Du second ordre

Auteurs: Arnaud Beck, Marc Fouchard, S. Renner, Florent Deleflie, Alain Vienne

Pendule et équation de Mathieu
Ex: Pendule et équation de Mathieu
Longueur de Debye
Ex: Détermination du potentiel dans une sphère de Debye
Le problème de 2 corps
Ex : le problème de 2 corps
Train gravitationnel
Ex: Train gravitationnel
Pendule de Foucault
Ex: Pendule de Foucault

Pendule et équation de Mathieu

Auteur: Alain Vienne

Beaucoup de modèles dynamiques, après maintes transformations (hypothèses simplificatrices, moyennisations, ...), ressemblent au modèle du pendule (masse à une distance constante d'un point fixe sous l'effet de la pesanteur). Ici nous allons nous intéresser à un type d'équation du pendule correspondant à l'équation de Mathieu:

$\ddot{\theta} + \omega_0^2(1+\varepsilon \cos \omega t ) \theta = 0$

Si $\varepsilon$ est nul, c'est l'équation d'un pendule simple pour de petites oscillations. Dans ce cas, $\omega_0^2$ est inversement proportionnel à la longueur du pendule. On rappelle que la période T_0 est alors $\frac{2\pi}{\omega_0}$ .

Ici $\epsilon$ est un petit paramètre. On dit que le modèle du pendule simple est perturbé. L'équation de Mathieu est un cas particulier de l'équation

$\ddot{\theta} + w^2(t) \theta = 0$

où w(t) est une fonction périodique de période qui est utilisée en Mécanique Céleste pour l'étude du mouvement de la Lune.

De manière plus ludique, ces équations peuvent modéliser le mouvement d'une balançoire dont le passager se lève et s'assied (périodiquement) afin de s'élancer. Le fait de se lever et de s'assoir régulièrement revient à déplacer le centre de gravité du passager et donc, revient à faire varier périodiquement la longueur du pendule (ici la balançoire).

L'exercice qui suit ne résoud pas l'équation différentielle. Il cherche simplement à savoir dans quelles conditions la solution est bornée ou non (problème de stabilité). Il est insipré du théorème de Gustave Floquet (1847-1920).

Ex: Pendule et équation de Mathieu

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h30

On considère l'équation différentielle suivante (équation de Mathieu):

$\ddot{\theta} + \omega_0^2(1+\varepsilon \cos \omega t ) \theta = 0$

Où $\theta$ est une fonction du temps . Cette équation dépend des paramètres $\omega_0$ , $\omega$ et $\varepsilon$ .

On souhaite déterminer dans quelles conditions la solution est bornée ou non.

Question 1)

Ecrire l'équation de Mathieu comme une équation différentielle du premier ordre:

$\dot{Z}(t) = B(t) Z(t)$

où B(t) est une matrice $2 \times 2$ réelle. Donner la signification de la nouvelle inconnue (par rapport à $\theta$ ).

Question 2)

On se donne une condition initiale Z(0) = x (on a $x \in \mathbb{R}^2$ ). D'après le théorème de Cauchy l'équation différentielle a alors une solution unique que l'on note Z_x

Monter que l'application $x \mapsto Z_x$ est linéaire.

Question 3)

Ainsi, à donné, cette application va de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ . Il existe donc une matrice de $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ telle que Z_x = A x ou encore Z_x(t) = A(t) x . Explciter la matrice A(t) seulement dans le cas $\varepsilon = 0$ .

Question 4)

Pouvoir expliciter , revient à obtenir toutes les solutions de l'équation différentielle. est donc une inconnue. Montrer que vérifie le système suivant:

$\dot{A}(t) = B(t) A(t)$

A(0) = I

où est la matrice identité.

Question 5)

Montrer que pour tout système de la forme

$\dot{A}(t) = B(t) A(t)$

, on a le résultat suivant:

$| A(t) | = e^{ + \int_0^t \textrm{trace} (B(u)) \mathrm{d}u}$

où |A(t)| est le déterminant (d'ordre 2) de A(t) et $\textrm{trace} (B(u)) = \sum_{i=1}^n b_{i,i}$ (somme des éléments diagonaux).

Question 6)

Reprendre la question précédente, pour une système $(n\times n)$ . C'est-à-dire pour et étant des matrices $(n\times n)$ .

