La TF permet la recherche de composantes périodiques dans un signal. Les signaux ci-contre sont équivalents. L'un correspond à une série temporelle, l'autre à son spectre de Fourier.
L'astérosismologie est un sujet en plein développement, dont les observations se basent sur de longues séries temporelles, pour l'identification des modes propres d'oscillations dans le spectre de Fourier.
Utiliser la TF pour la recherche de phénomènes périodiques.
Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale , l'analyse par transformée de Fourier se réécrit :
avec les dates individuelles et . Si l'enregistrement est suffisamment régulier :
Les durées et définissent les principales propriétés de l'analyse de Fourier.
Un signal observé durant une durée totale permet une résolution en fréquence .
Un signal observé avec un échantillonnage permet de suivre les fréquences jusqu'à la coupure . Le facteur 2 provient de la nécessité d'observer sur 2 mesures distinctes une demi-période négative et une demi-période positive.
L'observation de phénomènes variables doit permettre :
Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale et avec un échantillonnage , on peut alors distinguer sans ambiguïté fréquences, entre et .
Pour une série temporelle, la résolution en fréquence du spectre est d'autant meilleure que la base de temps d'observation est plus longue.
Pour une image, on relie la fréquence de coupure spatiale à la résolution spatiale .
Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min
On échantillonne un signal temporel avec un pas de temps . On définit la pulsation .
Montrer qu'il y a confusion entre les spectres de puissance des signaux périodiques de pulsation et ou , où est un entier
En déduire l'expression de la pulsation de coupure
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Courage, ce n'est qu'un peu de calculs sur les sinus.
Estimer à une date de l'échantillonnage
Supposer
On suppose, sans restreindre la généralité, que le signal est de forme sinusoïdale, et l'on choisit l'origine des temps de façon à avoir la p-ième date de l'échantillon vérifiant .
On en déduit :
Au signe près, auquel n'est pas sensible le spectre de puissance (TF), cette égalité est assurée à toute date de l'échantillonnage.
Jusqu'à quelle fréquence n'y aura-t-il pas de confusion?
La 1ère confusion va apparaître pour les pulsations telles que , càd bien-sûr juste au voisinage supérieur de la fréquence de coupure.