Le TP se déroulera suivant le plan suivant :
Ce TP peut avoir comme prolongement le travail par Internet puisque images, catalogues d’étoiles et éphémérides sont disponibles sur Internet.
Ayant vu comment l'image se formait derrière un télescope, on va choisir le télescope adéquat pour obtenir des images permettant d'effectuer les mesures.
La mesure de la position des astéroïdes, des satellites des planètes et des comètes est essentielle à plusieurs titres:
Nous allons donc étudier des images de ces corps, détecter ceux-ci, les identifier et mesurer leurs positions.
Ces objets ne sont visibles depuis la Terre que comme des petits points lumineux sans diamètre apparent semblables aux étoiles. Seul leur mouvement trahit leur présence et c’est le changement de position en quelques minutes qui va trahir leur présence. Les comètes sont souvent entourées d’un halo lumineux : la chevelure et la queue.
Ci-contre, deux images de l’astéroïde (53) Kalypso prises le 22 septembre 2000 à une demie heure d’intervalle. On détecte l’astéroïde grâce à son déplacement entre les deux poses. Les éphémérides donnent aussi sa position qui permet de le retrouver parmi les étoiles.
La technique photographique ou d'imagerie électronique se pratique donc avec un télescope fournissant une image d'une partie du ciel, un "champ" dont la dimension est mesurée en angle sur le ciel.
Bien que l'on connaisse a priori la distance focale du télescope utilisé, celle-ci n'est pas connue avec suffisamment de précision pour transformer des mesures en millimètres sur l'image en angles sur le ciel. Pour cela, il est nécessaire d'avoir une image de l'objet inconnu entouré d'images d'étoiles de catalogue dont on connaît très précisément les coordonnées. Le processus de réduction astrométrique va permettre de calculer l'échelle de l'image qui transformera des millimètres en angle et l'orientation qui indiquera la direction de l'est selon l'équateur céleste. Cela nous conduira aux positions en ascension droite et déclinaison cherchées. Ce processus de réduction astrométrique doit être appliqué pour chaque image pour plusieurs raisons:
Ces effets sont pris en compte en introduisant des inconnues dans le processus de réduction. Un plus grand nombre d'étoiles de rattachement est alors nécessaire pour étalonner le champ observé. La haute précision astrométrique est à ce prix.
Les catalogues d'étoiles ont beaucoup progressé au cours des dernières années et on dispose actuellement d'un "bornage" dense du ciel par les étoiles de catalogue.
On trouvera ci-dessous le processus d'identification d'objet et de choix d'étoiles d'étalonnage dans le cas du satellite Phoebe de Saturne (que l'on observe comme un astéroïde).
Ci-contre, en premier, le champ du satellite Phoebé de Saturne, pris le 21 mars 1998 à 2h 52m UTC à l'observatoire de Haute Provence (champ de 12 minutes de degré, télescope de 120cm). On identifie l'astre mobile de deux manières:
L'objet mobile Phoebé est indiqué par la flèche jaune.
Il reste à identifier des étoiles connues de catalogue qui permettront d'étalonner le champ (détermination de l'échelle en angle par millimètre et de l'orientation par rapport au repère équatorial des ascensions droites et des déclinaisons). Ci-dessus une carte de champ extraite du "Guide Star catalogue", un catalogue très dense d'étoiles construit pour permettre le pointage du Télescope Spatial.
Nous allons appliquer cette méthode au champ de l'astéroïde Kalypso et utiliser le catalogue USNO A2 à la place du Guide Star Catalogue qui contient ne contient pas assez d'étoiles pour ce champ.
Ci-dessus à droite le champ de l'astéroïde (53) Kalypso pris le 22 septembre 2000 avec le télescope de 120 cm de l'observatoire de Haute-Provence. le champ fait 12 x 12 minutes de degré. l'astéroïde est brillant (magnitude 12) et aisément identifiable. Sur l’image de gauche prise à une autre date (DSS), l'astéroïde n'est pas présent.
