que celle de la Terre. Une analyse dimensionnelle explicite des résultat est demandée.

Question 4)

Constante solaire

En déduire l'énergie solaire par unité de surface reçue au niveau de la Terre (appelée constante solaire C : elle est mesurée au-dessus des nuages). Dans l’exercice on négligera la hauteur des nuages au-dessus de la surface de la Terre devant la distance Soleil-Terre.


Réponses aux exercices

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Exercice 'Applications des lois du corps noir'