La figure 1 montre le schéma d'une éclipse de Soleil et d'une éclipse de Lune. Par le plus pur hasard, les diamètres apparents de la Lune et du Soleil vus depuis la surface de la Terre sont presque égaux (nous les supposerons strictement les mêmes dans la suite).

En supposant que le rayon de la Terre est très petit devant celui du Soleil, on voit sur la figure 2 que l'angle du cône d'ombre de la Lune est approximativement égal à l'angle du cône d'ombre de la Terre.

donc

alors et comme

on obtient :

On voit alors sur la figure 3, en reportant le cône d'ombre de la Lune à côté de celui de la Terre, que le diamètre de la Terre est égal à la somme du diamètre de l'ombre de la Terre (à la distance de la Lune) et du diamètre de la Lune.

Si D_O est le diamètre de l'ombre de la Terre à la distance de la Lune, D_L le diamètre de la Lune et D_T le diamètre de la Terre, on a

D_T = D_L+D_O qui donne , en posant . Or k est également égal au rapport du diamètre angulaire de l'ombre de la Terre (à la distance de la Lune) par le diamètre angulaire de la Lune, et peut être estimé observationnellement. Connaissant alors le diamètre absolu de la Lune et son diamètre apparent, il est aisé de calculer sa distance.

Eclipse de Soleil (en haut) et éclipse de Lune (en bas)

Crédit : ASM

Comparaison des cônes d'ombre de la Lune et de la Terre

Crédit : ASM

Le diamètre de la Terre D_T (en rouge) est la somme du diamètre de la Lune D_L (orange) et du diamètre de l'ombre de la Terre au niveau de la Lune D₀ (blanc).

Crédit : ASM

Eclipse du 09 nov 2003

Images de l'éclipse de Lune du 9 novembre 2003

Crédit : Nicolas Bivert

Eclipse du 09 nov 2003

Images de l'éclipse de Lune (couleurs inversées)

Crédit : ASM / Nicolas Bivert

Commencer par tracer des points sur le bord de la Lune et sur le bord de l'ombre. Choisir ensuite des couples de points sur l'un ou l'autre des bords et tracer la médiatrice à la règle et au compas. Ceci donnera une zone possible pour le centre de la Lune et pour le centre de l'ombre, le centre d'un cercle devant être sur la médiatrice de n'importe quel segment composé de deux point du cercle. Choisir un centre pour la Lune et un pour l'ombre et mesurer le rayon de la Lune et celui de l'ombre. Estimer l'erreur sur chacune de ces mesures. Donner une estimation de k puis du rapport entre le rayon de la Lune et celui de la Terre.

Le rapport k peut être déduit des éphémérides en calculant le rapport du rayon de l'Ombre (U. Radius) par le demi diamètre de la Lune (S.D.).

Comparer avec les résultats observationnels et commenter.

Les contacts

P1 : premier contact extérieur avec la pénombre, O1 : premier contact extérieur avec l'ombre, O2 : premier contact intérieur avec l'ombre, O3 : dernier contact intérieur avec l'ombre, O4 : dernier contact extérieur avec l'ombre et P4 : dernier contact extérieur avec la pénombre.

Crédit : ASM

Si l'on arrive à mesurer les instants de ces contacts, il est alors possible de calculer k. En effet, le temps mis par la Lune pour parcourir son diamètre angulaire est égal à O2-O1 ou O4-O3. De même, le temps mis par la Lune pour parcourir l'ombre de la Terre est O3-O1 ou O4-O2. Le rapport k est donc égal, par exemple, à .

Ces calculs ne sont exacts que si le centre de la Lune passe par le centre de l'ombre de la Terre. C'est rarement le cas comme le montre les éphémérides des éclipses des 21 janvier 2000 et 9 janvier 2001. On voit sur les graphiques de ces éclipses que O2-O1 ou O4-O3 est plus grand que le temps mis par la Lune pour parcourir son diamètre et que O3-O1 ou O4-O2 est au contraire plus petit que le temps mis pour parcourir l'ombre de la Terre sur un de ses diamètre. Le calcul précédent donne donc une valeur majorante de la taille de la Lune.

Quelles valeurs trouve-t-on pour ces deux éclipses ?

Une méthode assez simple à mettre en oeuvre consiste à masquer la Lune avec une bille de diamètre connu et à l'éloigner jusqu'à ce qu'elle coïncide avec la Lune. Le rapport entre le diamètre de la bille et sa distance par rapport à l'oeil de l'observateur est égal à celui du diamètre de la Lune et de la distance Terre-Lune (d'après le théorème de Thalès).

Un montage simple peut être imaginé pour réaliser cette expérience qui peut être faite sur la pleine Lune avant ou après l'éclipse.

La distance Terre-Lune est alors égale au diamètre absolu de la Lune divisé par la tangente de son diamètre angulaire. Faire le calcul avec les données fournies par les éphémérides. Comparer avec les distances réelles données par la parallaxe de la Lune (valeur H.P. dans les tables) dans les éphémérides.

Conclusion ?

La distance moyenne Terre-Lune peut également être déduite par la gravitation. Connaissant le rayon de la Terre par la méthode d'Érathostène (R_T ≈ 6 400 km) et la valeur de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre (g = 9,78 m.s^-2 à l'équateur), on peut en déduire la valeur de la constante GM par la formule .

En supposant que la masse de la Lune est négligeable devant celle de la Terre (elle est de 1/81 masse terrestre), la troisième loi de Kepler nous donne : où a est la distance Terre-Lune et P est la période de rotation anomalistique de la Lune autour de la Terre (P=27,55 jours correspondant au temps écoulé entre deux passages au périgée).

Calculer la masse de la Terre et la distance Terre-Lune par cette méthode.