Changement de référentiels

Auteur: B. Mosser

Introduction
Changement de référentiel spatial
- Apprendre
- S'exercer
Changement de référentiel temporel
- Apprendre
- Simuler
- S'exercer
- S'évaluer
Pointer un astre et l'observer
- Observer
- Apprendre
- S'exercer
- S'évaluer
Conclusion

Introduction

Les observations du ciel sont effectuées, pour la plupart, depuis la Terre. Les mesures qui en résultent sont analysées, pour la plupart, dans un référentiel héliocentrique, le référentiel géocentrique n'offrant pas un cadre suffisamment galiléen (référentiel dans lequel un corps soumis à aucune force est en mouvement rectiligne uniforme) .

Les pages de cette section traitent des changements entre les différents référentiels utiles à l'astronomie et à l'astrophysique.

Trois façons de voir l'Univers, selon les astronomes Copernic, Ptolémée et Tycho Brahe.

Crédit : Bibliothèque de l'Observatoire de Paris

Changement de référentiel spatial

Apprendre

Objectifs

Passer des coordonnées équatoriales, données par les catalogues, aux coordonnées azimutales, liées au lieu d'observation.

Hauteur d'un astre

En un lieu d'observation de latitude, $\varphi$ , les équations de passage des coordonnées équatoriales (ascension droite $\alpha$ , déclinaison $\delta$ ) vers les coordonnées locales (azimut , hauteur ) s'expriment par :

$\left\{ \matrix{ \sin h\hfill &=&\hfill \sin\varphi \sin\delta &+& \cos\varphi \cos\delta \cos H\cr \cos h \cos a &=&-\cos\varphi \sin\delta &+& \sin\varphi \cos\delta \cos H\cr \cos h \sin a &=& & & \hfill \cos\delta \sin H \cr } \right.$

avec $H = S -\alpha$ l'angle horaire, étant le temps sidéral.

Conditions de visibilité

La visibilité d'un astre nécessite au moins $h \ge 0$ (astre au dessus de l'horizon), et en pratique $h \ge h_0$ , la limite dépendant des contraintes d'observation.

Les conditions posées sur l'angle horaire , et donc $\alpha$ , sont estimées en exercice. Les équations précédentes montrent que le passage au méridien, l'altitude maximale, est atteint pour H=0 , càd $\alpha = S$ .

S'exercer

QCM

1) Vers quel mois de l'année observera-t-on une étoile d'ascension droite $\alpha=6{\rm h}$ et déclinaison nulle à peu près toute la nuit (rappel : $S = 12 \ {\rm h}$ à l'équinoxe de printemps).
mars
juillet
septembre
décembre

2) Vers quel mois l'ascension droite du soleil vaut-elle 12 h ?
mars
juillet
septembre
décembre

Visibilité

Difficulté : ☆ Temps : 40 min

D'après les équations de changement de système de coordonnées, un astre est levé si sa hauteur est positive, ce qui signifie :

$\sin h\ =\ \sin\varphi \sin\delta + \cos\varphi \cos\delta \cos H \ \ge \ 0$

(voir la page cours pour le rappel de la définition des symboles).

Ceci conduit à une condition sur l'angle horaire :

$\cos H \ \ge \ - \tan \varphi \tan \delta$

qui doit pouvoir être satisfaite.

Question 1)

Dans quel cas cette équation n'admet-elle jamais de solution ?

Question 2)

Dans quel cas cette équation admet-elle toujours une solution ?

Question 3)

Représenter, pour un lieu de latitude $\varphi$ moyenne, un diagramme avec les étoiles circumpolaires (une étoile circumpolaire est suffisamment proche du pôle pour ne jamais descendre sous l'horizon) et les étoiles toujours invisibles.

Changement de référentiel temporel

Apprendre

Objectifs

Un référentiel, c'est aussi une horloge. La période apparente d'un phénomène périodique dépend donc de cette horloge.

Changer de référentiel, c'est changer de point de vue !

