Refroidissement Laser

Introduction

L'objet de ce rapport est de présenter un simulateur interactif illustrant le principe de refroidissement d'atomes par laser, dans le dispositif général d'une horloge atomique. Ce simulateur concerne plus précisément la troisième étape du dispositif de refroidissement : le ralentissement final - ralentissement "Doppler" - et le piégeage des atomes sous forme d'une "mélasse optique", physiquemment un nuage sphérique d'atomes sans paroi matérielle, de taille dont l'ordre de grandeur est le mm, très peu dense et dont la température est très près du zéro absolu.

Principe général du refroidissement

Le principe consiste à exposer au rayonnement d'un Laser un gaz d'atomes à température donnée. Chaque atome est susceptible d'être freiné suite à une séquence de deux actions : l'absorption d'un photon du laser, suivie de l'émission spontanée d'un photon.

En agissant ainsi, l'atome subit en fait deux variations de vitesse, dite de « recul » : la première en absorbant un photon « directionnel » du laser, et la deuxième, en émettant un photon dans une direction aléatoire.

Contrôler cette variation globale de vitesse c'est être en capacité de ralentir l'atome. Or, il est impossible de contrôler l'émission spontanée qui est caractérisée par un temps de désexcitation intrinsèque à l'atome, et une direction aléatoire. En revanche, il est possible de contrôler l'absorption : c'est le rôle du laser.

Contrôler l'absorption

Le laser fournit un jet collimaté de photons tous de même fréquence, se propageant tous dans la même direction et le même sens. ּ L'utilisation du laser permet d'optimiser le processus d'absorption de deux façons :

d'une part en maximisant la probabilité d'absorption par le réglage de sa fréquence.
d'autre part en contrôlant la direction de « recul » dû à l'absorption par le choix de son orientation,

Si le choix de l'orientation est arbitraire, à déterminer en fonction de conditions expérimentales, celui de la fréquence est imposée par la nature de l'atome : elle doit correspondre à sa fréquence d'excitation (dite de résonance) avec un décalage tenant compte de l'effet Doppler. Cet effet a deux conséquences essentielles :

celle, contraignante, de rendre l'absorption dépendante de la vitesse de l'atome, ce qui limite le ralentissement dans le temps à un seuil minimal,
celle, avantageuse, de rendre l'absorption dépendante du sens de déplacement de l'atome ce qui permet d'assurer le ralentissement, par le choix du sens du décalage de fréquence.

La première conséquence est due au fait qu'au delà d’un certain écart à la vitesse initiale la fréquence du laser n'est plus accordée sur celle de l'atome, et celui-ci ne peut plus absorber. La deuxième conséquence est due au fait que le frein n'est efficace que si l'absorption a lieu alors que le sens de propagation du laser est opposé à celle du déplacement de l'atome. Dans ce cas le « recul » est opposé à la vitesse atomique, alors que dans le cas contraire, le « recul » est en fait une accélération. En choisissant une fréquence un peu inférieure à la fréquence de résonance l'absorption est largement dominante dans le sens « frein ». Une évaluation quantitative de cette dominance est développée dans l'introduction aux exemples commentés.

L'utilisation du laser a une autre conséquence : provoquer l'émission induite qui concurrence l'émission spontanée, pour désexciter l'atome. C'est un inconvénient majeur car une émission induite a pour effet d'annuler le recul dû à l'absorption. Il est possible d'éviter cet écueil, en jouant sur l'intensité du laser. En effet le temps caractéristique de l'émission induite est proportionnel au temps d'émission spontanée de l'atome (invariable) et à l'intensité du laser qui, elle, est modulable.

Piéger les atomes dans une mélasse optique

Dans le contexte d'une horloge atomique, la création et le maintien de la mélasse optique s'effectue en trois étapes. Dans la première étape, le gaz d'atomes est libéré par chauffage dans une enceinte, et se trouve donc initialement à une température déterminée par le processus en jeu, sublimation ou évaporation. Un dispositif technique - microtunnels dans la paroi de l'enceinte-, sélectionne les atomes dont la vitesse thermique se trouve dirigée dans une direction donnée, ce qui conduit à la formation d'un jet unidirectionnel. Dans la seconde étape, ce jet est ralenti par effet de recul consécutif aux interactions avec les photons d'un premier laser, puis dévié pour étre dirigé vers le centre d'une sphère de vide poussé. Cette seconde étape est illustrée par un simulateur accessible sur ce lien. C'est au centre de cette sphère qu'a lieu l'étape finale de freinage et de confinement. Les atomes sont pris en charge par un dispositif de six faisceaux lasers, deux faisceaux de sens opposée dans trois directions spatiales orthogonales.

La question posée

La question posée dans cette troisième étape est donc comment transformer en quelques dizaines de nanosecondes, un jet d'atomes dont la vitesse est de l'ordre du m/s en une mélasse confinée et refroidit à quelques 10^-4 K.

Shéma très simplifié du dispositif de confinement, ici en deux dimensions

Le freinage a lieu lorsque les atomes pénètrent dans la zone de recouvrement des faisceaux. Le rayon des faisceaux est de l'ordre du cm, celui de la zone de confinement du mm.

