Applications linéaires et matrices

Auteurs: Alain Vienne, Marc Fouchard

Système de Laplace-Lagrange
Ex: Système de Laplace-Lagrange
Pendule et matrice de Floquet
Ex: Pendule et matrice de Floquet
Lever et coucher du Soleil
Ex: Lever et coucher du Soleil
Etoiles doubles
Ex: Etoiles doubles

Système de Laplace-Lagrange

Alain Vienne

Les mouvements de Jupiter et de Saturne sont très proches d'un mouvement képlérien. En effet, chacune de ces planètes est principalement attirée par le Soleil mais très peu par l'autre planète (la masse du Soleil est 1047 fois celle de Jupiter et 3498 fois celle de Saturne; ces 2 planètes étant les plus massives du système solaire). Leurs éléments d'orbite, notamment le demi-grand axe, l'excentricité () et la direction du péricentre ( $\varpi$ ), sont quasi constants. Plus précisément, soit ils varient peu (oscillations rapides de faible amplitude), soit ils varient lentement ("variations séculaires"). On dit que l'influence de Jupiter sur le mouvement de Saturne est une perturbation (et vice versa) du mouvement képlérien. L'objet de la mécanique céleste dans le cas de systèmes perturbés, est de modéliser ces variations.

Laplace (1749-1827) avait déjà montré que les demi-grands axes des planètes n'avaient pas de variations séculaires (plus précisément: à un certain degré d'approximation, les demi-grands axes des planètes n'ont que des petites variations périodiques). Ce qui était, à l'époque, un argument fort en faveur de la stabilité du système solaire.

Il fallait quand même s'assurer que les excentricités n'atteignent pas de valeurs trop grandes. En effet, de grandes excentricités conduisent vite à des collisions! L'objet de cette application est de voir que les variations d'excentricités sont bornées.

On simplifie notablement le calcul et la compréhension en utilisant la variable complexe suivante:

$z = e \exp \imath \varpi \ \ \textrm{avec} \ \ \imath = \sqrt{-1}$

Par exemple, on verra dans l'exercice suivant que l'"execntricité complexe" z_J asssociée à Jupiter a le mouvement suivant:

"Excentricité complexe" de Jupiter ( z_J

) qui montre que l'exentricité de Jupiter est bornée.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Vienne

Ex: Système de Laplace-Lagrange

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

Question 1)

La partie linéaire des équations séculaires relatives à z_J (Jupiter) et à z_S (Saturne) peut s'écrire:

$\frac{d\alpha}{dt} = \imath A \alpha \ \rm{avec} \ A = \left( \begin{array}{rr}0.020031 & -0.013114\\-0.032335 & 0.049538\end{array} \right)$ $\rm{en\ } $''/j$$

avec $\alpha = \left( \begin{array}{c} z_J \\ z_S \end{array} \right)$

Montrer que est diagonalisable et donner ses valeurs propres (appelées ici, "fréquences propres").

Remarque: on notera les valeurs propres $\nu_5$ et $\nu_6$ . Ces indices 5 et 6 font référence respectivement à la cinquième et à la sixième ligne de la matrice obtenue par Le Verrier lorsque celui-ci considérait les 8 planètes.

Question 2)

Intégrer le système différentiel en recherchant pour z_J et z_S une solution sous la forme de termes périodiques. On montrera que les valeurs propres de la matrice sont les fréquences de ces termes périodiques.

Question 3)

Donner les périodes de ces termes périodiques en années.

Question 4)

Sachant qu'à t=0 , on a les valeurs:

e_J = 0,04833475 et $\varpi_J = 12^{\circ} 43' 15''$

e_S = 0,05589231 et $\varpi_S = 91^{\circ} 05' 54''$

calculer les constantes d'intégration de la solution, puis les amplitudes des termes à très longues périodes des solutions de z_J et z_S (on ne demande pas les phases)

Question 5)

En déduire les valeurs extrêmes que peuvent atteindre les excentricités de Jupiter et de Saturne.

Remarque

Le fait que le système de Laplace-Lagrange conduit à des valeurs bornées de l'excentricité est illustré par la figure suivante. C'est la variable z_5 qui est représentée.