Question 7)

Montrer que:

$A(t+T) = A(t) \times A(T)$

où $T = \frac{2 \pi}{\omega}$

Question 8)

La matrice A(T) s'appelle la matrice de Floquet.

Montrer que les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de la matrice de Floquet vérifient:

$\lambda_1 \lambda_2 = 1$

Question 9)

Ainsi, si ces valeurs propres sont réelles, l'une d'elle en valeur absolue est supérieure à . Donc avec $A(t+T) = A(t) \times A(T)$ et une condition initale prise dans la direction du vecteur propre associé à cette valeur propre, la solution tendera vers l'infini.

Montrer que sinon (valeurs propres complexes), les solutions sont bornées.

Question 10)

Dans notre cas (équation de Mathieu), $\varepsilon$ est petit. On peut alors montrer que la somme des valeurs propres de A(T) est la trace de la matrice $\left( \begin{array}{cc} \cos \omega_0 T & \frac{1}{\omega_0}\sin \omega_0 T \\ -\omega_0 \sin \omega_0 T & \cos \omega_0 T \end{array} \right)$ (ie: correspondant à celle trouvée dans le cas de perturbation nulle). Donc

$\lambda_1 + \lambda_2 = 2 \cos \omega_0 T$

Montre que des solutions non bornées sont possibles que si la période du forçage est telle que

$\omega_0 T = k \pi$

où est un entier relatif.

Longueur de Debye

Auteur: Arnaud Beck

Un plasma est une collection de particules chargées. Pour simplifier, considérons qu'il n'est composé que d'électrons de charge et d'ions de charge +Ze .

Un ion, considéré comme ponctuel, lorsqu'il est dans le vide crée autour de lui un potentiel $\phi=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_{\rm 0}r}$ où est la distance à l'ion. Ce potentiel est appelé le potentiel Coulombien.

Dans un plasma, il en va différemment. En effet, il va attirer autour de lui des charges de signe opposé (les électrons) qui vont écranter son potentiel. La sphère d'électrons qui se forme autour de l'ion est appelée la sphère de Debye et son rayon est appelé la longueur de Debye. C'est un paramètre fondamental en physique des plasmas.

Remarque

Dans cet exercice, on propose de retrouver la valeur de ce rayon et la forme du potentiel à l'intérieur de la sphère de Debye.

Ex: Détermination du potentiel dans une sphère de Debye

Auteur: Arnaud Beck

Détermination du potentiel dans une sphère de Debye

Question 1)

On considère un ion en r=0 et soit $n_{\rm 0}$ la densité ionique moyenne dans le plasma. Si le plasma est suffisamment chaud, on peut montrer que la densité électronique est égal à

$n_{\rm e}(r)=n_{\rm 0}Z\left(1+\frac{e\phi(r)}{k_{\rm B}T}\right)$

où $\phi(r)$ est le potentiel en , la température du plasma et $k_{\rm B}$ la constante de Boltzmann.

Par ailleurs, l'équation de Poisson relie la densité de charge $\rho$ et le potentiel $\phi$ de la manière suivante:

$\Delta(\phi)=-\frac{\rho}{\epsilon_{\rm 0}}$

1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par le potentiel $\phi (r)$ sous la forme $a(r)\phi ''+b(r)\phi ' +c(r)\phi=0$

2) Trouver un changement de variable $\psi=f(\phi)$ tel que l'équation différentielle du second ordre vérifiée par $\psi$ soit à coefficients constants.

3) Trouver la forme du potentiel $\phi$ . Les conditions aux limites sont que le potentiel $\phi$ doit tendre vers 0 lorsque tend vers l'infini et il doit être équivalent au potentiel Coulombien lorsque tend vers 0. En déduire la distance caractéristique d'écrantage de la charge centrale (longueur de Debye) dans ce cas.

Le problème de 2 corps

Auteur : Marc Fouchard

En mécanique céleste le premier problème à résoudre est le problème de deux corps. Ce problème consiste à trouver les trajectoires de deux corps s'attirant l'un l'autre suivant le principe universelle de la gravitation établi par Newton.

Si on considère deux corps ponctuels C_1 et C_2 de masses respectives m_1 et m_2 , isolés de toute autre influence, alors l'équation du mouvement de C_2 par rapport à C_1 est:

$\frac{{\rm d}^2{\mathbf r}}{{\rm d}t^2} + \frac{\mu {\mathbf r}}{r^3}=0$

où $\mu = G (m_1 + m_2)$ avec la constante universelle de la gravitation, et ${\mathbf r}={\mathbf r_2} - {\mathbf r_1}$ avec ${\mathbf r}_1$ et ${\mathbf r}_2$ désignant les vecteurs positions des corps C_1 et C_2 dans un repère inertiel.

