Ex: Pendule et équation de Mathieu |
Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30
On considère l'équation différentielle suivante (équation de Mathieu):
Où est une fonction du temps
. Cette équation dépend des paramètres
,
et
.
On souhaite déterminer dans quelles conditions la solution est bornée ou non.
Ecrire l'équation de Mathieu comme une équation différentielle du premier ordre:
où est une matrice
réelle. Donner la signification de la nouvelle inconnue
(par rapport à
).
On se donne une condition initiale (on a
). D'après le théorème de Cauchy l'équation différentielle a alors une solution unique que l'on note
Monter que l'application est linéaire.
Ainsi, à donné, cette application va de
dans
. Il existe donc une matrice
de
telle que
ou encore
. Explciter la matrice
seulement dans le cas
.
Pouvoir expliciter , revient à obtenir toutes les solutions de l'équation différentielle.
est donc une inconnue. Montrer que
vérifie le système suivant:
où est la matrice identité.
Montrer que pour tout système de la forme
, on a le résultat suivant:
où est le déterminant (d'ordre 2) de
et
(somme des éléments diagonaux).
Reprendre la question précédente, pour une système . C'est-à-dire pour
et
étant des matrices
.
La matrice s'appelle la matrice de Floquet.
Montrer que les valeurs propres et
de la matrice de Floquet vérifient:
Ainsi, si ces valeurs propres sont réelles, l'une d'elle en valeur absolue est supérieure à . Donc avec
et une condition initale prise dans la direction du vecteur propre associé à cette valeur propre, la solution tendera vers l'infini.
Montrer que sinon (valeurs propres complexes), les solutions sont bornées.
Dans notre cas (équation de Mathieu), est petit. On peut alors montrer que la somme des valeurs propres de
est la trace de la matrice
(ie: correspondant à celle trouvée dans le cas de perturbation nulle). Donc
Montre que des solutions non bornées sont possibles que si la période du forçage est telle que
où est un entier relatif.