Relation masse-luminosité : Page pour l'impression

Objectifs

Estimer quelques dimensionnements des objets sur la séquence principale à partir de la relation masse-luminosité sur séquence principale ( $L \propto M^3$ ).

Relation masse-luminosité. Les étoiles les moins lumineuses sont intrinsèquement plus de 1000 fois moins lumineuses que le Soleil, quand les plus lumineuses atteignent 1 millions de fois la valeur solaire.

Crédit : ASM

Relation masse luminosité

En faisant de la physique avec les mains, on démontre rapidement que la luminosité d'une étoile est reliée à sa masse par la relation :

$L \ \propto\ M^3$

La démonstration complète est hors de portée de ce cours, car elle introduit des éléments de transfert radiatif, qui aboutissent à la relation entre masse et rayon stellaires. Notons les étapes principales.

Constante de temps radiative

La luminosité d'une étoile, commensurable à une puissance, est égale au quotient de l'énergie interne du gaz de photons à la constante de temps radiative :

$L\ \propto\ {u\over t _{\mathrm{rad}}}$

L'énergie interne du gaz de photons est proportionnelle au volume stellaire R^3 , ainsi qu'à T^4 selon la loi de rayonnement du corps noir). La constante de temps radiative mesure le durée d'échappement des photons, qui résulte d'un phénomène stochastique.

On suppose que le libre parcours moyen $\lambda$ d'un photon est uniforme dans tout l'intérieur stellaire. Le processus de marche au hasard demande alors, pour parcourir une distance par étapes de longueur élémentaire $\lambda$ , un nombre d'étapes variant comme $R^2 / \lambda$ . On en déduit la constante de temps radiative :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {R^2\over \lambda}$

Comme le libre parcours $\lambda$ est en fait inversement proportionnel à l'encombrement, donc à la masse volumique, on a :

$t _{\mathrm{rad}} \ \propto\ {M\over R}$

et

$L\ \propto\ {T^4 \ R^3\over t _{\mathrm{rad}}} \ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}$

Relation masse-rayon-température-luminosité

Dans les pages précédentes, des éléments de physique simples ont permis de calibrer les masse volumique et pression internes :

$\rho\ \propto\ M/R^3 \ \mathrm{ et } \ P _{\mathrm{c}}\ \propto\ M^2/R^4$

ainsi que la relation donnant la température centrale :

$T\ \propto\ M/R$

La luminosité du corps noir stellaire vérifie donc :

$L\ \propto\ {T^4 \ R^4\over M}\ \propto\ M^3$

Observationnellement, l'exposant s'avère être 3.3 :

$L \ \propto\ M^{3.3}$

Durée de vie sur la séquence principale

Cette relation, avec un exposant élevé, signifie qu'une étoile massive va être très lumineuse. Son réservoir de matière étant limité, elle évoluera et mourra beaucoup plus vite qu'une étoile moins massive. Les étoiles les plus massives évoluent en une dizaine de millions d'années. En revanche, une étoile très peu massive a une espérance de vie très longue, se chiffrant en dizaines de milliards d'années.

Avec le réservoir d'énergie donnée par la masse, et la luminosité variant comme M^3 , la durée de vie stellaire varie comme :

$t _{\mathrm{vie}} \simeq {E _{\mathrm{nucl}} \over L} \propto {M\over M^3} = {1\over M^2}$

Durée de vie
étoile	$M/M_\odot$	$t _{\mathrm{vie}}$ (ans)
naine de type M	0.08	$1.5 \ 10^{12}$	100 fois l'âge de l'Univers
Soleil	1	$10^{10}$	le Soleil est à mi-vie
naine de type O	40	$6\ 10^6$	très court !

Ordre de grandeur de la durée de vie d'une étoile en fonction de sa masse.

Le long de la séquence principale

Différents modèles stellaires ont été synthétisés. La masse, le rayon et la luminosité sont données en unités solaires, la température de corps noir en Kelvin (on remarquera que le modèle correspondant à 1 masse solaire n'a pas un rayon solaire : la série a été déterminée pour des conditions d'âge et de composition différentes de celles de notre Soleil).

A l'aide de l'appliquette, calculer la luminosité de corps noir Lcn, et vérifier qu'elle correspond à la luminosité modélisée.

Calculer ensuite les luminosités, masses et rayons en échelle logarithmique, et vérifier les exposants des relations de proportionnalité entre la luminosité et la masse d'une part, la luminosité et le rayon d'autre part.

Amplitude des oscillations

Difficulté : ☆☆ Temps : min

L'amplitude des oscillations de type solaire dépendent du rapport a = L/M , la luminosité donnant la mesure de l'énergie transportée par convection, et la masse mesurant l'inertie de la réponse. Ces deux grandeurs ne peuvent être mesurées qu'indirectement : la mesure de la luminosité dépend de la distance, et la mesure de la masse nécessite un modèle de structure interne.

Question 1)

Montrer que l'amplitude croît avec le type spectral.

[1 points]

Question 2)

Déterminer la dépendance a (T, g) , avec la température effective (déduit du spectre) et le champ gravitationnel (déduit des profils de raies).

[1 points]

Le long de la séquence principale

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Diagramme HR.

Crédit : ASM

Le long de la séquence principale, la luminosité d'une étoile varie approximativement comme la puissance 6 de la température, comme le rappelle le diagramme HR ci joint.

Question 1)

Montrer que l'on peut en déduire une relation masse-rayon le long de la séquence principale du type:

$M \propto R^2$