La puissance du corps noir

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Puissance totale rayonnée

Objectifs

Etablir le bilan de la puissance rayonnée par un corps noir stellaire.

Quelle puissance rayonne une étoile de température d'équilibre , assimilable à un corps noir de température , supposée sphérique de rayon ? La réponse nécessite d'intégrer la luminance spectrale du corps noir sur toute sa surface, dans toutes les directions, à toute longueur d'onde.

Le calcul aboutit à la puissance :

$\mathcal{P} \ = \ 4\pi R^{2} \ \sigma T^4$

avec la constante de Stefan : $\sigma = 5.669\ 10^{-8} {\,\mathrm{W}} { {\,\mathrm{m}}}^{-2} {\,\mathrm{K}}^{-4}$ .

Puissance totale rayonnée

On peut justifier rapidement la présence des termes $R^{2}$ et T^4 dans cette puissance totale rayonnée. En effet, l'intégration de la luminance spectrale, spatiale, angulaire et spectrale :

$\mathcal{P} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {{ \mathcal{B}}_\nu (T) } \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu = \int\!\!\!\int\!\!\!\int {2 h \over c^{2}} {\nu^{3} \over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1} \ {\mathrm{d}}\Omega {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \nu$

implique, pour la dépendance en fonction du rayon, un terme proportionnel à la surface stellaire, variant donc comme $R^{2}$ , et pour le terme de température, un terme proportionnel à T^4 , mis en évidence par le changement de variable $x = h\nu / kT$ , qui conduit à :

${\cal P} \propto \ \left({kT\over h}\right)^4 \ \int_0^\infty\!\! {x^{3} \over \exp\displaystyle{x} -1} \ {\mathrm{d}} x$

Les termes non explicités dans cette équation ne dépendent pas de la température, pas plus que l'intégrale sur la variable , qui n'est plus qu'un simple nombre $(\pi^4 / 15)$ .

La loi en T^4 entraîne une grande diversité dans la vie des étoiles. Deux étoiles de rayons analogues mais avec des températures variant du simple au quintuple (4000 - 20000 K p.ex.) vont avoir des luminosités dans un rapport de 625, donc déjà des couleurs et luminosités très différents. Mais il s'ensuit également des conséquences très fortes sur leurévolution.

S'exercer

Rayon stellaire

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45min

La puissance rayonnée par une étoile, assimilée à un corps noir de rayon et température , varie comme :

${L\over L_\odot} \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^\alpha \ \left({T\over T_\odot}\right)^\beta$

avec $R_\odot$ , $T_\odot$ et $L_\odot$ respectivement les rayon, température effective et luminosité du soleil.

Question 1)

Rappeler les valeurs de $\alpha$ et $\beta$

Question 2)

Une naine blanche présente une luminosité 100 fois inférieure à celle du Soleil, pour une température $T _{\mathrm{NB}}$ . Estimer son rayon $R _{\mathrm{NB}}$ , en fonction des données solaires et de $T _{\mathrm{NB}}$ .

Question 3)

Calculer $R _{\mathrm{NB}}$ pour = 30000 K, $R_\odot = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ et $T_\odot = 5800 {\,\mathrm{K}}$ .

Question 4)

Représenter sur le diagramme ci-joint les lignes iso-rayon, pour les étoiles de respectivement 0.1, 1 et $10~R_\odot$ .

Diagramme HR

Diagramme HR : température en abscisse, luminosité (par rapport à la luminosité solaire) en ordonnée, avec en pointillé les lignes iso-luminosité et iso-température (pour les températures $T_\odot$ et $10\ T_\odot$ )

Crédit : ASM

Question 5)

Situer sur ce diagramme une supergéante rouge de rayon $10^{2}\ R_\odot$ et une naine blanche de rayon $10^{-2}\ R_\odot$ , de température respective 4000 et 30 000 K.