Connaissant la position approchée de l’astéroïde, on peut tracer une carte des étoiles du champ observé à partir d’un catalogue. Il faudra identifier les étoiles du catalogue sur l’image observée pour pouvoir effectuer le rattachement de la position de l’astéroïde aux étoiles connues. Ces étoiles vont nous permettre d’étalonner le champ, d’en déterminer les constantes.
Nous utiliserons le catalogue USNO A2 qui contient 526 millions d’étoiles et donc un grand nombre d’étoiles de notre champ. Le tracé de ces étoiles est fourni ci-après dans le troisième document servant à la réalisation du TP. L'objet brillant au centre, non reconnu comme étoile du catalogue, est l'astéroïde (53) Kalypso
Ce type de carte de champ peut être obtenu sur le serveur du Centre de Données Astronomiques de Strasbourg. On lui fournit les coordonnées du centre du champ et on visualise une image du champ avec les étoiles de catalogue.
Pour effectuer le calcul à la main de la position de l'astéroïde Kalypso, on utilisera les documents papiers accompagnant le TP. Ces documents, présentés ci-après, pourront être photocopiés ou imprimés à partir des fichiers.
Quatrième document: la table des positions des étoiles du catalogue destinées au calcul de l'échelle.
positions théoriques des étoiles du catalogue USNO A2 repérées sur l'image
| Identificateur | Ascension droite | Déclinaison | Magnitude |
|---|---|---|---|
| 82520053748 | 23 54 52.542 | -05 41 20.51 | 12.40 |
| 82520053126 | 23 54 43.819 | -05 38 19.71 | 12.50 |
| 82520052478 | 23 54 33.875 | -05 37 21.41 | 12.50 |
| 82520051997 | 23 54 26.803 | -05 43 06.50 | 12.80 |
| 82520055017 | 23 55 07.756 | -05 41 12.72 | 13.30 |
| 82520052983 | 23 54 41.765 | -05 47 48.88 | 13.90 |
| 82520054578 | 23 55 02.377 | -05 38 51.13 | 14.30 |
| 82520052326 | 23 54 31.498 | -05 41 15.74 | 14.70 |
| 82520054253 | 23 54 58.399 | -05 43 59.81 | 14.90 |
| 82520052090 | 23 54 28.026 | -05 44 01.35 | 15.00 |
| 82520052287 | 23 54 30.910 | -05 48 17.70 | 15.30 |
| 82520055220 | 23 55 10.202 | -05 43 09.38 | 15.70 |
| 82520053548 | 23 54 50.166 | -05 43 00.56 | 15.80 |
| 82520052631 | 23 54 36.460 | -05 42 09.80 | 15.80 |
| 82520055374 | 23 55 11.900 | -05 42 30.74 | 15.90 |
| 82520052714 | 23 54 37.482 | -05 37 54.20 | 16.10 |
| 82520054604 | 23 55 02.720 | -05 40 35.10 | 16.20 |
| 82520054676 | 23 55 03.555 | -05 39 06.47 | 16.20 |
| 82520054236 | 23 54 58.238 | -05 44 44.29 | 16.40 |
| 82520053162 | 23 54 44.374 | -05 44 26.35 | 16.40 |
| 82520052426 | 23 54 33.115 | -05 37 38.89 | 16.60 |
| 82520053306 | 23 54 46.732 | -05 37 39.43 | 16.70 |
| 82520054010 | 23 54 55.667 | -05 45 58.29 | 16.70 |
| 82520052467 | 23 54 33.765 | -05 40 51.53 | 16.90 |
| 82520052859 | 23 54 39.897 | -05 43 57.57 | 17.10 |
| 82520053989 | 23 54 55.368 | -05 43 06.07 | 17.20 |
| 82520053848 | 23 54 53.706 | -05 42 47.13 | 17.20 |
| 82520054369 | 23 54 59.647 | -05 42 20.52 | 17.30 |
| 82520054733 | 23 55 04.462 | -05 42 14.82 | 17.30 |
| 82520052502 | 23 54 34.472 | -05 44 27.53 | 17.40 |
| 82520053512 | 23 54 49.552 | -05 40 09.49 | 17.50 |
| 82520054773 | 23 55 04.940 | -05 47 03.27 | 17.60 |
| 82520054929 | 23 55 06.888 | -05 38 52.18 | 17.60 |
| 82520052014 | 23 54 27.025 | -05 48 48.26 | 17.70 |
| 82520054178 | 23 54 57.649 | -05 40 16.77 | 17.90 |
| 82520052708 | 23 54 37.362 | -05 45 42.49 | 18.00 |
| 82520052595 | 23 54 35.776 | -05 44 31.15 | 18.00 |
| 82520053211 | 23 54 45.163 | -05 46 20.79 | 18.10 |
| 82520053113 | 23 54 43.660 | -05 39 38.96 | 18.50 |
| 82520052625 | 23 54 36.232 | -05 39 14.89 | 18.50 |
Cinquième document: la feuille de calcul. Cette feuille donne la succession des étapes de calcul afin d'arriver à la position de l'astéroïde Kalypso par interpolation des mesures effectuées sur le premier document.