Comme ici, les différents référentiels concernés s'appuyant sur la rotation de la Terre autour du Soleil, ou sur la rotation de la Terre sur elle-même ou sur les étoiles fixes, sont en rotation angulaire les uns par rapport aux autres, il est nécessaire de s'intéresser à la composition des vitesses angulaires.

Composition des vitesses angulaires

Les mesures d'une vitesse angulaire exprimée dans deux référentiels différents 1 et 2, identifiées par les indices /1 et /2, vérifient la "relation de Chasles" :

$\overrightarrow{\omega}_{/2} \ = \ \overrightarrow{\omega}_{/1} + \overrightarrow{\omega}_{1/2}$

En considérant des mouvements de rotation coplanaires, l'égalité pour les périodes devient :

${1\over T_{/2}} \ = \ \pm {1\over T_{/1}} \pm {1\over T_{1/2}}$

Les signes dépendent des sens respectifs des mouvements, selon que l'entraînement, la rotation du référentiel 1 par rapport au référentiel 2, s'ajoute ou se retranche au mouvement du système considéré.

Sidéral versus synodique

Dans les cas des référentiels terrestre tournant et sidéral, la rotation propre et la révolution étant le plus souvent sur des axes parallèles et dans le même sens, on a :

$\omega _{\mathrm{sid}} \ = \ \omega _{\mathrm{an}} \pm \omega _{\mathrm{syn}}$

et donc :

${1\over T _{\mathrm{sid}}} \ = \ {1\over T _{\mathrm{an}}} \pm {1\over T _{\mathrm{syn}} }$

le signe $\pm$ dépendant de la planète considérée, d'orbite intérieure ou extérieure à la Terre.

Par exemple, on retrouve la relation entre le jour synodique moyen (temps qui sépare deux passages du Soleil au méridien) et le jour sidéral (temps pour que la Terre fasse un tour exact sur elle-même):

${1\over 23 {\,\mathrm{h}}56} = {1\over 365.25 {\,\mathrm{j}}} + {1\over 24 {\,\mathrm{h}}}$

Ces 4 minutes de différence entre 23h56 et 24h00, en fait plutôt 3min56.3s, représente de l'ordre d'une fraction 1/365 de 24h.

Simuler

Conversion

A l'aide de l'appliquette, convertir les périodes sidérales des planètes (Tsid) en périodes synodiques (Tsyn).

Sélectionner la case C1, puis mener le calcul =1/(1-1/B1).
Que se passe-t-il pour la Terre ? Sélectionner la case C3 et effacer le résultat.
Pourquoi Mercure et Vénus se distinguent-elles ?
Vers quelle période de révolution synodique tendent les planètes géantes ? Pourquoi ?

La rotation de Mercure

L'évolution de Mercure a conduit à figer ses périodes de rotation propre et de révolution dans une résonance de type 3:2, ce qui signifie que Mercure accomplit, dans un référentiel sidéral, 3 rotations propres en 2 révolutions autour du Soleil.

Cette configuration particulière conduit, pour une hypothétique habitant mercurien (hermien), à des jours valant deux années mercuriennes (voir exercice), comme le montre l'animation.

L'observateur est repéré par un tiret, jaune puis bleu. L'emploi de deux couleurs permet de distinguer les 2 années nécessaires pour accomplir un jour sur Mercure (ici défini entre 2 levers de Soleil).

Crédit : ASM

S'exercer

QCM

1) Quelle durée sépare deux passages successifs au méridien d'une étoile ?
24h00
23h56
autre

2) Quelle durée sépare deux levers successifs d'une étoile ?
24h00
23h56
autre

3) Quelle durée sépare deux passages successifs de la Lune au méridien ?
24h00
23h56
autre

Synodique ou sidéral

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le tableau ci-joint donne les période de révolution sidérale des planètes du système solaire. On veut calculer leurs périodes de révolution synodiques.

Périodes de révolution sidérale
Planète		$T _{\mathrm{sid}}$
	UA	an
Mercure	0.3871	0.2408
Vénus	0.7233	0.6152
Terre	1.0000	1.0000
Mars	1.5237	1.8808
Jupiter	5.2026	11.862
Saturne	9.5547	29.457
Uranus	19.218	84.020
Neptune	30.109	164.77

Question 1)

Le cas des planètes internes (Mercure, Vénus) est-il analogue à celui des planètes externes?