Une application au Rubidium 87

Les données ayant servi à la construction du simulateur sont celles du rubidium (Isotope 87) , utilisé - avec le strontium et le césium - , dans les recherches sur les atomes froids. La longueur d'onde de résonnance en jeu est 780 nm, correspondant à la transition D2 entre les niveaux F1 et F2 du niveau fondamental. Dans la première étape, le gaz est chauffé 160°, et l'ordre de grandeur des vitesses sélectionnées pour la construction du jet - vitesses initiales de la seconde étape est de 100 m/s. Celui des vitesses au départ de la troisième étape est de 1 m/s

Un simulateur à événements discrets

L'originalité du simulateur est de considérer individuellement les atomes dans leurs interactions avec le flux continu des photons émis par le dispositif laser. La "vie" de chaque atome simulé est alors une succession d'excitations et de dés-excitations - spontanées ou induites- survenant à des instants aléatoires de lois de probabilités connues. Le principe de simulation est donc différent de celui adopté dans le simulateur de l'étape antérieure, bien que basé sur la même physique et montrant sur le temps macroscopique des dynamiques semblables. On passe bien, entre les deux simulateurs, d'une approche microscopique discontinue à une approche macroscopique continue, et cet aspect méthodologique sera repris en détail dans la section explication.

Plan du document

Ce document comporte cinq parties.

Les objectifs du simulateur
Le mode d'emploi de l'Applet, a savoir la présentation des différents paramètres manipulables et les écrans de résultats
Les explications, comprenant l'exposé du modèle physique, la réalisation informatique, quelques compléments théoriques et enfin une introduction aux exemples commentés
Deux exemples commentés
La liste des paramètres de l'Applet

Mode d'emploi de l'applet

Explications

Le modèle physique

Schéma général

Le dispositif

Conme représenté dans le schéma simplifié , un paquet d'atomes se déplaçant parallèlement avec des vitesses linéaires sensiblement identiques et déjà fortement ralentis pénètre dans une zone contrôlée par le recouvrement de six faisceaux laser, deux à deux opposés et ayant chacun la même fréquence. Dans cette zone, les atomes du paquet achèvent leur freinage, la vitesse de groupe devenant nulle, et finissent donc par être confinés dans une petite sphère au centre de la zone, dans laquelle ils s'agitent de manière quasiment thermique avec une température de l'ordre de quelques 3/10 de millikelvin.

Deux hypothèses

Le modèle physique à la base de notre simulateur repose sur deux hypothèses :

Le paquet d'atomes considéré est optiquement mince : la proportion de l'énergie des faisceaux laser absorbée par les atomes est négligeable par rapport à l'énergie fournie par les faisceaux laser. Nous considérons que les atomes du paquet sont confrontés à une intensité de rayonnement qui est la même pour chacun d'entre eux et qui est constante dans le temps.
La collimation, la densité, et la vitesse initiale du paquet d'atomes sont telles que le temps entre deux collisions est long par rapport à la durée simulée. Cette propriété subsiste dans la phase de confinement. Il n'y a pas non plus d'échange thermique avec un corps matériel constituant une paroi, puisqu'il n'y a pas de paroi. L'évolution du peuplement des niveaux d'énergie et le confinement résulte uniquement de l'interaction avec les photons des faisceaux laser.

Conditions initiales

Le jet d'atomes pénètre dans le dispositif dans la direction constituant la "diagonale" des trois directions orthogonales des faisceaux. Ainsi aucun faisceau n'est privilégié, la force moyenne s'exercant sur les atomes est colinéaire avec cette direction diagonale qui sera donc à priori conservée.

Un suivi individuel des atomes

Considérons un paquet constitué d'un nombre fini et donné d'atomes, dont nous suivons individuellement l'évolution. Chaque atome A est caractérisé par sa masse m_A, par la fréquence de résonnance ν_A liée à la transition entre deux niveaux d'énergie, le délai moyen de dés-excitation spontanée τ_Acorrespondant. Il possède à chaque instant une vitesse vectorielle V_A, dans un repère dont les trois axes correspondent à la direction des trois faisceaux, et occupe un niveau d'énergie conventionnellement pris égal à 0 pour le niveau d'énergie inférieur, et à 1 pour le niveau supérieur.

Une suite d'événements discrets

L'évolution d'un atome est une suite d'événements discrets, intervenant à des instants aléatoires et indépendants d'un atome à l'autre. Ces événements sont associés aux interactions avec le flux des photons provenant des faisceaux lasers : aborptions, dés-excitations induites ou spontanées. Chacun de ces événements - considéré comme instantané - modifie la vitesse de l'atome, en valeur absolue et en direction, ainsi que son état.

La modification des vitesses

Les formules donnant les modifications des vitesses sont les suivantes. Pour une excitation, on additionne vectoriellement la quantité de mouvement du photon absorbé à la quantité de mouvement de l'atome :
m_AV_A(t_+) = m_AV_A(t)+p

Pour une dés-excitation induite, on soustrait vectoriellement la quantité de mouvement du photon inducteur de la quantité de mouvement de l'atome :
m_AV_A(t_+) = m_AV_A(t)-p

Pour une dés-excitation spontanée, on soustraie vectoriellement la quantité de mouvement de l'atome à celle du photon émis, la direction de cette dernière étant totalement aléatoire.

Interactions photons-atomes comme processus stochastiques

Taux moyens et lois de probabilités

Le délai de survenance d'un événement, qu'il soit une absorption, une dés-excitation induite ou une dés-exitation spontanée, est contrôlé, pour un état donné de l'atome, par un processus stochastique sans mémoire et uniforme. La loi de probabilité est alors la loi exponentielle paramétrée par le délai moyen de survenance, ou son inverse le taux de survenance. Il suffit donc de connaître à chaque instant les taux de survenance des événements qui s'appliquent à l'atome dans l'état ou il se trouve pour en déduire leurs lois de survenance et tirer au sort en fonction de ces lois les dates de réalisation. Les notations et équations suivantes sont inspirées des cours et ouvrages sur le transfert radiatifs cités dans la bibliographie.

