Théorème des accroissements finis

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace
Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace
Les racines des polynômes de Legendre
Ex: Les racines des polynômes de Legendre
Projection de Mollweide
Ex : projection de Mollweide

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être trouvé dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8. Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. C'est cette affirmation qui est étudiée dans l'exercice qui suit.

Le polynôme est de la forme:

f(r)=r^8 + a_6 r^6 + a_3 r^3 + a_0

On sait que a_0 < 0 et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives. L'une des deux est r=S où est la distance Terre-Soleil. On peut aller voir l'exercice qui vérifie cette racine ici. La deuxième solution distincte de et strictement positive suppose que les 3 observations ont été bien faites et correspondent physiquement à un même objet du système solaire. Elle n'est pas garantie mathématiquement mais s'appuie sur l'argument que cette solution "doit exister".

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On voit la racine r=1

ua (

) et les 2 autres racines dont celle qui nous intéresse à 5 ua.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Ex: Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Les racines du polynôme de la méthode de Laplace

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Soit un polynôme à coefficients réels de la forme:

f(r)=r^8 + a_6 r^6 + a_3 r^3 + a_0

On sait que a_0 < 0 et qu'il existe au moins 2 solutions distinctes strictement positives.

Question 1)

Calculer f'(r) et étudier le polynôme $g(r)=\frac{f'(r)}{r^2}$ dans le cas où $a_6 \ge 0$

Question 2)

En déduire que a_6 est strictement négatif

Question 3)

Montrer que s'annule en un point $\beta$ positif

Question 4)

g'(r) peut donc s'écrire $g'(r)=40 r^2 (r-\gamma ) (r+\gamma )$ (avec $\gamma$ positif). Monter que $g(\gamma ) \le 0$ .

Question 5)

Monter que $g(- \gamma ) > 0$ .

Question 6)

Montrer que s'annule en $\beta_1$ , $\beta_2$ et $\beta_3$ tels que $\beta_1<-\gamma < \beta_2 < + \gamma < \beta_3$

Question 7)

Etudier les 2 cas $\beta_1 < \beta_2 < 0 < \beta_3$ et $\beta_1 < 0 < \beta_2 < \beta_3$ . Monter que le premier cas est impossible et que le deuxième cas conduit à une ou trois racines positives

Question 8)

Conclure.

Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici P_n .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

$U(r,\varphi)=\frac{KM_T}{r} \ [1 - \sum_{m=1}^{\infty} J_{2m} (\frac{a_e}{r})^{2m} P_{2m}(\sin\varphi) \ ]$

est la constante de gravitation de la Terre, M_T la masse totale de la Terre, a_e son rayon équatorial et $J_{2m}$ des coefficients numériques. et $\varphi$ sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps et décrivant autour d'un centre des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre et , on doit écrire l'inverse de la dsitance entre et , $1/\Delta$ , en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r'} (1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2}$

Avec r=PM , r'=PM' , $\rho = r/r'$ et l'angle entre et vu de .

Cette dernière expression est développée en puissance de $\rho$ grâce aux polynômes de Legendre:

$(1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n P_n(\cos S)$

Ce développement est rapidement convergent si $\rho$ est petit. C'est le cas si, par exemple, est la Terre, le Soleil et un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Ex: Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

Les racines des polynômes de Legendre

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h (pour une rédaction correcte)

Les polynômes de Legendre, bien connus en Mécanique Céleste, peuvent se déterminer par la formule de Rodrigues:

$P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m$

Question 1)

Montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a distinctes.

Projection de Mollweide

Auteur: Marc Fouchard

La projection de Mollweide est la projection d'une sphère sur un plan qui conserve les aires au sacrifice de la conservation des distances et des formes. La projection d'une sphère rempli une ellipse dont le petit axe est le double du grand axe.

L'avantage d'une telle projection en astronomie est qu'elle permet d'avoir une idée globale de la répartition d'une certaine quantité sur la sphère céleste par unité de surface (ou stéradian). Par exemple, l'image suivante montre la répartition du rayonnement du fond cosmologique sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Comme ce rayonnement est mesuré par unité de surface (ou par stéradian), la conservation des aires est ici fondamentale pour bien visualiser les données.