Question 2)

Calculer les révolutions synodiques.

Question 3)

Pourquoi les périodes synodiques ci-dessus calculées tendent-elles vers un an lorsque l'on s'éloigne dans le système solaire ?

Ils tournent

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 20 min

Question 1)

En quelle durée le Soleil parcourt-il son diamètre, du fait de la rotation diurne ?

Question 2)

En quelle durée la Lune parcourt-elle son diamètre ?

Question 3)

Déterminer la durée moyenne d'une éclipse, entre les premier et dernier contacts ? La période de révolution synodique de la Lune est de 29.5 j ; les premier et dernier contacts correspondent aux tout début et toute fin de l'éclipse (situation $\circ\bullet$ et $\bullet\circ$ ).

Rotation de Mercure

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

Déterminer la période sidérale de rotation, avec comme unité l'année hermienne sidérale.

Question 2)

Définir les référentiels d'étude, et l'entraînement angulaire de l'un par rapport à l'autre. Montrer alors que le jour hermien vaut 2 années sidérales.

S'évaluer

Le cas de la Lune

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

La période de révolution synodique de la Lune, durée s'écoulant entre deux nouvelles lunes, vaut 29 j 12 h 44 min.

Question 1)

Calculer la période de révolution sidérale de la Lune.

[2 points]

Question 2)

Déterminer l'intervalle de temps moyen entre 2 passages consécutifs de la Lune au méridien.

[2 points]

Pointer un astre et l'observer

Observer

Hauteur

La coordonnée locale , la hauteur d'un astre, nous renseigne si un astre est levé $(h \ge 0)$ . L'angle horaire nous renseigne sur sa position par rapport au méridien (passage au méridien à H=0 ).

Le tracé de h(H) est utile pour estimer les conditions d'observations.

Hauteur, fonction de l'angle horaire

Lignes iso-déclinaison : les trajectoires circumpolaires apparaissent en bleu.

Crédit : ASM

Hauteur, fonction de l'angle horaire

Tracé, pour la latitude $\varphi$ de Paris, de la hauteur

d'un astre, en fonction de l'angle horaire

. En bleu : les astres toujours visibles, ou circumpolaires, de déclinaison $\delta > 90-\varphi$ ; en rouge, ceux de déclinaison dans l'intervalle $[\varphi-90,\ 90-\varphi]$ , plus ou moins visibles selon l'angle horaire. L'étoile polaire, quasi-immobile et de déclinaison proche de $90^\circ$ , garde bien sûr une hauteur quasi constante.

Crédit : ASM

Visibilité

La hauteur détermine si l'astre est levé, mais cela ne suffit pas pour assurer la visibilité de l'objet : il faut que le soleil soit couché (sauf si c'est lui que l'on souhaite observer, évidemment).

Cela dépend de l'ascension droite. Les éphémérides et logiciels de l'IMCCE permettent de calculer positions, visibilités...

Mercure, Vénus

Les objets internes du système solaire, Mercure et Vénus, mais aussi tout petit corps de périhélie inférieur à 1 UA, ne peuvent être visibles toute la nuit (le contraire signifierait que la Terre se situe entre eux et le Soleil, ce qui est contradictoire), ce qui réduit leur durée d'observation.

Ainsi, le coucher de Mercure suit de peu celui du Soleil.

Photomontage réalisé à partir de plusieurs images de Mercure sur l'horizon ouest, réalisées quotidiennement pendant 3 semaines, le soleil étant à une élévation de -10 degrés. Un seul fond d'image a été représenté.

Crédit : Juan Carlos Casado

Apprendre

Le temps des étoiles

Comment savoir si une étoile est visible ou non, et comment la pointer, càd diriger le télescope vers elle ? Cela dépend de ses coordonnées (ascension droite et déclinaison), mais aussi du lieu, de la date et de l'heure d'observation, comme cela a été montré aux pages traitant des coordonnées et du temps sidéral.