Solution de la variable en excentricité de Jupiter ( z_J

) issue d'un système séculaire complet (non linéarisé et avec les 8 planètes).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Cette solution diffère de la notre car elle est issue d'un système séculaire complet, c'est à dire non linéarisé et avec les 8 planètes.

Pendule et matrice de Floquet

Auteur: Alain Vienne

Beaucoup de modèles dynamiques, après maintes transformations (hypothèses simplificatrices, moyennisations, ...), ressemblent au modèle du pendule (masse à une distance constante d'un point fixe sous l'effet de la pesanteur). Ici nous allons nous intéresser à un type d'équation du pendule correspondant à l'équation de Mathieu:

$\ddot{\theta} + \omega_0^2(1+\varepsilon \cos \omega t ) \theta = 0$

Si $\varepsilon$ est nul, c'est l'équation d'un pendule simple pour de petites oscillations. Dans ce cas, $\omega_0^2$ est inversement proportionnel à la longueur du pendule. On rappelle que la période T_0 est alors $\frac{2\pi}{\omega_0}$ .

Ici $\epsilon$ est un petit paramètre. On dit que le modèle du pendule simple est perturbé. L'équation de Mathieu est un cas particulier de l'équation

$\ddot{\theta} + w^2(t) \theta = 0$

où w(t) est une fonction périodique de période qui est utilisée en Mécanique Céleste pour l'étude du mouvement de la Lune.

De manière plus ludique, ces équations peuvent modéliser le mouvement d'une balançoire dont le passager se lève et s'assied (périodiquement) afin de s'élancer. Le fait de se lever et de s'assoir régulièrement revient à déplacer le centre de gravité du passager et donc, revient à faire varier périodiquement la longueur du pendule (ici la balançoire).

L'exercice qui suit ne résoud pas l'équation différentielle. Il cherche simplement à savoir dans quelles conditions la solution est bornée ou non (problème de stabilité). Il est insipré du théorème de Gustave Floquet (1847-1920). C'est un exercice de la théorie des équations différentielles mais il utilise beaucoup l'algèbre linéaire d'où sa présence dans cette partie.

Ex: Pendule et matrice de Floquet

Cet exercice est un classique de la théorie des équations différentielle. On le trouve donc dans la partie "Equations différentielles linéaires". Cependant il utilise beaucoup l'algèbre linéaire d'où sa présence dans cette partie.

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30

Voir l'énoncé

Lever et coucher du Soleil

Marc Fouchard

L'animation ci-dessous illustre le mouvement diurne du Soleil au dessus de l'horizon en un point de latitude $\varphi$ . Le point correspond à l'observateur. Il observe le mouvement du Soleil au cours d'une journée. Ce mouvement correspond uniquement à un changement de direction dans laquelle le Soleil est observé. Ainsi on peut représenter ce mouvement par un point se déplaçant sur une sphère (sphère céleste) centrée sur est de rayon qu'on prendra arbitrairement égale à 1.

Sur cette sphère, on peut représenter toutes les directions parallèles à l'horizon, ce qui défini l'horizon céleste. Les astres dont la direction se trouve en dessous de l'horizon céleste ne sont pas visibles depuis . Sur l'horizon céleste on peut représenter les directions du Sud $\mathcal{S}ud$ , de l'Ouest $\mathcal{O}uest$ , du Nord $\mathcal{N}ord$ et de l'Est $\mathcal{E}st$ . De même, on peut représenter la direction perpendiculaire à l'horizon: le Zénith () et la direction parallèle à l'axe de rotation de la Terre: le pôle céleste Nord (). Le plan qui coupe la sphère céleste perpendiculaire à la direction (OP) et passant par , s'appelle l'équateur céleste. Sur l'équateur céleste on note $\mathcal{S}ud'$ la direction du Sud. On note le Nadir, qui correspond à la direction opposée au Zénith, et on note le pôle céleste Sud qui correspond à la direction opposée au pôle céleste nord. On remarquera que les points $O, \mathcal{N}ord, P$ et sont coplanaires avec $\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{N}ord},\overrightarrow{OP}}=\varphi$ .

Ainsi, au cours d'une journée la Terre tourne autour d'un axe parallèle à (OP) . Pour l'observateur, ceci ce traduit par un déplacement des astres observés sur des cercles parallèles à l'équateur céleste.

