Effet de marée : Page pour l'impression

Un corps non ponctuel dans un champ gravitationnel va ressentir le gradient de ce champ. Proche de l'objet massif créant ce champ, ce gradient devient suffisamment grand pour écarteler tout objet étendu qui s'y aventure.

Cet effet, dit effet de marée, rend compte des anneaux planétaires, de la rupture d'objets cométaires...

La comète Shoemaker-Levy a été fragmentée par effet de marée lors de son passage au périjove en 1992. En juillet 1994, ses fragments se sont abîmés sur la planète géante.

Crédit : NASA

La surface de Io, recouverte de volcans géants et de dépôts de soufre.

Crédit : NASA

Le volcanisme sur Io

Io, satellite de Jupiter, possède pratiquement les mêmes masse, diamètre et rayon orbital que la Lune. Sa surface est couverte de volcans (actifs et inactifs) et de lacs de lave. L'activité volcanique est telle que les dépôts volcaniques s'accumulent au rythme d'environ 1 mm d'épaisseur par année sur toute la surface d'Io. De tous les objets du système solaire, Io est celui dont la surface se renouvelle le plus rapidement.

D'où vient l'énergie dissipée par le volcanisme ?

Les volcans d'Io expulsent du gaz à plus de 1 km/s, 20 fois plus vite que ne le fait un volcan terrestre. Ce volcanisme d'Io puise sa source dans l'effet de marée. A cause de la proximité de Io et de la masse de la planète, Jupiter étant 318 fois plus massif que la Terre, les renflements de marée que subit le satellite ont une amplitude de plusieurs kilomètres.

Si, comme la Lune, Io a ses périodes de rotation et de révolution synchronisées, son mouvement est de plus fortement perturbé par 2 autres lunes de Jupiter, Europe et Ganymède, avec lesquels son orbite est résonante.

Sous l'effet de l'attraction des autres satellites, Io est tantôt en avance, tantôt en retard par rapport à sa révolution moyenne, ce qui a pour effet de déplacer le bourrelet de marée, et conduit à une forte dissipation d'énergie : la variabilité et le déplacement des renflements de marée dégradent par friction suffisamment d'énergie pour faire fondre partiellement l'intérieur du satellite et engendrer ainsi une activité volcanique.

Forces de marée de la Terre sur la Lune

La Terre étant 81 fois plus massive que la Lune, l'effet de marée de la Terre sur la Lune est important : cette marée a synchronisé la rotation propre de la lune et sa révolution autour de la Terre. C'est pour cette raison que nous voyons toujours la même face de la Lune.

Sous l'action du champ de marée terrestre, la Lune a été déformée et le bourrelet de déformation est en moyenne aligné dans l'axe Terre-Lune.

Rotation synchrone

Si la Lune ne tournait pas autour de la Terre de façon à présenter toujours la même face, ce bourrelet se déplacerait et créerait des frottements. La période de rotation propre de la Lune a diminué, et s'est ajustée à celle de révolution autour de la Terre, de telle façon que la Lune présente toujours la même face à la Terre. Ces frottements sont nuls lorsque le bourrelet ne se déplace plus.

Remarque

Ce qui est vrai pour la Lune est aussi vrai pour la Terre : les effets de la marée lunaire continuent de freiner la rotation de la Terre. La journée s'allonge de 2 microsecondes par an.

A l'instar de la Lune, tous les gros satellites du système solaire présentent une rotation synchrone avec celle de leur planète.

Animation montrant la rotation synchrone. L'égalité des périodes de révolution et de rotation conduit le satellite à toujours présenter la même face à sa planète. La rotation de la Terre est indiquée par le rayon vecteur rouge.

Crédit : ASM

Rotation synchrone

Animation montrant la rotation synchrone. La lune présente ainsi toujours la même face à la Terre

Animation montrant la libration. Les périodes de libration et de révolution sont très voisines.

Crédit : ASM

Libration et nutation

Animation montrant comment la libration modifie légèrement la rotation synchrone. La libration mesure l'oscillation de la Lune autour de sa position moyenne.