Cette feuille permet d'effectuer les calculs qui permettront de déterminer les positions alpha(a) et delta(a) de l'astéroïde à partir de ses positions mesurées Xa et Ya et des positions théoriques des étoiles alpha(i), alpha(j), ... et delta(i), delta(j),... grâce aux formules suivantes:
alpha(a) = alpha(i) + {(alpha(i)-alpha(j))/(Xj-Xi)} x (Xa-Xi)
delta(a) = delta(i) + {(delta(i)-delta(j))/(Yj-Yi)} x (Ya-Yi)
| Valeurs de i, j (étoiles choisies) | calcul en ascension droite | valeurs numériques | calcul en déclinaison | valeurs numériques |
|---|---|---|---|---|
| alpha(i) sexagésimal | delta(i) sexagésimal | |||
| alpha(i) décimal | delta(i) décimal | |||
| alpha(j) sexagésimal | delta(j) sexagésimal | |||
| alpha(j) décimal | delta(j) décimal | |||
| alpha(j)-alpha(i) décimal | delta(j)-delta(i) décimal | |||
| Xi | Yi | |||
| Xj | Yj | |||
| Xj-Xi | Yj-Yi | |||
| Position mesuré de l'astéroïde: | Xa | Ya | ||
| Xa-Xi | Ya-Yi | |||
| Echelles de l'image: | échelle en ascension droite: (alpha(j)-alpha(i))/(Xj-Xi) | échelle en déclinaison: (delta(j)-delta(i))/(Yj-Yi) | ||
| alpha(a) décimal = alpha(i)+échelle x (Xa-Xi) | delta(a) décimal = delta(i)+échelle x (Ya-Yi) | |||
| Résultat: | alpha(a) sexagésimal | delta(a) sexagésimal |
On va maintenant voir le résultat du calcul précis effectué en étalonnant le champ comme indiqué dans le cours à l’aide de constantes de cible pour déterminer l’échelle, l’orientation et les déformations du champ..
Notons que si un grand nombre de calcul à la main sont réalisés simultanément avec des étoiles et des mesures différentes, on constatera que la majorité des résultats seront proches du bon résultat.
On comparera également les résultats aux valeurs théoriques calculées avec les modèles dynamiques du mouvement de l'astéroïde Kalypso (grâce aux serveurs sur Internet indiqués sur la page des liens Internet). Ces valeurs théoriques, données dans les pages suivantes avec la valeur observée précise, montrent qu'elles diffèrent selon le modèle utilisé et qu'il est donc utile d'effectuer des observations qui aideront à améliorer les modèles utilisés.
Le catalogue USNO A2 contient beaucoup d'étoiles et toutes ne sont pas susceptibles de servir pour l'étalonnage du champ: il faut choisir des étoiles bien ponctuelles (pour en déterminer la position avec précision), pas trop brillantes (les étoiles brillantes ont un mouvement propre dont nous ne tenons pas compte ici) et bien situées par rapport à Kalypso (on diminue l'erreur sur la mesure en choisissant des étoiles éloignées mais situées de part et d'autre de Kalypso).