S'évaluer

Mesure de la température effective

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

La loi de Stefan permet de calculer la température d'un corps noir à partir de sa luminosité et de sa taille. La difficulté est que ces deux termes dépendent de la distance de l'objet. L'exercice se propose de voir comment pallier cette difficulté, dès lors que l'on peut connaître, par interférométrie, le rayon angulaire de l'étoile. Par la suite, on note $\ell=L/d^2$ le flux relatif de l'étoile et $\theta$ le rayon angulaire de l'étoile.

Question 1)

Comment $\theta$ s'exprime-t-il en fonction du rayon et de la distance ?

[1 points]

Question 2)

Réécrire la relation de luminosité du corps noir en fonction des observables $\ell$ et $\theta$ . En déduire que l'on peut relier la température de corps noir à des grandeurs directement mesurables.

[2 points]

Réponses aux QCM

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QCM

Question 1
Solution : réponse 1) ( Et même plombier )
Question 2
Solution : réponse 1) ( En effet )
Question 3
Solution : réponse 1) ( ...et à condition que la géante soit plutôt rouge )
Question 4
Solution : réponse 2)

Réponses aux exercices

pages_corps-noir/flux-noir-sexercer.html

Exercice 'Rayon stellaire'

Question 1
Aide :
Voir la définition de la puissance rayonnée par un corps noir sphérique de rayon et de température

Solution :
La puissance du corps noir étant proportionnelle à $R^{2}$ et , il sort simplement :

$L \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$
Question 2
Aide :
Il s'agit d'une simple application de la question précédente

Solution :
L'égalité des luminosités se traduit par :

$10^{-2} \ = \ \left({R _{\mathrm{NB}}\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T _{\mathrm{NB}}\over T_\odot}\right)^4$

On en déduit :

$R _{\mathrm{NB}}\ =\ {R_\odot \over 10} \ \left({T _{\mathrm{NB}}\over T_\odot}\right)^{-2}$
Question 3
Solution :
L'application numérique de la question précédente donne

$R _{\mathrm{NB}} \simeq 0.0037\ R_\odot \simeq 2600 {\,\mathrm{km}}$
Question 4
Aide :
Le diagramme est en échelle log-log. Plutôt que de représenter les valeurs de température 1000, 10000 K par les logarithmes décimaux 3 et 4 selon une échelle linéaire, il présente 1000 et 10000 en échelle logarithmique.

Avec une telle échelle, une loi de puissance $y = \beta\ x^\alpha$ se traduit linéairement par

$\log y = \alpha \ \log x + \log \beta$

Aide :
Une ligne iso-rayon relie dans le diagramme des étoiles de températures et luminosités variables, mais rayons identiques.

Solution :
On s'intéresse à la ligne iso-rayon de rayon solaire. Elle est caractérisée par l'équation reliant température et luminosité s'exprimant :

${L\over L_\odot} \ = \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$

L'exposant 4 se traduit par une pente de 4 dans le diagramme log-log. La droite de pente 4 relie par exemple les points $(T/T_\odot, L/L_\odot) = (1, 1)$ et $(T/T_\odot, L/L_\odot) = (10, 10^4)$ . Attention : la pente apparaît négative car l'axe des températures est orienté vers la gauche dans le diagramme HR usuel.

Diagramme HR
Diagramme HR avec lignes iso-rayon $(R/R_\odot = 0.1\ ;\ 1.0\ ;\ 10\ ;\ 100)$
Crédit : ASM
Question 5
Solution :
L'application de l'expression donnant la luminosité

${L\over L_\odot} \ = \ \left({R\over R_\odot}\right)^2 \ \left({T\over T_\odot}\right)^4$

conduit, pour la géante rouge, à :

$L \simeq 2.2\ 10^{3}\ L_\odot$

et pour la naine blanche :

$L \simeq 7.2\ 10^{-2}\ L_\odot$

Diagramme HR
Crédit : ASM

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Exercice 'Mesure de la température effective'

Question 1
Aide :
L'approximation des petits angles est amplement justifiée.
Question 2
Aide :