Notations

Soit toujours pour l'atome, ν_A la fréquence du rayonnement lié à la transition entre les deux niveaux d'énergie, τ_A le temps moyen de dés-excitation déterminant la largeur naturelle de la raie, enfin V_A sa vitesse dans la direction d'un faisceau laser contrevenant donné. Soit pour ce faisceau laser ν_L sa fréquence et J_Lson intensité. Soit g₀et g₁ les poids statistiques respectifs du niveau 0 et du niveau 1. Les expressions des taux de survenance 1) d'une excitation 1/τ_Ed'un atome à l'état 0 et 2) d'une dés-excitation induite 1/τ_Id'un atome à l'état 1 sont données par les formules d'Einstein.

Expressions des taux de survenance

$\frac{1}{\tau_E} = B_{0\rightarrow 1}(\nu_A,\tau_A)J_L\phi(\nu_L, \nu_A,\tau_A,V_A)$
$\frac{1}{\tau_i} = B_{1\rightarrow 0}J_L\phi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A)$
$\frac{1}{\tau_S}=\frac{1}{\tau_A}$
avec
$B_{0 \rightarrow 1}(\nu_A, \tau_A) = \frac{g_1}{g_0}\frac{c^2}{h\nu_A^3}\frac{1}{\tau_A}$
$B_{1\rightarrow 0}(\nu_A,\tau_A) = \frac{c^2}{2h\nu_A^3}\frac{1}{\tau_A}$
le profil de la raie étant donné par
$\phi(\nu_L,\nu_A, \tau_A,V_A) = \frac{4\tau_A}{1+\left(\varphi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A)\right)^2}$
où la quantité sans dimension intervenant au dénominateur vaut
$\varphi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A) = 4\pi\tau_A\left(\nu_L(1+\frac{V_A}{c})-\nu_A\right)$

Réinterprétation de l'expression des taux

Les expressions des taux d'excitation et de dés-excitation peuvent se réinterpréter comme le produit d'un taux de rencontre 1/τ d'un photon et de l'atome et d'une probabilité d'interaction suite à cette rencontre. Taux de rencontre - différents pour l'excitation et la dés-excitation - et probabilité d'interaction sont donnés respectivement par :
$\frac{1}{\tau_{0\rightarrow 1}}(\nu_A,J_L) = \frac{g_1}{g_0}2\frac{c^2}{h\nu_A^3}J_L$
$\frac{1}{\tau_{1 \rightarrow 0}}(\nu_A,J_L) = 2\frac{c^2}{h\nu_A^3}J_L$
$\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A) = \frac{1}{1+\left(\varphi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A)\right)^2}$
Les taux de survenance des excitations et des dés-excitations induites s'écrivent alors simplement :
$\frac{1}{\tau_E} = \frac{1}{\tau_{0\rightarrow 1}}(\nu_A, J_L)\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A)$
$\frac{1}{\tau_I} = \frac{1}{\tau_{1\rightarrow 0}}(\nu_A,J_L)\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A)$

Prise en compte de l'existence des six faisceaux

Jusqu'à présent nous avons considéré les interactions de l'atome avec un seul des six faisceaux. La loi de probabilité de survenance des excitations et dés-excitations induites, en présence de tous les faisceaux est aussi une loi exponentielle dont le taux est simplement la somme des taux afférant à chacun des faisceaux pris individuellement :
$\frac{1}{\tau_E} = \sum_{k=1}^{k=6}{\frac{1}{\tau_E^k}}$
$\frac{1}{\tau_I} = \sum_{k=1}^{k=6}{\frac{1}{\tau_I^k}$ soit
$\frac{1}{\tau_E} =\frac{1}{\tau_{0\rightarrow 1}}}(\nu_A,J_L)\sum_{k=1}^{k=6}{\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A, V_A^k)}$
$\frac{1}{\tau_I} = \frac{1}{\tau_{1\rightarrow 0}}(\nu_A,J_L)\sum_{k=1}^{k=6}\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A^k)$
en considérant dans la somme les projections des vitesses sur chacun des six faisceaux.

Points particuliers

Choix de l'intensité

Il parait à priori assez naturel de choisir une intensité J_Lassurant que les atomes excités aient le temps de se dés-exciter spontanément avant une nouvelle rencontre susceptible d'aboutir à une interaction, donc avec une valeur de la probabilité non négligeable. En se plaçant dans les conditions de départ décrites plus haut, la vitesse des atomes est telle que cette probabilité est proche de 1 dans trois directions et négligeable dans les trois directions opposées. Le choix de l'intensité doit alors être tel que le taux de rencontre par faisceau - conduisant à une dés-excitation induite soit égal à 1/3τ_A. Ce choix conduit à une valeur de J_L égale à :
$J_L=\frac{h\nu_A^3}{2c^2}\frac{1}{3\tau_A}$
et à une expression des taux de survenance dans laquelle aucune présence explicite de l'intensité n'existe plus :
$\frac{1}{\tau_E} = \frac{g_1}{g_0}\frac{1}{3\tau_A}\sum_{k=1}^{k=6}{\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A^k)}$
$\frac{1}{\tau_I} = \frac{1}{3\tau_A}\sum_{k=1}^{k=6}\psi(\nu_L,\nu_A,\tau_A,V_A^k)$
Cette valeur de l'intensité, limite au dessus de laquelle les dés-excitations induites vont dominer les dés-excitations spontanées, est en rapport avec l'intensité de saturation J_Sassociée à l'atome et la transition considérée (cf Cagnac et Faroux, chap 8, p 155) :
$J_L=J_S(1+\frac{g_1}{g_0})$

Bibliographie

Cours, Processus électromagnétiques, transfert du rayonnement et Interaction matière rayonnement. Patrick Boissé, IAP, 2008-2009.