Les étoiles dans un cercle jaune sont les étoiles sélectionnées pour l'étalonnage; les étoiles barrées d'une croix rouge sont celles qui se sont avérées mauvaises, comme on le verra dans l'algorithme de calcul présenté à la page suivante.
Le calcul de l'échelle du cliché (passage des positions mesurées en millimètres aux positions angulaires -ascension droite et déclinaison-) se fait à partir des positions des étoiles du catalogue. Deux étoiles suffisent mais l'emploi de plusieurs autres étoiles et la moyenne des mesures vont augmenter la précision.
Une fois les mesures sur l'image réalisées et les étoiles de catalogue choisies, le logiciel va déterminer la transformation qui fera passer des millimètres sur l'image aux positions angulaires sur le ciel. La précision et la qualité du calcul sera estimée grâce aux étoiles en surnombre: comme nous avons plus de données que nécessaires, le logiciel doit résoudre un système comportant plus d'équations que d'inconnues. La méthode des moindres carrés est une méthode statistique qui va minimiser les erreurs commises. Chaque étoile va se positionner par rapport aux autres avec un "résidu" d'autant plus grand que la position théorique ou mesurée de l'étoile est mauvaise, c'est-à-dire incompatible avec celle des autres étoiles.
#-------------------------------------------------------------------------------- # > Parametres de la réduction : # + Date : 22/09/2000 # + Heure (UTC) : 22 h 22 m 37,9 s # + Jour julien : 2451810.432383 # # + Nombre d'objets réduits : 1 # + Nombre d'étoiles choisies : 11 # + Degré du polynôme : 1 # + Nombre de coefficients de la transformation : 2x4 # # > Solution astrométrique (position alpha et delta de Kalypso) : # ascension droite: 23h 54m 46,1440s déclinaison: -05° 43' 4,547" # # > Constantes de la transformation: # + en X : A(1) = 0.00139 +/- 0.27833 # A(2) = -0.00439 +/- 0.00170 # A(3) = 0.68412 +/- 0.00120 constante donnant l'échelle en X (est-ouest) de l'image en secondes de degré par pixel # A(4) = 0.00000 +/- 0.00001 # + en Y : B(1) = -0.01200 +/- 0.17874 # B(2) = 0.68352 +/- 0.00109 constante donnant l'échelle en Y (nord-sud) de l'image en secondes de degré par pixel # B(3) = 0.00328 +/- 0.00077 # B(4) = 0.00000 +/- 0.00001 # # > Résidus pour chaque étoile (en secondes de degré en ascensuin droite et en déclinaison) : # alpha delta # 2 1.80590 0.12206 UA2_082520053848 # 2 0.31413 -0.45747 UA2_082520053162 # 2 -0.74127 0.93308 UA2_082520054010 # 2 -0.32438 -0.78833 UA2_082520054236 # 2 0.31699 0.02706 UA2_082520055220 # 2 -1.25452 0.43274 UA2_082520054604 # 2 0.34332 -0.38676 UA2_082520054178 # 2 0.03323 0.40231 UA2_082520053512 # 2 -0.28936 -0.19379 UA2_082520052467 # 2 -0.24685 0.45504 UA2_082520052631 # 2 -0.11133 0.10896 UA2_082520052859
L'étoile UA2_082520053848 ayant un résidu très fort, on va recommencer le calcul en l'éliminant.