Le rayonnement du fond cosmologique par WMAP

Répartition du rayonnement du fond cosmologique observé par le satellite WMAP (l'échelle de couleur est entre +/- 200 micro Kelvin par rapport à une valeur moyenne) sur une projection de Mollweide de la sphère céleste. Le plan de référence est celui de la Voie Lactée dont le rayonnement a été soustrait.

Crédit : NASA/WMAP

Sur une sphère, on défini un système de coordonnées en choisissant un plan de référence (par exemple l'équateur), à partir duquel seront mesurées les latitudes, notées $\phi$ , un méridien de référence (par exemple le méridien de Greenwich) à partir duquel sont mesurées les longitudes, notées $\lambda$ . Pour chaque angle un sens positif est défini (par exemple vers le nord pour les latitudes et vers l'ouest pour les longitudes).

Les coordonnées (x,y) par la projection de Mollweide d'un point de coordonnées $(\lambda,\phi)$ de la sphère céleste sont définies par:

$\begin{array}{lcr} x&=&\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\lambda \cos \theta, \\ y&=&\sqrt{2}\sin \theta, \end{array}$

où la longitude $\lambda$ est mesurée entre $-\pi$ et $\pi$ et $\theta$ est un angle auxiliaire défini par :

$2\theta + \sin (2\theta) = \pi \sin \phi.$ (*)

L'équation (*) ne peut être résolue analytiquement. Le but de cet exercice est de trouver une méthode permettant de déterminer $\theta$ afin de pouvoir calculer et .

Ex : projection de Mollweide

Auteur: Marc Fouchard

projection de Mollweide

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Nous allons commencer par étudier la fonction:

$f (\theta)=\arcsin \left( \frac{2\theta+\sin(2\theta)}{\pi}\right)$ ,

sur l'intervalle $I=[-\pi/2,\pi/2]$ .

Montrer que est définie et continue sur et qu'elle est impaire.

Question 2)

Montrer que est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ , puis en prolongeant par continuité sur .

Question 3)

En déduire que est strictement croissante de dans lui-même et donc qu'il existe une fonction réciproque, notée . Déterminer les propriétés principales de et en particulier que $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$

Question 4)

On remarque que pour $\phi$ donné, $g(\phi)$ est la solution de l'équation (*).

En déduire l'image des points, ou des ensembles de points suivants, par la projection de Mollweide :

points de latitude nulle.
pôles.
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi/2$ .
deux méridiens de longitude $\lambda = \pm \pi$ .
parallèle de latitude $\phi$ .

Question 5)

La fonction n'est pas définie analytiquement. On va montrer ici qu'on peut estimer $g(\phi)$ par la méthode de Newton-Raphson. Soit $h_\phi$ la fonction définie sur $[-\pi/2,\pi/2]$ par :

$h_\phi(\theta)=2\theta+\sin(2\theta)-\pi\sin \phi$ .

Résoudre l'équation (*) revient donc à résoudre $h_\phi(\theta)=0.$

Montrer que si $h_\phi(\theta)=0$ alors $h_{-\phi}(-\theta)=0$ et que si $\phi\in[0,\pi/2]$ alors la solution de $h_\phi(\theta)=0$ est dans $[0,\pi/2]$ . De même montrer que h_0(0)=0 et $h_{\pi/2}(\pi/2)=0$ .

Question 6)

Ainsi on peut se limiter à résoudre $h_\phi(\theta)=0$ pour $\phi\in]0,\pi/2[$ . On sait déjà que la solution se trouve dans $]0,\pi/2[$ d'après la question 3. Montrer que, pour $\phi\in]0,\pi/2[$ , est définie continue dérivable et strictement croissante sur $[0,\pi/2[$ et que sa dérivée est définie continue, strictement positive et strictement décroissante sur $[0,\pi/2[$ .