Rutten, R.J., 2003, Radiative Transfer in Stellar Atmospheres, Utrecht University lecture notes, 8th edition. Notamment pages 19 et suivantes.

Bernard Cagnac et Jean Pierre Faroux, Lasers : interaction lumière atomes, EDP Sciences, collection Savoirs actuels, 2002. Notamment début du chapitre 8.

La réalisation informatique

Schema général

Un échéancier d'événements discrets

Le principe est celui des simulateurs d'événements discrets en temps continu. Il réside dans la gestion d'un échéancier d'événements - c.a.d d' actions modificatrices de l'état d'un atome : la boucle de base comprend donc 1) l'extraction de la prochaine échéance, 2) l'exécution de l'action associée - excitation, dés-excitation induite ou dés-excitation spontanée, enfin 3) l'inscription dans l'échéancier de la prochaine action à effectuer sur le même atome. La boucle s'arréte lorsque la date du dernier événement traité dépasse une limite fixée à l'avance et paramétrable au choix de l'utilisateur. L'initialisation de l'échéancier est effectuée par inscription des premières excitations, tous les atomes étant pris au départ désexcité.

Le calcul des échéances s'effectue à partir du fait que les lois de probabilités conditionnées par l'état des atomes, sont des lois exponentielles. Ce mode de gestion d'actions controlées par un processus stochastique en temps continu s'inspire d'une idée ancienne, voir par exemple Gillespie 1976, reprise depuis par de nombreux travaux.

Des sorties par cycle d'actions

Les sorties du simulateur ne sont pas faites lors de chaque action, donc lors de chaque itération de la boucle. Cela augmenterai trop le temps d'exécution et serait de plus assez inutile, la modification de l'état d'un atome ne changeant que peu l'état du système, dès lors que le nombre d'atomes est suffisament grand. Nous avons fait le choix de n'effectuer des sorties qu'après avoir effectué un cycle d'actions, c.a.d après un nombre d'itérations égal à deux fois le nombre d'atomes. On peut alors considérer statistiquement que tous les atomes ont été visités, pour chacun des deux grands type d'actions.

Architecture

Les paquets

Ttois paquets sont spécifiques au simulateur : le paquet "appletlaser", le paquet "atomes et le paquet "photons". Trois autres sont généraux et peuvent servir dans d'autres applications : la paquet "espace", le paquet "classement" et le paquet "fonctions". La structure de cet ensemble de paquets est la suivante :

Hiérarchie des paquets

Les flèches indiquent le sens des importations. Par exemple une classe de "atomes" importe une classe de "fonctions".

"atomes" est centré sur les données afférentes au type d'atome considéré, aux actions - ici excitations, dés-excitations induites et spontanées - qui les modifient.
"photons" est centré sur les données du dispositif laser, le calcul des délais d'interactions des photons émis avec les atomes.
"classement" est dédié au maintien et à l'exploitation d'un ensemble d'éléments triès selon un certain critère.
"espace" est dédié aux opérations sur des vecteurs d'un espace à trois dimensions
'fonctions"est une bibliothèque de constantes, de fonctions et de tirages aléatoires. Il est aussi destiné aux opérations sur les fonctions (dérivation, intégration).

L'interface

Les paramètres d'entrée

Dans le choix des paramètres d'entrée accessibles à l'utilisateur, nous avons pris l'option d'une normalisation fixant par défaut les réglages afférents au dispositif Laser, compte tenu des données enregistrées pour les atomes : réglage de la fréquence, de l'intensité des faisceaux laser et de la largeur de leur raie spectrale.

Le réglage de la fréquence des faisceaux laser

Concernant la fréquence, nous prenons comme paramètre d'ajustement un coefficient sans dimension η , de manière à ce que la fréquence effective du laser soit donné par :
$\nu_L= \hat{\nu}_L(1+\eta\frac{V_A^k}{c})$
avec pour contraintes sur η
$-\frac{c}{V_A^k}<\eta\leq1$
La fréquence de référence utilisée dans cette formule est définie par :
$\hat{\nu}_L(1+\frac{V_A^k}{c}) = \nu_A$
La vitesse est la projection de la vitesse initiale du jet d'atome sur l'un des faisceaux contrevenant.

Une valeur nulle du coefficient η implique que la fréquence du laser perçue par les atomes soit calée sur la fréquence de résonnance.
Une valeur positive décale la fréquence du laser vers des valeurs plus grandes, et décale donc du même coup la fréquence perçue au delà de la fréquence de résonnance.
Lorsque η vaut 1, la fréquence du laser est égale à la fréquence de résonnance des atomes. Les rencontres d'accélération compensent les rencontres de freinage, et la vitesse des atomes reste stable. Au delà, on observerait une accélération des atomes, ce que nous nous interdisons ici.
Une valeur négative décale la fréquence du laser vers des valeurs plus petites, et décale donc au contraire la fréquence perçue en deça de la fréquence de résonnance.