Sphère d'influence

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

La sphère d'influence d'une planète de masse orbitant sur une orbite circulaire de rayon autour de son étoile de masse $m\ll M$ peut-être définie comme la zone à l'intérieur de laquelle un satellite reste piégé autour de la planète (à l'extérieur de cette sphère, le satellite est capturé en orbite autour de l'étoile). Pour déterminer le rayon de cette sphère, on cherche dans le référentiel tournant avec la planète la position d'équilibre entre les 2 corps et . On note cette position (1er point de Lagrange).

Question 1)

La distance de à la planète étant notée , déterminer les distances de à l'étoile et de au barycentre du système (planète-étoile) en fonction de et . On note cette dernière distance.

[2 points]

Question 2)

Montrer, en identifiant les différents termes, que la relation suivante définit l'état d'équilibre du satellite dans le référentiel barycentrique :

$-{{\cal G}M\over (a-b)^{2}}+{{\cal G}m\over b^{2}}+r\omega^{2}=0$

[3 points]

Question 3)

Développer cette relation en ne retenant que les termes d'ordre 0 ou 1 ( $m\ll M$ et $b\ll a$ ). En déduire que :

$b=a\left({m\over 3M}\right)^{1\over 3}$

[3 points]

Question 4)

Application numérique :

Calculer pour la Terre ( $a = 1.5\ 10^{8}\ \mathrm{km} = 1\ \mathrm{UA}$ ) et comparer à la distance Terre-Lune (380 000 km). Calculer pour le Soleil qui orbite autour du centre galactique ( $a = 26\ 000$ années de lumière, masse $= 9\ 10^{10} M _{\mathrm{\odot}}$ ), et comparer à la distance moyenne entre deux étoiles (distance Soleil-Proxima du Centaure = 4.2 AL), ainsi qu'à la distance du nuage de Oort (de l'ordre de $30\ 10^{3}\ \hbox{UA}$ ).

[2 points]

Saturne et ses anneaux

Les anneaux de Saturne s'étendent en deçà de la limite de Roche.

Crédit : NASA

Uranus et ses anneaux

Dans le domaine IR sélectionné sur cette image, correspondant à une raie du méthane, la planète Uranus apparaît éteinte, ce qui met en évidence les satellites et anneaux.

Crédit : NASA

Anneaux et satellites

Toutes les planètes géantes ont à la fois des anneaux et des satellites. Les anneaux orbitent à proximité de la planète, accompagnés de tout petits satellites. Loin de la planète, il n'y a que des satellites (et des anneaux de poussière instables). La limite de Roche sépare ces 2 régions.

Le champ de marée brise les satellites qui s'aventurent à l'intérieur de cette limite. Elles empêchent aussi les anneaux de s'accréter en satellites.

La comète Shoemaker-Levy 9

En Juillet 1994, les fragments de la comète Shoemaker-Levy 9 ont percuté Jupiter. Lors du précédent périjove, la comète SL9 s'était fragmentée sous l'effet du champ de marée.

Forces de marée sur la comète SL9

Lorsque la comète arrive à une certaine distance de la planète, le champ de marée est suffisamment important pour écarteler la comète en plusieurs morceaux.

Crédit : Sekanina, Chodas & Yeomans

Modélisation du satellite, en 2 parties sphériques.

Crédit : ASM

Attraction différentes sur les deux parties du satellite.

Crédit : ASM

Equilibre ou rupture, sous l'action du champ autogravitationnel qui doit assurer la cohésion, et des termes de gradient du champ gravitationnel planétaire qui écartèlent le satellite (dans le référentiel du centre de masse du satellite).

Crédit : ASM

La limite de Roche

La limite de Roche marque la distance minimale à la planète d'existence de gros satellites. Au delà, un satellite peut subsister ; en deçà, il est fragmenté en anneaux. Un exercice permet le calcul de cette limite dans une modélisation simple, illustrée par les schémas suivants :

Un satellite est décrit comme la juxtaposition de 2 parties distinctes
Le gradient de champ gravitationnel apparaît intense à proche distance de la planète
Dans le référentiel du centre de masse du satellite, la cohésion du satellite dépend de l'équilibre entre les résidus du champ gravitationnel et le champ d'autogravitation.

Limite de Roche

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

La limite de Roche d'une planète est la distance à partir de laquelle la force de marée sur un satellite est plus importante que les forces de cohésion du satellite. La force du raisonnement de Roche, que nous allons reprendre ici, repose sur l'hypothèse simplificatrice suivante : bien que le satellite naturel soit généralement de forme patatoïdale, on l'imagine constitué de deux sphères ( $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ ) de rayons , maintenues ensemble par interaction gravitationnelle. On notera cette force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ .

Astéroïde Gaspra

Crédit : NASA

Nous supposons donc qu'un satellite de masse peut être assimilé à deux sphères de masse et de rayon . Ce satellite orbite autour d'une planète de masse ( $m \ll M$ ), et de rayon . La distance entre les centres de masse de la planète et du satellite est notée , avec $D \gg r$ .

Quelques données utiles
Objet	Masse (kg)	Rayon (m)	Masse volumique ( $\mathrm{kg.m}^{-3}$ )
Soleil	$2.0\ 10^{30}$	$7.0\ 10^8$	1400
la Terre	$6.0\ 10^{24}$	$6.4\ 10^6$	5450
Lune	$7.2\ 10^{22}$	$1.7\ 10^6$	3500
Saturne	$5.7\ 10^{26}$	$6.0\ 10^7$	630
Comète			200
Satellites de Saturne	Distance (km)	Rayon (km)	Masse (kg)
Mimas	186 000	196	$3.80\ 10^{19}$
Encelade	238 000	260	$8.40\ 10^{19}$
Téthys	295 000	530	$7.55\ 10^{20}$
Dioné	377 000	560	$1.05\ 10^{21}$
Les anneaux de Saturne	Rayon Interne (km)	Rayon Externe (km)	Largeur (km)
Anneau D	60 000	72 600	12600
Division Guerin	72 600	73 800	1200
Anneau C	73 800	91 800	18000
Division Maxwell	91 800	92 300	500
Anneau B	92 300	115 800	23500
Division Cassini	115 800	120 600	4800

Question 1)

Montrer que la 3ème loi de Kepler appliquée au satellite peut s'écrire :

$\omega\ = \left({{\cal G}M\over D^{3}}\right)^{1/2}$

avec $\omega = 2\pi /T$ la pulsation du mouvement.

[2 points]

Question 2)

Énoncer les forces d'interaction gravitationnelle $F _{\mathrm{G1}}$ et $F _{\mathrm{G2}}$ exercées par l'astre massif sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ .

[1 points]

Question 3)

L'étude du mouvement dans le référentiel tournant introduit une accélération d'entraînement. La déterminer, et exprimer le terme d'inertie qui va s'ajouter dans l'écriture de l'équilibre des forces exprimé dans le référentiel tournant. Pour simplifier les calculs, on confond le barycentre du système planète-satellite avec le barycentre de la planète.

[2 points]

Question 4)

On note $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ les contributions totales (gravitationnelle et inertielle) sur $S _{\mathrm{1}}$ et $S _{\mathrm{2}}$ . Comment appelle-t-on la force $\delta F$ , définie comme étant la différence de $F _{\mathrm{1}}$ et $F _{\mathrm{2}}$ ? La calculer.

[2 points]

Question 5)

Calculer la force de cohésion $F _{\mathrm{coh}}(r)$ entre S_1 et S_2 . Estimer d'abord son origine.

[1 points]

Question 6)

Déterminer la limite de Roche $d _{\mathrm{R}}$ , distance à laquelle les termes de cohésion et marée s'équilibrent. L'exprimer en fonction de $\rho _{\mathrm{M}}$ et de $\rho _{\mathrm{m}}$ , les masses volumiques respectives de la planète et du satellite.

[2 points]

Question 7)

Calculer la limite de Roche pour le cas du système Terre-Lune. Comparer la limite de Roche de la Terre à la distance Terre-Lune.

[1 points]

Question 8)

Même question pour Saturne et son satellite Mimas, on suppose que le satellite en formation dans ses anneaux a une masse volumique identique à celle de Saturne. Calculer la limite de Roche dans ce cas. La comparer aux rayons des anneaux et aux rayons des satellites de Saturne.

[2 points]

Question 9)

Même question pour Soleil visité par une comète à son périhélie. Comparer au périhélie de la comète de Halley $(q = 8.8\ 10^7 \ \mathrm{km})$ (on supposera que l'expression de l'accélération d'entraînement trouvée dans le cas d'une orbite circulaire garde ici un ordre de grandeur convenable, même si elle ne peut plus s'appliquer a priori).