Nous avons vu que les éclipses de Soleil et de Lune se produisent lorsque les syzygies (la conjonction et l'opposition de la Lune) ont lieu avec le soleil apparent au voisinage de la direction de la ligne des nœuds de l'orbite lunaire. Le retour d'une même phase lunaire est lié à la révolution synodique « L » (29,5305888532 jours) de la Lune. Le retour du Soleil dans la direction de la ligne des nœuds au moment des syzygies est équivalent au retour de la Lune près de ses nœuds, ce retour est lié à la révolution draconitique « G » (27,212220817 jours) de la Lune. Une période de récurrence des éclipses doit donc être un multiple commun à ces deux périodes.

On doit donc déterminer deux nombres x et y tel que x.G=y.L ou encore tel que x/y=L/G.

Les valeurs possibles pour x et y se calculent en utilisant la méthode de décomposition des réels en fractions continues.

Le rapport L/G est égal à 1,085195841, il s'écrit sous forme réduite : (1;11,1,2,1,4,3,5,1). Ce qui donne pour x et y les solutions suivantes :

Le cycle correspondant à la solution 242/223, soit 223 lunaisons, est connu à tort sous le nom de saros. 223 lunaisons sont égales à 6585,321314 jours et 242 révolutions draconitiques sont égales à 6585,357436 jours, la différence 242L - 223L est de 0,03612 jour, soit 52 minutes.

On exprime parfois cette période en années et en jours, mais cela n'est pas recommandé, car 6 585 jours donnent 18 ans, plus 10 ou 11 ou 12 jours, cela dépend du nombre d'années bissextiles comprises dans les 18 années (5,4 ou 3), il est préférable de garder cette expression en jours.

Le saros ramène également le Soleil près des noeuds, il doit donc être aussi un multiple de l'année des éclipses E (346,62 jours) et l'on a bien 19 E = 6585,78 jours, l'écart avec le saros n'est que de 0,46 jour. Cette condition, moins stricte que le retour de la Lune à son noeud entraîne une légère évolution des éclipses d'un saros à l'autre.

Les inégalités dans le mouvement du soleil apparent sont également fonction de sa position angulaire par rapport à son périgée (périhélie de la Terre), cet angle porte le nom d'anomalie. La période de révolution qui ramène le soleil apparent à son périgée (ou la Terre à son périhélie), s'appelle révolution anomalistique ou année anomalistique et elle est égale à : a = 365,2596 jours.

Or 18 a = 6574,67 jours, l'écart avec le saros est de 10,65 jours, donc au bout d'un saros le soleil apparent ne s'est déplacé que de 10° sur son orbite par rapport à sa position un saros plus tôt, ce qui correspond à un décalage de 10° vers l'est parmi les constellations zodiacales.

Edmont Halley (1656 - 1742) publia en 1961 dans les Philosophical Transactions un mémoire dans lequel il proposait de corriger un passage de l'Histoire naturelle de Pline l'Ancien (23 - 79 ap. J.-C.) où il était question de la période de récurrence des éclipses (Histoire Naturelle, II, 56). Le texte est le suivant : " Il est sûr que les éclipses se reproduisent dans le même ordre au bout de 222 mois ". Sur d'autres manuscrits on trouve les valeurs de 213 et 293 mois. Halley corrige à juste titre la valeur de 222 mois en 223 mois.

En consultant une encyclopédie byzantine du X^e siècle, la Souda, il trouva la mention du mot saros dans le texte suivant " Saros, mesure et nombre chez les Chaldéens. Un saros contient 222 mois lunaires qui font 18 ans et 6 mois. 120 saros correspondent à 2222 années ". Croyant à tort que la Souda dépendait ici de Pline, Halley en conclut que les Chaldéens appelaient saros la période de 223 ans de Pline.

Le terme sar en sumérien a le sens d'univers, et en temps que nombre, il représente la quantité 3600. Dans le sens de 3 600 ans le terme saros est utilisé par Berossos (~290 avant J.-C.) et après lui par Abydenus (deux siècles avant J.-C.) puis par Synkellos en l'an 800 après J.-C.

La Souda nomme saros une période de 222 mois lunaires et dit explicitement qu'elle correspond à 18 ans et 6 mois avec une année de 12 mois lunaires. La période portant le nom de saros chez les Chaldéens n'a donc rien à voir avec les éclipses.

L'erreur de Halley a été dénoncée par l'astronome Guillaume Le Gentil de La Galaisière (1725 - 1792) dans deux articles très critiques publiés en 1756, alors que Montucla refait l'erreur d'Halley dans son Histoire des mathématiques (1758). D'autres astronomes et historiens essaieront en vain de corriger l'erreur d'Halley : Ideler en 1825, Tannery en 1893, Schiaparelli en 1908, Bigourdan en 1911 et Pannekoek en 1917.

Cette erreur sera amplifiée par la légende de Thalès de Milet (VI^e siècle avant J.-C.) rapportait par Hérodote (484 à 425 avant J.-C.) dans l'Enquête (p. 174) Thalès avait prédit aux Ioniens un obscurcissement du Soleil " pour l'année dans laquelle elle se produisit ". Cette éclipse aurait permis de mettre fin à une guerre entre les Mèdes et les Lydiens.

Le saros comporte 38 saisons d'éclipses, revenant en moyenne toutes les 5 ou 6 lunaisons. À chaque saison d'éclipses il y a au moins deux éclipses et parfois trois éclipses. En moyenne un saros comprend 84 éclipses, réparties en 42 éclipses de Soleil et 42 éclipses de Lune.

Les 42 éclipses de Lune se répartissent de la manière suivante : 14 éclipses par la pénombre, 28 éclipses par l'ombre dont 14 éclipses partielles et 14 éclipses totales.

Les 42 éclipses de Soleil se répartissent de la manière suivante : 14 éclipses partielles et 28 éclipses centrales.

Ce nombre d'éclipses par saros est une valeur moyenne, en réalité il existe des saros riches pouvant atteindre jusqu'à 94 éclipses (47 de chaque) et des saros pauvres comportant 78 éclipses.

Les canons d'éclipses construits à l'IMCCE comportent 28512 éclipses sur une période de 5999 ans, soit en moyenne 4,7528 éclipses par an et 85,7 éclipses par saros (valeur que l'on peut arrondir à 86). Cette valeur est légèrement plus forte que la valeur moyenne (84). On retrouve le saros moyen du canon d'Oppolzer, construit sur une période plus courte, qui est de 86 éclipses.