La différence entre la fréquence de résonnance et la fréquence perçue est donnée par :
$\nu_A-\nu_L(1+\frac{V_A^k}{c}) = -\nu_A\eta\frac{V_A^k}{c}$
On peut estimer que cette différence ne doit pas être plus grande qu'un certain multiple p de la largeur à mi hauteur de la raie de résonnance en fréquence. Ce qui donne un ordre de grandeur de la limite pratique de η du coté des valeurs négatives :
$\nu_A\eta\frac{V_A^k}{c} >-\frac{p}{2\pi\tau_A}$
et donc
$\eta >-\frac{p}{2\pi\tau_A\nu_A}\frac{c}{V_A^k}$
Une valeur dont nous retrouverons l'usage dans l'introduction aux exemples commentés est la grandeur ayant la dimension d'une vitesse définie par :
$V =\frac{c}{4\pi\tau_A\nu_A}$
La valeur limite de η s'écrit alors
$\eta > -2p\frac{V}{V_A^k}$

Le réglage de l'intensité des faisceaux laser

Concernant l'intensité, le paramètre d'ajustement est le rapport entre l'intensité effective et une intensité de référence. Cette intensité de référence est celle qui assure dans les conditions de départ et avec la fréquence de référence l'égalité entre le nombre moyen par atome et unité de temps de désexcitations induites et le nombre moyen, également par atome et par unité de temps, de dés-excitations spontanées, c.a.d, rappelons le
$J_L=\frac{h\nu_A^3}{2c^2}\frac{1}{3\tau_A}$
donc calculée à partir des données afférentes à l'atome.

Le réglage de la largeur spectrale des faisceaux laser

Dans les conditions expérimentales dont nous avons pris connaissance au Syrte, la largeur spectrale du laser est petite devant la largeur naturelle de la raie de l'atome. Néammoins la possibilité est ouverte d'expérimenter d'autres conditions. Aussi cette largeur du laser est prise en valeur relative, par rapport à celle de l'atome. Dans la marche du programme, elle est considérée comme nulle dès lors qu'elle est inférieure à 0.053. La valeur par défaut affichée, 0.025, équivaut donc à une largeur nulle.

Les graphes de sorties

Quatre graphes de résultats sont programmés, chacun présentant deux graphiques.

Le suivi des vitesses individuelles

Le premier est centré sur le suivi des vitesses individuelles. Dans un premier graphique est reporté à chaque date de fin de cycle la norme de la vitesse de l'atome concerné par la dernière action du cycle. Le second graphique présente la distribution des vitesses dans la population des atomes à la fin du cycle. Il visualise la fonction donnant le nombre d'atomes dont la vitesse rapportée - pour normalisation - à la vitesse médiane est inférieure à une valeur donnée. La construction de ce dernier graphique ralentissant beaucoup la simulation n'est pas effectuée à chaque cycle.

Le suivi de la vitesse moyenne

Le second est centré sur la vitesse moyenne du paquet d'atomes (premier graphique) et sa direction (second graphique). Les données sont sorties à chaque cycle. La vitesse moyenne est la norme du vecteur vitesse moyen. La direction est mesurée en degrés en prenant l'angle du vecteur vitesse moyen avec la direction initiale.

Le suivi des actions

Le troisième est centré sur la fréquence des actions subies par les atomes et leur niveaux d'énergie. Le premier graphique représente à chaque fin de cycle le nombre d'excitations efficaces, par atome et par unité de temps, tel que constaté pendant le cycle. Le second graphique présente la proportion d'atomes excités constatée à chaque fin de cycle, diminuée de la proportion d'atomes non excités fois le rapport des poids statistiques g = g₁/g₀, grandeur appelée différence pondérée des populations.

Le suivi des parcours

Le quatrième est centré sur les libres parcours des atomes, et complète donc le second quant à la visualisation du confinement. Le premier graphique donne la fréquence des changements d'orientations - toutes causes confondues- telle qu'on peut la constatée sur l'état des atomes à la fin du cycle. Le second graphique donne dans les mêmes conditions la longueur du libre parcours moyen.

Points particuliers

Mention doit enfin être faite de plusieurs points concourants à la compréhension du programme et à son utilisation.

Prise en compte de la largeur spectrale du laser

La raie spectrale du laser est très fine, dans la troisième étape du dispositif de refroidissement, par rapport à celle de l'atome, et elle peut être sans inconvénient considérée comme nulle dans le simulateur. Cependant nous avons voulu offrir la possibilité d'expérimenter des valeurs plus larges. La solution adoptée est conforme à l'esprit général du simulateur : Chaque faisceau laser se trouve décomposé en un nombre fini de sous-faisceaux, chacun correspondant à une petite bande de fréquence suffisamment petite pour être considérée comme nulle du point de vue de l'atome. Chacune de ces sous-faisceaux porte ainsi une fréquence moyenne et une intensité, la somme des intensités devant être égale à l'intensité "bolométrique" du faisceau décomposé. Le calcul de l'intensité d'un sous-faisceau se fait par intégration entre les deux bornes de sa bande de fréquence, par la méthode trapézoidale, avec un pas adapté. D'autres méthodes - Hermite, Gauss, Lobato - pourraient être adoptées et insérées dans la package "fonctions".

Cette décomposition en sous-faisceaux a l'avantage de ne pas changer la structure générale du programme. Tous ces faisceaux se font concurrence de la même manière que, dans le cas d'une raie très fine, se font concurrence pour interagir avec les atomes les faisceaux non décomposé du dispositif : c'est le premier qui gagne au tirage au sort, compte tenu de ses "moyens", à savoir sa fréquence et son intensité.