Question 7)

Soit $\theta_S$ la solution de $h_\phi(\theta)=0$ . Soit $\theta_0 \in [0,\theta_S[$ . On note $S(\theta_S,0)$ et $A_0(\theta_0,h(\theta_0))$ les points de la courbe représentative $\mathcal{H}$ de dans un repère orthonormé. On note $B_1(\theta_1,0)$ , le point d'intersection de la tangente en A_0 à $\mathcal{H}$ avec l'axe des abscisses. Montrer que $\theta_1=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)}$ et que $\theta_0 < \theta_1 < \theta_S$ .

Question 8)

Montrer que la suite définie par $\theta_0=0$ et $\theta_{n+1}=\theta_n-\frac{h_\phi(\theta_n)}{h_\phi'(\theta_n)}$ converge vers $\theta_S$ .

Convergence de la méthode de Newton-Raphson

La convergence de cette suite dépend fortement du choix de $\theta_0$ . La figure ci-dessous montre le nombre d'itérations nécessaires pour attendre un précision relative de l'ordre de $10^{-12}$ sur $\theta_S$ en fonction de $\theta_0$ et $\phi$ . On voit que pour certains choix la convergence est très mauvaise voire impossible. Par contre avec $\theta_0=0$ , la méthode converge pour toute valeur de $\phi$ même si ce n'est pas le choix optimal.

Convergence de la méthode de Newton-Raphson pour la projection de Mollweide

Nombre d'itérations nécessaires pour attendre un précision relative de l'ordre de $10^{-12}$ sur $\theta_S$ en fonction de $\theta_0$ et $\phi$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard.

Réponses aux exercices

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Exercice 'Les racines du polynôme de la méthode de Laplace'

Question 1
Question 2
Aide :
Voir que, dans ce cas, est strictement croissant puis utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Solution :
Le théorème des valeurs intermédiaires donne qu'il y a une racine pour . Cette racine est unique car est croissant. On dresse alors le tableau de variation de et comme est négatif, de la même manière, il n'y a qu'une seule racine positive. Ce qui n'est pas notre cas.
Question 3
Aide :
Utiliser le théorème de Rolle pour sur l'intervalle définie par ses 2 racines positives

Solution :
Le théorème de Rolle pour sur l'intervalle définie par ses 2 racines positives indique que s'annule en un point $\beta$ distint des 2 racines de . $\beta$ est donc positif non nul. Or $g(\beta ) = f(\beta)/\beta^2 = 0$
Question 4
Aide :
Dresser le tableau de variation de et voir qu'on ne pourrait alors avoir l'existence de $\beta$ .
Question 5
Aide :
Supposer que $g(- \gamma ) \le 0$ et dresser le tableau de variation de . On n'oublie pas que est négatif.
Question 6
Solution :
Cette affirmation est directement issue du tableau de variation de qui normalement a déjà été fait.
Question 7
Aide :
Dresser le tableau de variation de dans ces 2 cas.
Question 8
Solution :
Comme on a supposé qu'il y avait au moins 2 racines positives, il y en a exactement 3. La question précédente avait montré une racine négative. Il y a donc exactement 4 racines réelles.

Or si on considère le polynôme dans $\mathbb{C} [X]$ , le polynôme a 8 racines complexes. On en déduit que admet aussi 4 racines complexes non réelles.

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Exercice 'Les racines des polynômes de Legendre'

Question 1
Aide :
Notez que a racines. Elles sont non disctinctes car il s'agit de et chacune d'elles étant d'ordre .

Aide :
Les racines étant d'ordre m, on a $P^{(i)}(+1)=0$ et $P^{(i)}(-1)=0$ pour tout $i \in \{0, \dots , m-1 \}$ , où

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme sur l'intervalle

Aide :
On a donc $P^{(1)}$ qui s'annulle en , $x_{1,1}$ et (ces trois racines sont distinctes)

Aide :
Appliquer le théorême de Roll au polynôme $P^{(1)}$ sur l'intervalle $[-1,x_{1,1}]$ , puis sur $[x_{1,1},+1]$ . On a donc les racines , $x_{2,1}$ , $x_{2,2}$ et (ces quatres racines sont distinctes). Rédigez ensuite la récurrence. Une rédaction propre n'est pas si aisée. Faites la avec soin et choissisez bien vos notations (par exemple, bien différencier l'indice du polynôme et l'indice de la récurrence).

