Ex: Détermination du potentiel dans une sphère de Debye |
On considère un ion en et soit
la densité ionique moyenne dans le plasma. Si le plasma est suffisamment chaud, on peut montrer que la densité électronique est égal à
où est le potentiel en
,
la température du plasma et
la constante de Boltzmann.
Par ailleurs, l'équation de Poisson relie la densité de charge et le potentiel
de la manière suivante:
1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par le potentiel sous la forme
2) Trouver un changement de variable tel que l'équation différentielle du second ordre vérifiée par
soit à coefficients constants.
3) Trouver la forme du potentiel . Les conditions aux limites sont que le potentiel
doit tendre vers 0 lorsque
tend vers l'infini et il doit être équivalent au potentiel Coulombien lorsque
tend vers 0. En déduire la distance caractéristique d'écrantage de la charge centrale (longueur de Debye) dans ce cas.