Ensemble triés

Pour maintenir un échéancier d'actions dans le bon ordre des dates, de même que pour trier l'ensemble des atomes selon les vitesses, il faut disposer de méthodes adéquates. Les versions actuelles de Java permettent de maintenir des ensembles d'objets triés en permanence sur des critères choisis, mais les classes fournissant ces services n'existent pas dans la version initiale de Java. Nous avons donc recréer de telles classes, insérées dans le paquet "classement". Le choix s'est inspiré de l'idée présente dans l'algorithme Smoothsort (Dijkstra 1981) consistant à construire et maintenir un arbre binaire d'éléments.

Tirage poissonnien sur une sphère

Pour le tirage d'un vecteur aléatoire en trois dimensions, nous avons utilisé le fait que la projection d'une sphère sur un cylindre la circonscrivant sur un de ses grands cercles - projection perpendiculaire à l'axe du cylindre - conserve les aires. Un processus ponctuel de Poisson uniforme sur le cylindre se transforme donc par la projection inverse en un processus ponctuel de Poisson uniforme sur la sphère.

Compléments

Du niveau microscopique au niveau macroscopique

Les taux paramétrant les lois de probabilités fixent du même coup certaines valeurs caractérisant macroscopiquement le paquet d'atomes et son évolution. On peut ainsi appréhender les valeurs moyennes du nombre d'événements de chaque type par atome et par unité de temps , et consécutivement la fréquence des changements d'orientations et la longueur des libres parcours. La connaissance de ces ordres de grandeurs est notamment utile pour calibrer au départ des simulations les graphiques de sorties. On peut enfin évaluer le freinage et la dimension du confinement.

Lois des délais effectifs

Les taux dont il a été question jusqu'ici sont des taux conditionnels à un état donné de l'atome ou à une cause donnée de l'événement . Pour connaître le nombre moyen des excitations et des dés-excitations, il faut remonter aux lois de probabilités contrôlant les délais effectifs entre ces événements, tous états et toutes causes confondus.

délai effectif de dés-excitation

La loi de probabilité contrôlant le délai de dés-excitation effectif, quelque soit la cause, spontanée ou induite, de cette dés-excitation, est une loi exponentielle, comme peut le montrer un calcul simple.Son taux effectif 1/τ_D est :
$\frac{1}{\tau_D} = \frac{1}{\tau_I} + \frac{1}{\tau_S}$
La probabilité qu'une dés-excitation induite survienne avant une dés-excitation spontanée est :
$p = \frac{\tau_S}{\tau_I+\tau_S}$

délai effectif d'excitation

La loi de probabilité contrôlant le délai entre deux excitations successives, regroupant donc une phase où l'atome reste excité et une phase où il est dés-excité, n'est pas une loi exponentielle. La probabilité P(t)dt que la seconde excitation survienne entre l'instant t et l'instant t+dt est :
$P(t)dt = \frac{1}{\tau_E-\tau_D}\left(\exp(-\frac{t}{\tau_E}) - \exp(-\frac{t}{\tau_D})\right)dt$
Cette loi redevient approximativement une exponentielle si l'un des délais τ_Eou τ_D domine l'autre. Le délai moyen entre deux excitations est consécutivement τ_E+τ_D, et l'écart type de ce délai est également égal à τ_E+τ_D.

Nombre moyen d'événements de chaque type

Ces constats permettent alors d'évaluer les nombres moyens, par atome et par unité de temps, 1) d'excitations n_E, 2) de dés-excitations induites n_I, et 3 de dés-excitations spontanées n_S . Des calculs simples tenant compte de l'expression de τ_D , des égalités τ_I = τ_E(g₁/g₀), τ_S= τ_A, et enfin de l'équilibre entre les excitations et les dés-excitations et en posant g = g₁/g₀, aboutissent à :
$n_E = \frac{g\tau_E+\tau_A}{g\tau_E^2+(1+g)\tau_E\tau_A}$
$n_I = \frac{\tau_A}{g\tau_E^2+(1+g)\tau_E\tau_A}$
$n_S=\frac{g\tau_E}{g\tau_E^2+(1+g)\tau_E\tau_A}$
Ces formules soulignent un fait important. Lorsque l'intensité augmente pour tendre vers l'infini, τ_E diminue et tend vers 0. Le nombre d'excitations augmentent alors lui aussi indéfiniment, et le rapport entre le nombre de dés-excitations induites et le nombre d'excitations tend vers 1. Le nombre d'excitations efficaces - celles qui contribuent au freinage puis au confinement - augmente lui aussi, mais en tendant vers une borne supérieure finie 1/((1+g)τ_A). Dans les conditions de départ mentionnées pour les vitesses, lorsque l'on passe d'une intensité réalisant τ_I=τ_A à une intensité infinie, on augmente bien le nombre d'excitations efficaces par atome et unité de temps - et donc le freinage - mais dans un rapport de g(2+g)/(1+g) seulement.

Changements d'orientations et libres parcours

Bien qu'au niveau d'un atome la survenue des événements d'excitations, d'émissions induites et de désexcitations ne soient pas indépendants, la somme n_C = n_E +n_I +n_S donne l'ordre de grandeur, à un instant donné, du nombre n_C de changements d'orientations, et 1/n_Cle délai entre deux changements. L'ordre de grandeur du libre parcours moyen s'en déduit alors par produit avec la vitesse moyenne du moment.