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Exercice 'projection de Mollweide'

Question 1
Solution :
La fonction $\theta \mapsto \left(\frac{2\theta+\sin(2\theta)}{\pi}\right)$ est continue dérivable et strictement croissante. Ainsi l'image de est l'ensemble . Donc la fonction est bien définie sur . est symétrique par rapport à zéro, $f(-\theta)=-f(\theta)$ . Donc est une fonction impaire sur .
Question 2
Aide :
Pour le prolongement par continuité en $\pi/2$ de la dérivée de , on pourra faire le changement de variable $\theta=\pi/2-\epsilon$ et faire le développement limité en zéro.

Solution :
est dérivable sur $]-\pi/2, \pi/2[$ par composition de fonction continues et dérivables. On a:

$f'(\theta)=\frac{4\cos^2\theta}{\sqrt{\pi^2-\left(2\theta+\sin 2\theta \right)^2}}$ .

Cette fonction n'est pas définie pour $\theta=\pm\pi/2$ . On pose alors $\theta=\pi/2-\epsilon$ . Ainsi:

$f'(\pi/2-\epsilon)=\frac{4\sin^2 \epsilon}{\sqrt{2\pi(2\epsilon-\sin 2\epsilon)-(2\epsilon-\sin 2\epsilon)^2}}$ .

Les développements limités en zéro nous indiquent que le dénominateur est de l'ordre de $\epsilon^{3/2}$ alors que le numérateur est de l'ordre de $\epsilon^2$ . Ainsi on a: $f'(\pi/2)=\lim_{\theta \to \pi/2} f'(\theta)=\lim_{\epsilon \to 0}f'(\pi/2-\epsilon)=0$ . Comme est impaire on a de même en prolongeant par continuité $f'(-\pi/2)=0$ .
Question 3
Solution :
D'après la question précédente, on voit que est strictement supérieur à zéro sur $]-\pi/2, \pi/2[$ , et ne s'annule qu'en $\pm \pi/2$ . Ainsi est strictement croissante sur . Comme $f(\pi/2)=\pi/2$ , par parité on en déduit que . Donc est une fonction bijective de dans lui-même. Il existe donc une fonction réciproque . D'après les propriétés de , on en déduit que est une fonction impaire définie et continue sur et dérivable sur ouvert. De plus comme on a $f([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ , on a aussi $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ .
Question 4
Solution :
1. Si $\phi=0$ , alors l'équation (*) admet $\theta=0$ comme solution (en effet , c'est-à-dire . Ainsi et varie de $-2\sqrt{2}$ à $2\sqrt{2}$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ .
2. Pour le pôle nord, on a $\phi=\pi/2$ . Or $f(\pi/2)=\pi/2$ , soit $g(\pi/2)=\pi/2$ , ainsi $\theta = \pi/2$ . L'image du pôle nord est $(0,\sqrt{2})$ . Par symétrie, le pôle Sud a pour image $(0,-\sqrt{2})$ .
3. Dans ce cas on a $x=\pm \sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ (le signe "+" correspond à la longitude positive). Les points se trouvent donc sur un demi-cercle centré à l'origine et de rayon $\sqrt{2}$ se trouvant à droite de l'axe des ordonnées pour la longitude positive et à gauche pour la longitude négative. Comme un méridien correspond à l'ensemble des latitudes $\phi \in [-\pi/2,\pi/2]$ , chaque demi-cercle est décrit complètement d'après la propriété de la fonction : $g([-\pi/2,\pi/2])=[-\pi/2,\pi/2]$ .
4. Dans ce cas on a $x=\pm 2\sqrt{2}\cos \theta$ et $y=\sqrt{2}\sin \theta$ . Comme à la question précédente sauf que les points se trouvent sur deux demi-ellipses d'une ellipse centrée à l'origine et de demi-petit axe $\sqrt{2}$ parallèle à l'axe des ordonnées et de demi-grand axe $2\sqrt{2}$ . Toute l'ellipse est décrite, pour la même raison que précédemment.
5. Si on note $\theta_0$ la solution de l'équation (*) pour la latitude $\phi$ , i.e. $g(\phi)=\theta_0$ , alors $y=\sqrt{2}\sin \theta_0$ et varie de $-2\sqrt{2}\cos \theta_0$ à $2\sqrt{2}\cos \theta_0$ lorsque $\lambda$ varie de $-\pi$ à $\pi$ . C'est une corde de l'ellipse parallèle à l'axe des abcisses.
Question 5
Solution :
On a $h_\phi(g(\phi))=0$ , or est impaire, donc $g(-\phi)=-g(\phi)$ , ce qui répond au premier point. Ensuite, comme $g([0,\pi/2])=[0,\pi/2]$ on en déduit que si $\phi\in[0,\pi/2]$ alors la solution de $h_\phi(\theta)=0$ est dans $[0,\pi/2]$ . Les deux dernières égalités viennent directement du fait que et $g(\pi/2)=\pi/2$ .
Question 6
Solution :
est définie continue dérivable sur $[0,\pi/2[$ comme composée de fonctions définies continues et dérivables. On a $h_\phi'(\theta)=2+2\cos 2\theta$ qui est continue et strictement positive sur $[0,\pi/2[$ . Elle est aussi dérivable, avec $h_\phi'' (\theta)=-4\sin 2\theta$ . $h_\phi''$ est strictement négative sur $]0,\pi/2[$ et nulle en 0. Ainsi $h_\phi'$ est strictement décroissante sur $[0,\pi/2[$ .
Question 7
Aide :
On utilisera le théorème des accroissements finis.

