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Puissance totale rayonnée

Objectifs

Etablir le bilan de la puissance rayonnée par un corps noir stellaire.

Quelle puissance rayonne une étoile de température d'équilibre , assimilable à un corps noir de température , supposée sphérique de rayon ? La réponse nécessite d'intégrer la luminance spectrale du corps noir sur toute sa surface, dans toutes les directions, à toute longueur d'onde.

Le calcul aboutit à la puissance :

$\mathcal{P} \ = \ 4\pi R^{2} \ \sigma T^4$

avec la constante de Stefan : $\sigma = 5.669\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{K}}^{-4}$ .

Puissance totale rayonnée

On peut justifier rapidement la présence des termes $R^{2}$ et T^4 dans cette puissance totale rayonnée. En effet, l'intégration de la luminance spectrale, spatiale, angulaire et spectrale :

$\mathcal{P} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {{ \mathcal{B}}_\nu (T) } \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {2 h \over c^{2}} {\nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1} \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu$

implique, pour la dépendance en fonction du rayon, un terme proportionnel à la surface stellaire, variant donc comme $R^{2}$ , et pour le terme de température, un terme proportionnel à T^4 , mis en évidence par le changement de variable $x = h\nu / kT$ , qui conduit à :

${\cal P} \propto \ \left({kT\over h}\right)^4 \ \int_0^\infty\!\! {x^{3} \over \exp\displaystyle{x} -1} \ {\mathrm{d}} x$

Les termes non explicités dans cette équation ne dépendent pas de la température, pas plus que l'intégrale sur la variable , qui n'est plus qu'un simple nombre $(\pi^4 / 15)$ .

La loi en T^4 entraîne une grande diversité dans la vie des étoiles. Deux étoiles de rayons analogues mais avec des températures variant du simple au quintuple (4000 - 20000 K p.ex.) vont avoir des luminosités dans un rapport de 625, donc déjà des couleurs et luminosités très différents. Mais il s'ensuit également des conséquences très fortes sur leurévolution.