Le but de l'exercice est donc de résoudre cette équation.

Exercices reliés

De nombreux exercices sur le problème de 2 corps existent sur ce site. On en trouvera, entre autres, sur l'équation de Kepler et son inversion, sur les solutions géométriques du problème de 2 corps, sur le problème de 2 corps perturbé et sur l'excentricité limite dans les développements du problème de 2 corps.

Ex : le problème de 2 corps

Auteur: Marc Fouchard

Le problème de 2 corps

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Montrer que ${\mathbf h}={\mathbf r} \land \frac{{\rm d} {\mathbf r}}{{\rm d}t}$ est une constante du mouvement. Cette constante s'appelle l'intégrale du moment angulaire.

Question 2)

En utilisant les coordonnées polaires $(r,\theta)$ où est la norme de ${\mathbf r}$ et $\theta$ est l'angle en radian entre une direction fixe et ${\mathbf r}$ compté positivement dans le sens trigonométrique, montrer que la norme du moment angulaire s'écrit $h=r^2\dot{\theta}$ , où le point $(\dot{})$ désigne la première dérivée par rapport au temps. Cette équation correspond à la deuxième loi de Kepler.

Question 3)

En multipliant scalairement l' équation du mouvement par $\dot{\mathbf r}$ (qui n'est rien d'autre que le vecteur vitesse), montrer que $C=\frac{1}{2}v^2 - \frac{ \mu}{r}$ est une constante du mouvement ( désignant la norme du vecteur vitesse). s'appelle l'intégrale de l'énergie.

Question 4)

En utilisant les coordonnées polaires montrer que l' équation du mouvement revient à résoudre le système :

$\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{\mu}{r^2}$

$\frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (r^2 \dot{\theta}) = 0$

On remarquera que la deuxième équation correspond à l'intégrale du moment angulaire.

Question 5)

Soit $u=\frac{1}{r}$ , exprimer $\dot{r}$ et $\ddot{r}$ en fonction de , , et les dérivées première et seconde de par rapport à $\theta$ que l'on notera u ' et u '' .

Question 6)

En faisant le changement de variable u=1/r dans l'équation différentielle du second ordre obtenue pour , écrire une équation linéaire du second ordre pour en considérant comme une fonction de $\theta$ .

Question 7)

Résoudre l'équation obtenue en donnant une solution sous la forme $A+H \cos (B\, \theta-\omega)$ où et sont des constantes que l'on déterminera et et $\omega$ des constantes d'intégrations.

Question 8)

Montrer que la solution génrérale de cette équation peut s'écrire: $r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}$ avec $p=h^2/\mu$ , $e=H\,h^2/\mu$ et et $\omega$ sont deux constantes d'intégration.

Remarque

Pour 0< e < 1 , on pourrait montrer que dans ce cas la solution correspond à une ellipse d'excentricité et de demi-grand axe $a=\frac{p}{2(1-e^2)}$ mais ceci fait l'objet d'un autre exercice.

On peut cependant remarquer que dans ce cas les valeurs minimale et maximale de sont $r_{\rm min}=p/(1+e)$ et $r_{\rm max}=p/(1-e)$ et sont obtenues pour $\theta-\omega=0$ et $\theta-\omega=\pi$ respectivement. Ces positions sont appelées péricentre et apocentre respectivement. Elles sont à l'oposées l'une de l'autre, $\omega$ donnant la direction du pericentre et $\omega+\pi$ celle de l'apocentre. La distance séparant ces deux positions est donc $r_{\rm min}+r_{\rm max}=\frac{p}{1-e^2}=2\,a$ , où est ce qu'on appelle le demi-grand axe.

Train gravitationnel

Auteur: S. Renner

Date de création: 14 décembre 2009

L'accélération de la pesanteur dépend de la distance au centre de la Terre. Dans l'exercice qui suit, on va utiliser cette propriété pour imaginer un moyen de transport très rapide: en perçant un tunnel rectiligne entre 2 points A et B quelconques de la surface terrestre, un train roulant sans frottement dans ce tunnel pourrait parcourir très rapidement la distance entre A et B. La durée du trajet, de 42 minutes environ, est même indépendante des points A et B choisis.