Soit le point de la sphère céleste indiquant la direction dans laquelle est observé le Soleil depuis . On appelle l'intersection de l'arc de grand cercle (PSP') avec l'équateur céleste et l'intersection de l'arc de grand cercle (ZSZ') avec l'horizon céleste.

On note $\delta$ l'angle $\widehat{SOM}$ , l'angle $\widehat{\mathcal{S}ud'OM}$ , l'angle $\widehat{SON}$ et l'angle $\widehat{\mathcal{S}udON}$ . (A,h) sont appelées les coordonnées locales, alors que $(H,\delta)$ sont les coordonnées horaires. Au court du mouvement diurne d'une étoile seule $\delta$ est constant. Pour le Soleil $\delta$ varie au cours de l'année, mais on peut le considérer constant sur une journée. L'animation permet de modifier $\delta$ afin de voir les variations dans le mouvement diurne en fonction de $\delta$ .

Le but de cette exercice est d'établir des relations entre les coordonnées horaires et locales par des rotations puis d'utiliser ces relations pour calculer les heures de lever et de coucher du Soleil aux solstices et aux équinoxes.

Ex: Lever et coucher du Soleil

Auteur: Marc Fouchard

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit les repères orthonormés suivants :

$\mathbf{\mathcal{R}}_{SH}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OT})$ , où $\overrightarrow{OT}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OT}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OU}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_M$ le repère $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_H$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OP})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_{SL}$ le repère $(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OW})$ , où $\overrightarrow{OW}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{OS}$ dans le plan et tel que l'angle $\widehat{\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{OW}}$ soit inférieur à $\pi/2$ en valeur absolue et $\overrightarrow{OV}$ complète un repère orthonormé direct.
$\mathbf{\mathcal{R}}_N$ le repère $(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OV},\overrightarrow{OZ})$ ,
$\mathbf{\mathcal{R}}_L$ le repère $(\overrightarrow{O\mathcal{S}ud},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest},\overrightarrow{OZ})$ .

Le but de l'exercice est d'établir relations entre les coordonnées horaires et coordonnées locales du Soleil en utilisant des matrices de rotation entre les différents repères.

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SH}$ au repère $\mathcal{R}_M$ par une rotation d'angle $-\delta$ et d'axe $\overrightarrow{OU}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{M}$ de la base de $\mathcal{R}_{SH}$ à celle de $\mathcal{R}_M$ .

Question 2)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_M$ au repère $\mathcal{R}_H$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OP}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{N}$ de la base de $\mathcal{R}_{M}$ à celle de $\mathcal{R}_H$ .

Question 3)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_{SL}$ au repère $\mathcal{R}_N$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OV}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{P}$ de la base de $\mathcal{R}_{SL}$ à celle de $\mathcal{R}_N$ .

Question 4)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_N$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle et d'axe $\overrightarrow{OZ}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{Q}$ de la base de $\mathcal{R}_{N}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Question 5)

Montrer que l'on passe du repère $\mathcal{R}_H$ au repère $\mathcal{R}_L$ par une rotation d'angle $\pi/2-\varphi$ et d'axe $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ . Donner la matrice de passage $\mathcal{T}$ de la base de $\mathcal{R}_{H}$ à celle de $\mathcal{R}_L$ .

Question 6)

Ecrire les coordonnées de en fonction de $\delta$ et dans $\mathcal{R}_H$ .

Question 7)

Ecrire les coordonnées de en fonction de et dans $\mathcal{R}_L$ . Puis les coordonnées de dans le repère $\mathcal{R}_H$ en fonction de h, A et $\varphi$ . En déduire trois relations, dépendant de $\varphi$ , entre les coordonnées horaires et les coordonnées locales du Soleil.

Question 8)

En déduire les valeurs de l'angle horaire au moment du lever et du coucher du Soleil en fonction de $\varphi$ et $\delta$ .

Question 9)

En déduire les valeurs de (mesuré entre -12h et +12h) et de la durée du jour au moment des équinoxes ( $\delta =0$ ), du solstice d'été $\delta= 23,5^{\circ}$ et du solstice d'hiver ( $\delta=-23,5^{\circ}$ ) en un point de latitude $\varphi=50^{\circ}$ (approximativement la ville de Lille, France)

Etoiles doubles

Marc Fouchard

Les étoiles doubles correspondent à des couples d'étoiles reliées gravitationnellement l'une à l'autre. Ainsi, les deux étoiles effectuent un mouvement elliptique autour du centre de gravité du couple. La détermination des paramètres de cette ellipse, et en particulier de son demi-grand axe, est particulièrement importante parce qu'elle permet d'obtenir la masse des étoiles.