Observation

Observer un astre dans les meilleures conditions, c'est l'observer lorsqu'il passe au méridien à minuit, et donc lorsque son ascension droite vaut le temps sidéral de référence (Greenwich) à minuit.

Un paramètre couramment mesuré est la masse d'air, qui n'est pas une masse mais rend compte de l'épaisseur d'atmosphère traversée. C'est la tangente de la distance zénithale, distance angulaire séparant le zénith de l'altitude de l'objet.

La masse d'air croît avec l'angle $\theta$ comme $1 / \cos \theta$ .

Crédit : ASM

S'exercer

Planète, astre errant

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Question 1)

Aller rechercher les coordonnées des planètes Vénus, Mars, Jupiter et Saturne sur le site de l'Institut de Mécanique Céleste (CNRS, Observatoire de Paris). Choisir l'objet, la date, et laisser de côté le reste des informations demandées.

Question 2)

Déterminer, pour 20h00 ce soir (heure locale), le temps sidéral (pour un observatoire de votre choix), à l'aide des données de site de l'Institut de Mécanique Céleste.

Question 3)

Quelles planètes seront visibles (s'il fait beau) ?

S'évaluer

Latitude / déclinaison

Difficulté : ☆☆ Temps : 15min

Pour une bonne qualité d'observations, on souhaite qu'une cible stellaire étudiée culmine à une hauteur supérieure à 60 deg. Quelle contrainte cela pose-t-il sur la cible, fonction de la latitude $\varphi$ du lieu d'observation ?

Question 1)

Interpréter le terme culmine.

Question 2)

Quelle contrainte cela pose-t-il sur la cible, fonction de la latitude du lieu d'observation ?

Quand observer ?

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 40 min

Un programme d'observation à l'Observatoire de Paris, sur le campus de Meudon, comprend les cibles stellaires ci-jointes :

Etoiles doubles
nom	$\alpha$	$\delta$	sép.	$m _{\mathrm{V}}$	remarque
	(h, min)	( $^\circ, ')$	(")
$\eta$ Cas	00 49.1	57 49	12.2	3.4, 7.5
$\gamma$ Ari	01 53.5	19 18	7.8	4.8, 4.8
$\chi$ Tau	04 22.6	25 38	19.4	5.5, 7.6
$\sigma$ Ori	05 38.7	-02 37	12.9,43	4,7,7.5	quadruple en fait
$\iota$ Cnc	08 46.7	28 45	30.7	4.4, 6.5
38 Lyn	09 18.8	36 48	2.7	3.9, 6.6

Question 1)

Vers quelle date va-t-on pouvoir observer dans la même nuit chacune de ces cibles, dans des conditions optimales, en première partie de nuit vers 22h00 heure locale?

[2 points]

Question 2)

On souhaite passer 1/2 h par cible. Dans quel ordre les cibles devront-elles être observées ?

[1 points]

Question 3)

Pour éviter un premier quartier de Lune et tester une webcam sur la cible $\chi$ Tau, des observations en fin de nuit (4h heure locale) se sont imposées : vers quelle date l'observation a-t-elle été menée, alors que $\chi$ Tau culminait ?

[1 points]

Conclusion

Ces pages permettent de faire le lien entre 2 étapes caractéristiques de la démarche scientifique : dans un cadre donné (p.ex. lié à la Terre entraînée autour du Soleil) mener des observations ou rendre compte de phénomènes ; puis énoncer ou valider une loi physique dans un cadre général (p.ex. dans le référentiel héliocentrique).

Les points techniques associés aux changements de référentiel ne doivent pas rebuter ; ce ne sont que des points techniques. Il existe d'ailleurs de nombreux outils qui permettent de se faciliter la tâche. Voir par exemple le serveur d'éphémérides de l'ESO (par exemple pour les étoiles), ou bien celui de l'IMCCE (par exemple pour les objets du système solaire).

Éphémérides d'été de l'étoile HD 203608 à la Silla.