Solution :
L'équation de la tangente est $y=h_\phi(\theta_0)+h_\phi'(\theta_0)(\theta-\theta_0)$ . Pour on obtient $\theta_1=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)}$ . Comme $\theta_0 \in [0,\theta_S[$ , que $h_\phi(\theta_S)=0$ et que $h_\phi$ est croissante, on en déduit que $h_\phi(\theta_0) < 0.$ De plus $h_\phi'(\theta_0)>0$ ainsi on a bien $\theta_1>\theta_0.$ D'après le théorème des accroissements finis, il existe $\theta\in]\theta_0,\theta_S[$ tel que $h_\phi'(\theta)=\frac{h_\phi(\theta_S)-h_\phi(\theta_0)}{\theta_S-\theta_0}$ . Ainsi, en considérant comme le point d'intersection entre l'axe des abscisses et la droite passant par et de coefficient directeur $h_\phi'(\theta)$ , on a $\theta_S=\theta_0-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta)}$ . Comme $h_\phi'$ est une fonction strictement décroissante sur $]\theta_0, \theta_S[$ , on en déduit que $0<h_\phi'(\theta) < h_\phi'(\theta_0)$ , soit $-\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta_0)} < -\frac{h_\phi(\theta_0)}{h_\phi'(\theta)}$ . Ainsi on a bien $\theta_1 < \theta_S$ .
Question 8
Solution :
On sait que si $\phi\in]0,\pi/2[$ alors $\theta_S\in]0,\pi/2[$ . Autrement dit $\theta_S>0$ , donc $\theta_0\in[0,\theta_S[$ . Ainsi d'après la question précédente on sait que $\theta_0<\theta_1<\theta_S$ . Donc $\theta_1\in[0,\theta_S[$ . Si on suppose maintenant $\theta_n\in[0,\theta_S [$ alors, toujours d'après la question précédente on a $\theta_n<\theta_{n+1}< \theta_S$ , en outre $\theta_{n+1}\in[0,\theta_S[$ . Ainsi, $\forall n \in \mathbb{N}$ on a $\theta_n<\theta_{n+1}<\theta_S$ . Donc la suite $(\theta_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge vers une limite $l\le\theta_S$ . Par continuité de $h_\phi$ et $h_\phi'$ , on a $l=l-\frac{h_\phi(l)}{h_\phi'(l)}$ , et comme $h_\phi'(l)\ne 0$ , on en déduit que $h_\phi(l)=0$ , donc $l=\theta_S$ .