L'objet de ce petit exercice est juste d'établir le système permettant de déterminer les paramètres de l'équation algébrique d'une conique.

Ex: Etoiles doubles

Auteur: Marc Fouchard

Etoiles doubles

Difficulté : ☆ Temps : 20 mn

Question 1)

Quelle est l'équation générale d'une conique dans le plan.

Question 2)

Pour une ellipse, on a la contrainte supplémentaire que $a\ne0$ (entre autre). En déduire une équation de l'ellipse contenant cinq paramètres.

Question 3)

On a donc cinq paramètres indépendants à déterminer. Combien, au moins, nous faut-il d'observation pour pouvoir déterminer les paramètres ?

Question 4)

Soit $M_i \left(\begin{array}{c}x_i \\ y_i \end{array}\right)$ , $i=1,\cdots,5$ , ces 5 observations. Ecrire sous forme matricielle le système à résoudre.

Question 5)

Donner une astuce pour se ramener à la résolution d'un système à trois inconnues que l'on déterminera.

Réponses aux exercices

pages_appli-lin/exo-lap-lag.html

Exercice

Question 1
Solution :
Il faut d'abord calculer le polynôme caractéristique qui est $P(\lambda) = A - \lambda I$ où est la matrice identtée. Il est de degré 2. La résolution de $P(\lambda)=0$ donnent les racines $\nu_5 = 0.0095$ ''/jour et $\nu_6 = 0.0601$ ''/jour. Ces valeurs propres sont distinctes donc est diagonalisable.
Question 2
Aide :
Utiliser le fait que le système est diagonalisable pour définir un nouveau jeu de variables (qui seront les "éléments propres"). On utilisera formellement la matrice des vecteurs propres mais il est inutile de la calculer explicitement.

Solution :
est diagonalisable donc il existe une matrice tel que:

$D = P^{-1} A P $$$ avec $D = \left( \begin{array}{cc} \nu_5 & 0\\ 0 & \nu_6 \end{array} \right)$

On définit le changement de variables: $\alpha = P \beta$

Le système devient alors: $\frac{d\beta}{dt} = \imath D \beta$

En notant $\beta = \left( \begin{array}{c} z^{*}_5 \\ z^{*}_6 \end{array} \right)$ , le système est trivialement intégrable:

$\begin{array}{ccc} \frac{dz^{*}_5 }{dt} \, = \imath \, \nu_5 \, z^{*}_5 & \Rightarrow & z^{*}_5 = z^{*}_5(0) \, \exp\imath\nu_5t \\ \frac{dz^{*}_6 }{dt} \, = \imath \, \nu_6 \, z^{*}_6 & \Rightarrow & z^{*}_6 = z^{*}_6(0) \, \exp\imath\nu_6t \\ \end{array}$
Question 3
Solution :
La période est donnée par $T=2\pi / \nu$ ou plutôt $T=360 \times 60 \times 60 / \nu$ puisque $\nu$ est donné en seconde de degré (par jour). Il faut encore diviser le résultat par pour l'avoir en année.

Les périodes sont 370 000 ans et 59 000 ans.
Question 4
Solution :
La matrice de passage n'est pas indispensable mais après avoir écrit la solution formelle de la question 2) en , il faudra inverser un système $2 \times 2$ .

On obtient: $\begin{array}{ccccc} z_J &= &0.044 \exp\imath(\nu_5 t + \varpi^{*}_{05}) &+ &0.016 \exp\imath(\nu_6 t + \varpi^{*}_{06}) \\ z_S &= &0.035 \exp\imath(\nu_5 t + \varpi^{*}_{05}) &+ &0.049 \exp\imath(\nu_6 t + \varpi^{*}_{06}) \\ \end{array}$
Question 5
Solution :
varie entre et

varie entre et

pages_appli-lin/exo-lever-coucher.html

Exercice

Question 1
Solution :
Par définition on a $\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OM}}=-\delta$ . Les points et sont coplanaires, ainsi $\widehat{\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OP}}=\widehat{\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OS}}+\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OM}}+\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OP}}=-\frac{\pi}{2}-\delta+\frac{\pi}{2}=-\delta$ .