#-------------------------------------------------------------------------------- # > Parametres de la réduction : : # + Date : 22/09/2000 # + Heure (UTC) : 22 h 22 m 37,9 s # + Jour julien : 2451810.432383 # # + Nombre d'objets réduits : 1 # + Nombre d'étoiles choisies : 10 # + Degré du polynôme : 1 # + Nombre de coefficients de la transformation: 2x4 # # > Solution astrométrique (position alpha et delta de Kalypso) : # 1 ascension droite: 23h 54m 46,1328s déclinaison: -05° 43' 4,552" # # > Constantes de la transformation: # + en X : A(1) = 0.00087 +/- 0.19587 # A(2) = -0.00433 +/- 0.00115 # A(3) = 0.68396 +/- 0.00081 constante donnant l'échelle en X (est-ouest) de l'image en secondes de degré par pixel # A(4) = 0.00000 +/- 0.00001 # + en Y : B(1) = -0.01304 +/- 0.20234 # B(2) = 0.68353 +/- 0.00118 constante donnant l'échelle en Y (nord-sud) de l'image en secondes de degré par pixel # B(3) = 0.00327 +/- 0.00083 # B(4) = 0.00000 +/- 0.00001 # # > Résidus pour chaque étoile (en secondes de degré en ascension droite et en déclinaison) : # alpha delta # 2 0.48937 -0.45143 UA2_082520053162 # 2 -0.52822 0.94044 UA2_082520054010 # 2 -0.10951 -0.78090 UA2_082520054236 # 2 0.56728 0.03574 UA2_082520055220 # 2 -1.03071 0.44049 UA2_082520054604 # 2 0.54311 -0.37985 UA2_082520054178 # 2 0.19516 0.40790 UA2_082520053512 # 2 -0.19164 -0.19043 UA2_082520052467 # 2 -0.12136 0.45936 UA2_082520052631 # 2 0.04638 0.11439 UA2_082520052859 #--------------------------------------------------------------------------------
On va éliminer les trois étoiles UA2_082520054010 UA2_082520053162 UA2_082520054604, qui ont un résidu trop important.
#-------------------------------------------------------------------------------- # > Paramètres de la réduction : # + Date : 22/09/2000 # + Heure (UTC) : 22 h 22 m 37,9 s # + Jour julien : 2451810.432383 # # + Nombre d'objets réduits : 1 # + Nombre d'étoiles choisies : 7 # + Degré du polynôme : 1 # + Nombre de coefficients de la transformation : 2x4 # # > Solution astrométrique (position alpha et delta de Kalypso) : # 1 ascension droite: 23h 54m 46,1381s déclinaison: -05° 43' 4,635" # # > Constantes de la transformation : # # + en X : A(1) = 0.03729 +/- 0.05869 # A(2) = -0.00371 +/- 0.00040 # A(3) = 0.68499 +/- 0.00022 constante donnant l'échelle en X (est-ouest) de l'image en secondes de degré par pixel # A(4) = 0.00000 +/- 0.00000 # + en Y : B(1) = 0.00032 +/- 0.21348 # B(2) = 0.68418 +/- 0.00145 constante donnant l'échelle en Y (nord-sud) de l'image en secondes de degré par pixel # B(3) = 0.00277 +/- 0.00079 # B(4) = 0.00000 +/- 0.00001 # # > Résidus pour chaque étoile (en secondes de degré en ascension droite et en déclinaison) : # alpha delta # 2 -0.17783 -0.36279 UA2_082520054236 # 2 0.13728 0.47162 UA2_082520055220 # 2 -0.03863 -0.40857 UA2_082520054178 # 2 -0.10602 0.38440 UA2_082520053512 # 2 0.04433 -0.20424 UA2_082520052467 # 2 -0.01781 0.42496 UA2_082520052631 # 2 0.05272 0.10933 UA2_082520052859 #--------------------------------------------------------------------------------
Les résidus sont maintenant convenables et on va adopter la position calculée de Kalypso:
alpha = 23h 54m 46,1381s; delta = -05° 43' 4,635"
On pourra comparer les valeurs trouvées à la main avec cette valeur ou avec les valeurs calculées par les serveurs d'éphémérides de l'Institut de mécanique céleste (IMCCE), du Jet Propulsion Laboratory (NASA) ou du MPC (Minor Planet Center).
Valeur de l'IMCCE: alpha = 23h 54m 46,09s; delta = -5° 43' 5,13"
Valeur du MPC: alpha = 23h 54m 46s; delta = -5° 43' 0"
Valeur du JPL: alpha = 23h 54m 45,53s; delta = -5° 43' 9,6"
Tout ce qui a été effectué dans les pages précédentes peut être refait en utilisant Internet. On peut: