Analyse par transformée de Fourier : formalisme : Page pour l'impression

Prérequis

Approche mathématique de la transformation de Fourier

Objectifs

Présentation de la transformation de Fourier, et rappel de quelques propriétés.

Formalisme de la transformation de Fourier

La transformation de Fourier associe à une fonction f(x) sa transformée~:

$\tilde f (u) \ =\ \int f(x )\ \exp 2i\pi x .u \ {\mathrm{d}} x$

Les variables et sont conjuguées. A la variable temporelle est associée la variable fréquentielle $\nu$ ; à la variable d'espace , la fréquence spatiale .

Propriétés

La TF est dotée de multiples propriétés (linéarité...) : se référer à un cours de maths.

L'opération inverse de la TF est notée : $\tilde f (u)\ =\ \mathrm{TF}\, f(x)$ et $f (x)\ =\ \mathrm{TF}^{-1} \tilde f(u)$ .

Théorème de Parseval-Plancherel

Il ne s'agit rien d'autre que de la conservation de l'énergie, qui ici s'exprime par :

$\int \left| f (x) \right|^{2} \ {\mathrm{d}} x \ =\ \int \left| \tilde f (u) \right|^{2} {\mathrm{d}} u$

Autrement dit, l'énergie d'un signal ne peut pas dépendre de la description de ce signal, directe ou fréquentielle.

Analyse de Fourier
grandeur	notation	unité	exemple
variable		X	temps, en s
variable conjuguée		1/X	fréquence, en Hz
signal		Y	vitesse, en m/s
spectre	$\tilde f$	XY	m
spectre d'amplitude	$\left\| \tilde f \right\|$	XY	m
spectre de puissance	$\left\| \tilde f \right\|^2$	$[\mathrm{XY}]^2$	$\mathrm{m}^2$

Analyse de Fourier discrète

La définition de la transformation, continue, se doit d'être amendée pour tenir compte du fait qu'un signal réel est échantillonné. L'analyse de Fourier discrète s'appuie sur un nombre fini de réalisations du signal, et donne un nombre finie de fréquences pour le décrire. La discrétisation s'opère en douceur, car la TF d'une fonction peigne (succession équidistance de Dirac), fonction retranscrivant l'échantillonnage du signal, est une fonction peigne.

Analyse de Fourier rapide

L'analyse de Fourier rapide (fast Fourier transform, ou FFT) est une une forme spécifique de programmation de la transformation de Fourier. Une routine de calcul fft est présente dans toute bonne bibliothèque de programmation.

L'usage d'une FFT implique:

Une série comportant un nombre points tel que points, sinon le gain en temps est annulé, et la FFT peut devenir extrêmement lente si le nombre de points est premier, ou se factorise avec de grands facteurs premiers.
Cette série se doit de plus d'être régularisée : la base de temps est supposée être une série arithmétique, de pas temporel fixe.
La série de valeurs conduit à un spectre de fréquences.

Simuler

TF et FFT

L'appliquette ci-dessous permet de calculer et visualiser le spectre de puissance de certaines fonctions. La transformée de Fourier peut calculée soit directement, soit par FFT.

Avec comme signal une sinusoïde, comme méthode la fft, visualiser les effets :

de la durée,
de la période du signal,
du nombre de points de l'échantillon.

Vérifier le lien entre la résolution en fréquence et la durée totale d'observation ; vérifier le lien entre le nombre de points et la fréquence de coupure.

S'exercer

Conservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆ Temps : 40 min

Question 1)

Vérifier l'homogénéité de la conservation de l'énergie énoncée par le théorème de Parseval-Plancherel.

Question 2)

Pour des raisons physiques, il est commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle bornée sur un intervalle de temps comme :

$\mathrm{TF} (f) (\nu) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T f(t ) \exp 2i\pi \nu t \ {\mathrm{d}} t$

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Montrer l'intérêt physique de cette notation, en s'appuyant p.ex. sur un signal purement sinusoïdale.