On a $\mathcal{M}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \delta & 0 & \sin \delta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \delta & 0 & \cos \delta }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 2
Solution :
Par définition $\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'}}=-H$ . Comme $\overrightarrow{OU}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OP}$ , on en déduit que se trouve sur l'équateur céleste (par définition de l'équateur céleste). De même, $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ est perpendiculaire au plan $(O\mathcal{N}ordZ)$ qui est confondu avec le plan $(O\mathcal{N}ordP)$ . Ainsi $\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OP}$ , donc le point $\mathcal{O}uest$ se trouve aussi sur l'équateur céleste. Finalement, les points $M, \mathcal{S}', U$ et $\mathcal{O}uest$ sont sur l'équateur céleste. On a donc: $\widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}= \widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OM}}+\widehat{\overrightarrow{OM},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}=-\frac{\pi}{2}-H+\frac{\pi}{2}=-H$ .

On a $\mathcal{N}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos H & \sin H & 0 \\ -\sin H & \cos H & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack$ .
Question 3
Solution :
Par définition on a $\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{ON}}=-\h$ . Les points et sont coplanaires, ainsi $\widehat{\overrightarrow{OW},\overrightarrow{OZ}}=\widehat{\overrightarrow{OW},\overrightarrow{OS}}+\widehat{\overrightarrow{OS},\overrightarrow{ON}}+\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OZ}}=-\frac{\pi}{2}-h+\frac{\pi}{2}=-h$ .

On a $\mathcal{P}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos h & 0 & \sin h \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin h & 0 & \cos h }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 4
Solution :
Par définition $\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=-A$ . Comme $\overrightarrow{OV}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OZ}$ , on en déduit que se trouve sur l'horizon céleste (par définition de ). Ainsi, les points $N, \mathcal{S}ud, V$ et $\mathcal{O}uest$ sont sur l'horizon céleste. On a donc: $\widehat{\overrightarrow{OV},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}= \widehat{\overrightarrow{OV},\overrightarrow{ON}}+\widehat{\overrightarrow{ON},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}},\overrightarrow{O\mathcal{O}uest}}=-\frac{\pi}{2}-A+\frac{\pi}{2}=-A$ .

On a $\mathcal{Q}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos A & \sin A & 0 \\ -\sin A & \cos A & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack$ .
Question 5
Solution :
Les points $\mathcal{S}ud, \mathcal{S}ud', Z, P$ et $\mathcal{N}ord$ sont coplanaires. Ainsi $\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OZ}}=\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{O\mathcal{N}ord}}+\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{N}ord},\overrightarrow{OZ}}=-\varphi+\frac{\pi}{2}$ et $\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=\widehat{\overrightarrow{O\mathcal{S}ud'},\overrightarrow{OP}}+\widehat{\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OZ}}+\widehat{\overrightarrow{OZ},\overrightarrow{O\mathcal{S}ud}}=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\varphi+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\varphi$ .

Avec $\bar{\varphi}=\frac{\pi}{2}-\varphi$ , on a $\mathcal{T}=\left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \bar{\varphi} & 0 & \sin \bar{\varphi} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \bar{\varphi} & 0 & \cos \bar{\varphi} }\end{array}\right\rbrack$ .
Question 6
Solution :
$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_H}=\mathcal{N}^{-1}\cdot\mathcal{M}^{-1}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{SH}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos H & -\sin H & 0 \\ \sin H & \cos H & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\rbrack \cdot \left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos \delta & 0 & -\sin \delta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \delta & 0 & \cos \delta \end{array}\right \rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos H \cos \delta \\ \sin H \cos \delta \\ \sin \delta \end{array}\right)$ .
Question 7
Solution :
$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_L}=\mathcal{Q}^{-1}\cdot\mathcal{P}^{-1}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{SL}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos A & -\sin A & 0 \\ \sin A & \cos A & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\rbrack \cdot \left\lbrack \begin{array}{ccc}\cos h & 0 & -\sin h \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin h & 0 & \cos h \end{array}\right \rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos A \cos h \\ \sin A \cos h \\ \sin h \end{array}\right)$ .