Introduction aux exemples commentés

Le chapitre des "exemples commentés" présente deux exemples centrés sur deux vitesses initiales différentes, à savoir 30 m/s et 3 m/s, en comparant dans chaque cas la réponse du système au réglage de la fréquence laser.Pour interpréter ces exemples et réponses, il est bon d'avoir à l'esprit différentes valeurs numériques, au moins en ordre de grandeur, pour les réglages par défaut. Il est également utile de connaître qualitativement le sens de variation de ces valeurs lorsqu'on modifie ces réglages. Nous pouvons alors, en comparant les valeurs données par les équations et les calculs fait par le simulateur, valider le comportement de ce dernier. Le but des explications qui suivent, et qu'il est préférable d'aborder après la lecture des exemples d'utilisation, est de surcroît de mettre en évidence :

l'impact de la vitesse initiale sur l'efficacité du freinage, pour un réglage donné de la fréquence laser
la réponse du système à une perturbation plus ou moins grande de ce réglage, et ce pour différents ordres de grandeurs de la vitesse initiale
l'évolution de l'importance du freinage dans le temps, ce pour différents ordres de grandeurs de la vitesse initiale en tenant compte du réglage

En préliminaire, il est utile de rappeler les ordres de grandeurs de la vitesse perdue et du taux de rencontre.

Vitesse perdue

La modification de la vitesse lors de la rencontre de l'atome avec un photon est :
$\frac{h}{m_A\lambda_A}$
ce qui donne dans le cas du rubidium sur la transition de 780 nm la valeur de 0.00588 m/s, donc de l'ordre de 6 mm par seconde.

Taux de rencontre

Avec l'intensité choisie, le taux de rencontre d'un atome avec un photon contrevenant, est pour un faisceau :
$\frac{1}{3\tau_A} = 0.0123\times 10^9 Hz$
donc 12 millions de rencontres par secondes, une rencontre (par atome) toutes les 9 nanosecondes en moyenne.

Impact de la vitesse initiale sur le freinage

Le freinage, sur une certaine durée, est proportionnel à la différence entre la probabilité de rencontre avec un photon contrevenant à la direction prise par l'atome, et un photon allant dans le même sens. Au départ du processus, dans le réglage par défaut, la première probabilité est de 1, puisque ce réglage par défaut assure une fréquence perçue égale à la fréquence de résonnance. La seconde est plus petite. Un calcul simple montre que cette différence δ est, toujours dans le réglage par défaut, et en négligeant le rapport V_A/c devant 1:
$\delta(V_A^k) \approx 1-\frac{1}{1+4(\frac{V_A^k}{V})^2}$
où la vitesse V déjà mentionnée vaut
$V =\frac{c}{4\pi\tau_A\nu_A}$
C'est la vitesse qu'il faudrait pour parcourir la longueur d'onde de résonnance en un temps 4 π τ_A. Sa valeur pour le rubidium, sur la transition de 780 nm est 2.299 m/s et son carré 5.28. Pour V_A= 30 m/s, et donc sa projection sur la direction d'un faisceau 17.32 m/s on trouve :
$\delta(17.32) \approx 0.996$
En revanche, lorsqu'on descend à 3 m/s, la différence devient :
$\delta(1.732) \approx 0.694$
La dépendance par rapport à la vitesse devient notable pour des vitesses de l'ordre du m/s : le freinage devient moins efficace lorsque la vitesse diminue, même lorsque la fréquence percue demeure calée sur la fréquence de résonnance.

Réponse à une perturbation du réglage de fréquence

Un calcul permet d'exprimer la différence des probabilités δ en fonction de la valeur du paramètre η de réglage de la fréquence laser. On trouve, toujours en négligeant le rapport V_A/c devant 1,
$\delta(V_A^k,\eta) \approx \frac{1}{1+\eta^2(\frac{V_A^k}{V})^2}-\frac{1}{1+(\eta-2)^2(\frac{V_A^k}{V})^2}$
Le premier terme de l'expression représente la probabilité d'interaction avec un photon contrevenant. Le second terme est la probabilité d'interaction avec un photon venant de la direction opposée. La vitesse présente dans cette expression est toujours, rappelons le, la vitesse initiale du paquet d'atomes. Considérons maintenant deux cas :

En prenant une valeur négative de η telle que l'écart entre la fréquence perçue et la fréquence de résonnance soit égale à la largeur à mi hauteur de la raie de l'atome (p = 1), soit pour 30 m/s η = -0.265 et pour 3 m/s η = 2.65, on trouve :
$\delta (17.32,-0.265) \approx 0.20-0.003= 0.197$
$\delta(1.732,-2.65)\approx 0.20-0.075 = 0.125$
Le taux de rencontre étant de 0.0123 GHZ, cela fait une différence ente le nombre de freinages et le nombre d'accélérations, sur une direction de faisceau, de l'ordre de 2400000 par seconde pour une vitesse de 30 m/s et 1500000 par seconde pour une vitesse de 3 m/s. Ces données représentent encore des freinages importants, de l'ordre de 12 m/s en une milliseconde, qui doivent être vus comme des bornes supérieures aux freinages effectifs.
Si maintenant on se tourne vers les valeurs positives de η, avec la même valeur de p, on trouve :
$\delta(17.32,0.265) \approx 0.20 -0.006 = 0.194$
Soit pratiquement la même valeur que celle obtenue pour la valeur opposée de η. Pour 3 m/s cependant, le maintien de la même valeur de p, c'est à dire avec un écart entre la fréquence perçue d'un photon contrevenant et la fréquence de résonnance égal à la largeur à mi-hauteur de la raie, est exclu : Il conduit en effet à une valeur de η égale à 2.65, supérieure à 1, traduisant une fréquence du laser supérieure à la fréquence de résonnance et donc une accélération. En maintenant la valeur précédente de 0.265, donc en prenant un écart fréquence perçue - fréquence de résonnance égal simplement au dixième de la largeur à mi - hauteur, on trouve :
$\delta(1.732,0.265) \approx 0.961-0.369 = 0.592$