Crédit : ESO

Réponses aux QCM

pages_changement-spatial/changement-spatial-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 4)
Question 2
Solution : réponse 3)

pages_changement-temporel/changement-temporel-sexercer.html

QCM

Question 1
Solution : réponse 2)
Question 2
Solution : réponse 2)
Question 3
Solution : réponse 3) ( A cause du mouvement de la Lune, cf. exercice "Le cas de la Lune" )

Réponses aux exercices

pages_referentiels/changement-spatial-sexercer.html

Exercice 'Visibilité'

Question 1
Aide :
Dans quel domaine de valeurs $\cos H$ peut-il varier ?

Solution :
Comme nécessairement $-1 \le \cos H \le 1$ , l'inégalité précédente n'a pas de solution si $-\tan\varphi \tan\delta > 1$ . Le cas limite est donc :

$\tan\varphi \tan\delta\ =\ -1$

càd

$\tan\delta\ =\ -\mathrm{cotan}\varphi$

càd $\delta = \varphi - \pi / 2$ , et en tenant compte de l'inégalité, il n'y a aucune solution si

$\delta \ < \ \varphi- \pi/2$
Question 2
Aide :
Se baser sur la question précédente

Solution :
Comme nécessairement $-1 \le \cos H \le 1$ , l'inégalité précédente admet toujours une solution si $-\tan\varphi \tan\delta < -1$ . Le cas limite est donc :

$\tan\varphi \tan\delta\ =\ 1$

càd :

$\tan\delta\ =\ \mathrm{cotan}\varphi$

càd $\delta = \pi / 2 - \varphi$ , et en tenant compte de l'inégalité, il y a toujours une solution si :

$\delta \ > \ \pi / 2 - \varphi$
Question 3
Solution :
Les étoiles circumpolaires apparaissent aux latitudes en bleu foncé ; celles toujours invisibles du lieu d'observation de latitude $\varphi$ dans la région en violet.
Crédit : ASM

pages_referentiels/changement-temporel-sexercer.html

Exercice 'Synodique ou sidéral'

Question 1
Aide :
De la planète considérée et de la Terre, qui double qui ?

Solution :
La période synodique vérifie

${1\over T _{\mathrm{syn}}} \ = \ \left|{1\over T _{\mathrm{an}}} - {1\over T _{\mathrm{sid}}}\right|$

Question 2
Solution :

La table ci-contre donne les solutions,

Planète		$T _{\mathrm{sid}}$	$T _{\mathrm{syn}}$
	UA	an	j
Mercure	0.3871	0.2408	115.88
Vénus	0.7233	0.6152	583.92
Terre	1.0000	1.0000	--
Mars	1.5237	1.8808	779.94
Jupiter	5.2026	11.862	398.88
Saturne	9.5547	29.457	378.09
Uranus	19.218	84.020	369.66
Neptune	30.109	164.77	367.49

Question 3
Solution :
Plus la planète est lointaine, plus son mouvement propre est lent, et donc son évolution se rapproche peu à peu de celle d'une étoile, animée essentiellement par le mouvement apparent dû à la rotation de la Terre autour du Soleil.

pages_referentiels/changement-temporel-sexercer.html

Exercice 'Ils tournent'

Question 1
Aide :
Convertir l'unité angulaire en minute de temps

Solution :
On peut arriver au résultat de 2 façons différentes.

Soit calculer la vitesse angulaire du soleil (360 degrés en 24 h, 15 degrés à l'heure), et donc un parcours de 0.5 deg prend 2 minutes.

Soit, directement, convertir le diamètre angulaire en diamètre horaire : $0.5^\circ = 30' \equiv 2 {\,\mathrm{min}}$ .
Question 2
Aide :
Estimer la part relative du mouvement propre de la Lune autour de la Terre et du mouvement d'entraînement dû à la rotation diurne.

Aide :
Le mouvement propre de la Lune est-il vraiment important en 2 minutes ?

Solution :
Comme la durée trouvée pour le Soleil est très courte devant la période de révolution synodique de la Lune (29.5 j), alors que la Lune présente le même diamètre angulaire que le Soleil, on peut négliger son mouvement. Il s'ensuit que la durée cherchée est sensiblement la même pour la Lune que pour le Soleil.
Question 3
Aide :
Montrer que 1 deg (2 diamètres solaires/lunaires) sépare le premier du dernier contact.