$\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_H}=\mathcal{T}\cdot\overrightarrow{OS}|_{\mathcal{R}_{L}}=\left\lbrack \begin{array}{ccc} \cos \bar{\varphi} & 0 & \sin \bar{\varphi} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \bar{\varphi} & 0 & \cos \bar{\varphi} \end{array} \right\rbrack \cdot \left(\begin{array}{c}\cos A \cos h \\ \sin A \cos h \\ \sin h \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \bar{\varphi} \cos A \cos h + \sin \bar{\varphi} \sin h \\ \sin A \cos h \\ -\sin \bar{\varphi} \cos A \cos h + \cos \bar{\varphi} \sin h \end{array}\right )= \left(\begin{array}{c}\sin \varphi \cos A \cos h + \cos \varphi \sin h \\ \sin A \cos h \\ -\cos \varphi \cos A \cos h + \sin \varphi \sin h \end{array}\right )$ .

Ainsi on a $\begin{array}{rcl}\cos H \cos \delta &=& \sin \varphi \cos A \cos h + \cos \varphi \sin h \\ \sin H \cos \delta &=& \sin A \cos H \\ \sin \delta &=& -\cos \varphi \cos A \cos h+\sin \varphi \sin h \end{array}$ .
Question 8
Solution :
Au moment du coucher et du lever . Ainsi les trois relations deviennent:

Ainsi on a $\begin{array}{rcl}\cos H \cos \delta &=& \sin \varphi \cos A \\ \sin H \cos \delta &=& \sin A \cos H \\ \sin \delta &=& -\cos \varphi \cos A \end{array}$ .

Sous réserve de la non annulation des dénominateurs, on peut diviser la première relation par la troisième pour obtenir : $\cos H =-\tan \varphi \tan \delta$ .

Ainsi on a $H = \pm \arccos (- \tan \varphi \tan \delta ) + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{N}$ .
Question 9
Solution :
Pour $\delta=0$ on a $H=\pm 6~{\rm h}$ et la durée du jour est de 12h. On remarque que ce résultat est indépendant de $\varphi$ . Pour $\delta=23,5^{\circ}$ , on a $H=\pm 8\,{\rm h}\,4\,{\rm mn} \, 48\,{\rm s}$ , donc la durée du jour est de $16\,{\rm h}\,9\,{\rm mn}\, 36\,{\rm s}$ . Pour $-\delta=23,5^{\circ}$ , on a $H=\pm 3\,{\rm h}\,55\,{\rm mn} \, 12\,{\rm s}$ , donc la durée du jour est de $7\,{\rm h}\,50\,{\rm mn}\, 24\,{\rm s}$ .

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Exercice 'Etoiles doubles'

Question 1
Solution :
L'équation d'une conique correspond à un polynôme en et de degré deux, c'est-à-dire :

,

où sont des constantes réelles.
Question 2
Solution :
Il suffit de diviser l'équation précédente par . On obtient :

.
Question 3
Solution :
Il faut au moins 5 observations permettant d'écrire cinq équations.
Question 4
Solution :
On a 5 équations de la forme :

.

Qui s'écrivent sous forme matricielle :

$\left(\begin{array}{ccccc}x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ d' \\ e' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}x_1^2 \\ x_2^2\\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .
Question 5
Aide :
Il faut pour cela choisir un repère orthormé dans lequel les coordonnées de et sont les plus simples possibles.

Solution :
Comme on est libre sur le système de coordonnées, on peut choisir à l'origine et qui nous définie l'axe des abscisses ainsi que la norme. Ainsi on a , et .

Le système devient :

$\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ d' \\ e' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .

Qu'on peut écrire :

$\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ x_3y_3 & y_3^2 & y_3 & x_3 & 1 \\ x_4y_4 & y_4^2 & y_4 & x_4 & 1 \\ x_5y_5 & y_5^2 & y_5 & x_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b' \\ c' \\ e' \\ d' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ x_3^2 \\ x_4^2 \\ x_5^2 \end{array}\right)$ .

Ainsi et .

Le système à résoudre est donc :

$\left(\begin{array}{ccc} y_3 & x_3 & 1 \\ y_4 & x_4 & 1 \\ y_5 & x_5 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} e' \\ d' \\ f' \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c} x_3^2 +y_3^2 \\ x_4^2 +y_4^2\\ x_5^2+y_5^2 \end{array}\right)$ .