Analyse qualitative

La dérivée de la différence δ par rapport à η nous informe plus précisément sur l'impact des perturbations. Elle s'écrit :
$2r^2\left(\frac{\eta-2}{(1+((\eta-2)r)^2)^2}-\frac{\eta}{(1+(\eta r)^2)^2}\right)$
avec
$r=\frac{V_A^k}{V}$
Considérons à nouveau deux cas :

Sur des variations infinitésimales autour de la valeur nulle du réglage : si l'écart η est suffisamment proche de 0, cette dérivée est négative ; l'intensité du freinage décroit lorsque l'écart devient positif, c'est à dire lorsqu'on augmente la fréquence du laser. Il croit au contraire lorsque il devient négatif, c.a.d. lorsqu'on diminue la fréquence du laser. La valeur nulle de l'écart, c.a.d. un calage strict de la fréquence perçue sur la fréquence de résonnace, n'est donc pas - rigoureusement - optimal. Cela s'explique intuitivement, car lorsqu'on opère en diminuant - très légèrement - la fréquence du laser par rapport à ce calage, la probabilité de rencontres accélérantes diminue plus vite que celle de rencontres décélérantes. Remarquons toutefois que ces réponses à une variation de l'écart η autour de la valeur nulle deviennent rapidement faibles lorsque les vitesses initiales sont grandes.
Sur des variations notables : la remarque précédente souligne un fait marginal. Plus intéressante est la conclusion que l'on peut déduire de l'expression de la dérivée dès que
$((\eta-2)r)^2\gg 1$
pour les valeurs positives de l'écart ou
$(\eta r)^2\gg 1$
pour les valeurs négatives. La dérivée devient alors
$\frac{2}{r^2}\frac{2}{\eta (\eta-2)}$
Elle change de signe lorsque l'on passe des valeurs négatives aux valeurs positives de l'écart. Si l'écart η est positif, la dérivée est négative, le freinage décroît lorsque la fréquence du laser devient encore plus forte - donc en s'écartant encore plus de la fréquence de référence- . Si l'écart est négatif, la dérivée est positive, le freinage décroît également lorsque la fréquence du laser devient encore plus faible. Pour des variations notables de la fréquence du laser, la fréquence de référence assurant le calage de la fréquence perçue d'un photon contrevenant sur la fréquence de résonnace apparait bien comme un optimum

Dynamique du freinage

Les formules données dans les paragraphes précédents correspondent aux conditions de départ, et à la vitesse initiale. Lorsque le système évolue, la vitesse moyenne diminue, et donc aussi les probabilités. Soit x(t) le taux mesurant la diminution de vitesse par rapport à la vitesse intiale à l'instant t.
V_A^k(t) = V_A^k(0)(1-x(t))

La formule donnant la différence δ des probabilités à l'instant t, en fonction de la vitesse initiale, le coefficient η et la valeur atteinte pour x à cet instant est la suivante :
$\delta(r,\eta,x) \approx \frac{1}{1+(\eta-x)^2r^2}-\frac{1}{1+(\eta+x-2)^2r^2}$
avec
$r = \frac{V_A^k(0)}{V}$
La dérivée par rapport à x, quant à elle, vaut :
$\delta_x^{'}(r,\eta,x)\approx 2r^2\left(\frac{\eta-x}{(1+((\eta-x)r)^2)^2}+\frac{\eta+x-2}{(1+((\eta+x-2)r)^2)^2}\right)$
Lorsque η est nul ou négatif, cette dérivée est toujours négative. Le freinage est de plus en plus ralenti lorsque la vitesse diminue. Lorsque le réglage est positif, les choses sont plus complexes. On doit doit considérer deux cas, selon l'ordre de grandeur de la vitesse initiale :

Premier cas : Considérons des vitesses de départ suffisamment grandes pour que :
$(\eta r)^2 \gg 1$
La dérivée devient alors
$\delta_x^{'}(r,\eta,x) \approx \frac{2}{r^2}\left(\frac{1}{(\eta-x)^3}+\frac{1}{(\eta+x-2)^3}\right)$
Pour un écart η positif cette dérivée est positive en x = 0 : L'intensité du freinage va commencer par croître. Puisque lorsque x est proche de 1 la dérivée est toujours négative, il y a nécessairement un point d'inflexion. On peut estimer que la position du point d'inflexion, pour des vitesses de départ grandes, ne sera pas éloigné de la valeur x = η.
Second cas : Lorsqu'au contraire les vitesses sont faibles, avec un rapport r proche de 0, la dérivée devient :
$\delta_x^{'}(r,\eta,x)\approx 2r^2\left(\eta-x+\eta+x-2\right)$
et elle reste négative pour tout x, même pour des valeurs positives de η. Aucun point d'inflexion ne s'observera.

Refroidissement Laser

Table des matières

Introduction

Objectifs

Mode d'emploi de l'applet

Explications

Le modèle physique

Schéma général

Interactions photons-atomes comme processus stochastiques

Points particuliers

Bibliographie

La réalisation informatique

Schema général

Architecture

L'interface

Compléments

Introduction aux exemples commentés

Exemple d'utilisation

Liste des paramètres d'entrée de l'applet

Liste des paramètres de sortie de l'applet