Aide :
Montrer que le fait de considérer la révolution synodique de la Lune fige le mouvement du Soleil.

Solution :
Pour "doubler" totalement le soleil, la lune doit passer de la configuration $\circ\bullet$ à la configuration $\bullet\circ$ , càd parcourir 2 diamètres, soit 1 deg.

Ceci représente 1/360ème de la période de révolution synodique (29.5 j), soit 0.082 j, càd environ 2 heures.

pages_referentiels/changement-temporel-sexercer.html

Exercice 'Rotation de Mercure'

Question 1
Aide :
La question est peut être trop simple.

Solution :
Si l'année hermienne vaut 1, le jour sidéral vaut 2/3, d'après l'énoncé, qui annonce 3 jours hermiens = 2 révolutions.
Question 2
Aide :
Identifier ce qui est sidéral, hermien, et la révolution de l'un par rapport à l'autre.

Solution :
En unités d'année hermienne sidérale, la période de rotation propre est 2/3, et la période d'entraînement du référentiel hermien par rapport aux étoiles est 1. La relation de cours, vue avec une période synodique, s'écrit ici avec la période hermienne cherchée :

${1\over T _{\mathrm{sid}}} \ = \ {1\over T _{\mathrm{herm}}} + {1\over T _{\mathrm{an}} }$

Avec $T _{\mathrm{sid}}$ la rotation hermienne sidérale, $T _{\mathrm{her}}$ Avec $T _{\mathrm{sid}}$ la période hermienne sidérale, la rotation hermienne, et $T _{\mathrm{an}}$ l'année hermienne sidérale.

Donc, dans le système d'unité choisi :

${1\over T _{\mathrm{herm}}} \ = \ {1\over T _{\mathrm{sid}}} - {1\over T _{\mathrm{an}} } \ = \ {3\over 2} - 1 \ = \ {1\over 2}$

On en conclut que le jour hermien dure 2 années, comme l'illustre l'animation.

pages_referentiels/changement-temporel-sevaluer.html

Exercice 'Le cas de la Lune'

Question 1
Aide :
Quelle rotation distingue les descriptions sidérale et synodique ?
Question 2
Aide :
La Lune n'est ni le Soleil, autour duquel la Terre tourne, ni les étoiles, considérées comme lointaines et fixes.

pages_referentiels/pointer-sexercer.html

Exercice 'Planète, astre errant'

Question 1
Solution :
Impossible de donner une solution dynamique. Mais vous trouverez la réponse sur le site de l'IMCCE, par exemple à l'entrée Observations des planètes, en choisissant l'objet et la date.

Exemple de solution, au jour où cet exercice a été rédigé : la position de Mars est de 10h37 en ascension droite, et 9°55 en déclinaison.

Position de Mars.
Crédit : IMCCE; DULU
Question 2
Aide :
Ne pas oublier de passer d'abord en temps universel.

Solution :
Impossible de donner une solution dynamique. Mais vous trouverez la réponse sur le site de l'IMCCE, à l'entrée Observations des planètes, en choisissant l'objet, la date, et en précisant le lieu d'observation.

Exemple de solution, au jour où cet exercice a été rédigé : à Nançay, le temps sidéral local de Mars est de 8h01.

Temps sidéral local pour Mars.
Crédit : IMCCE; DULU
Question 3
Aide :
Essayer de définir un critère simple de visibilité.

Aide :
La planète doit être levée en début de soirée.

Solution :
Impossible de donner une solution en temps réel. Mais vous trouverez la réponse sur le site de l'IMCCE, à l'entrée Visibilité des astres, en choisissant l'objet, la date, et en précisant le lieu d'observation.

Exemple de solution, au jour où cet exercice a été rédigé : Mars se couche vers 18h45 TU, soit 20h45 en heure locale, et n'est donc pas observable cette nuit.

Lever et coucher de Mars.
Crédit : IMCCE; DULU