Ex: Train gravitationnel

Auteur: S. Renner

Train gravitationnel

Difficulté : ☆ Temps : 1h

On assimile la Terre à une sphère sans rotation de rayon R_T=6378 km et de masse volumique uniforme $\rho = 5.5 \times 10^3$ ${\rm kg.m}^{-3}$ . Soit $G=6.67 \times 10^{-11}$ S.I. la contante de gravitation universelle. On imagine un tunnel rectiligne entre 2 points A et B quelconques de la surface terrestre, et un train roulant sans frottement dans ce tunnel. Partant de A sous l'action de la pesanteur, le wagon va accélérer jusqu'au milieu du tunnel, puis décélérer une fois atteinte la distance de moindre approche du centre 0 de la Terre (voir figure). Le train atteindra-t-il le point B, et si oui, en combien de temps?

Tunnel rectiligne entre 2 points A et B de la surface terrestre. Le train est repéré par la coordonnée

, sa distance au centre de la Terre est notée

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Question 1)

Soit la distance du train au milieu du tunnel. Exprimer en fonction de la distance au centre de la Terre et de l'angle $\alpha$ .

Question 2)

Donner l'expression de la force gravitationnelle agissant sur le train en fonction de la masse du train , de la masse volumique de la Terre $\rho$ et de la distance au centre de la Terre .

Question 3)

En déduire l'équation du mouvement du train dans le tunnel.

Question 4)

Le train peut-il atteindre le point B, et si oui, en combien de temps?

Pendule de Foucault

Florent Deleflie & Alain Vienne

Date de création: 21décembre 2010

Le pendule de Foucault est une expérience conçue pour mettre en évidence la rotation de la Terre, depuis un site terrestre d'observation. Son principe est basé sur la force de Coriolis qui existe dans tout réferentiel non galiléen, comme le référentiel terrestre d'observation. La réalisation de l'expérience est facilitée si la longueur du pendule est grande, comme sous le dôme d'une cathédrale par exemple. La première démonstration publique a eu lieu en 1851, sous la voûte du Panthéon, à Paris.

L'animation ci-dessous tient compte de toutes les forces sans les approximations qui seront faites dans l'exercice suivant.

Pendule de Foucault

Ex: Pendule de Foucault

Auteur: Auteurs : Alain Vienne, Florent Deleflie.

Pendule de Foucault

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Le but de cet exercice est de reprendre la modélisation du pendule en tenant compte du fait que le repère terrestre n'est pas galiléen, mais est animé d'un mouvement de rotation de la Terre elle-même. La véritable motivation de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle du mouvement. On considère un pendule constitué d'un fil accroché en de longueur et d'une boule de masse . L'espace est rapporté au système d'axes (Oxyz) fixe dans le réferentiel lié à la Terre, l'axe (Oz) passant par et le centre de la Terre (voir figures). On se place dans le cas de faibles oscillations. On rappelle que dans ce cas, le mouvement de la boule de coordonnées (x,y,z) se fait dans le plan (Oxy) et que le module de la tension du fil $\overrightarrow{T}$ est T=mg où est l'accélération de la pesanteur. On note $\overrightarrow{\Omega}$ le vecteur rotation de la Terre et $\lambda$ la latitude du lieu. Le bilan des forces doit faire intervenir la force d'inertie de Coriolis, dont l'expression est $\overrightarrow{f}_{ic} = -2m \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{v}$ où $\overrightarrow{v}$ désigne la vitesse dans le repère (OXYZ) . Par contre, il n'y a pas lieu de tenir compte de la force d'inertie d'entrainement, car celle-ci est déjà incluse dans la définiton de la pesanteur, i.e. dans l'expression de $m \overrightarrow{g}$ . Une fois le bilan des forces effectué, on peut montrer que les composantes de la tension du fil dans (Oxyz) sont $\frac{mg}{L}\Big(-x,-y,L\cos \theta\Big)$ et que les composantes de la force de Coriolis sont $2m\Omega\Big( \dot{y}\sin \lambda, -\dot{x}\sin \lambda, -\dot{y}\cos \lambda\Big)$ . D'après l'hypothèse faite sur la petitesse des oscillations, il n'y a pas lieu de considérer l'équation obtenue par projection sur (Oz) , celle-ci pouvant être considérée comme un terme correctif. On ne considère donc que les projections selon les deux autres directions, et en posant $u=x+\i y$ où $\i = \sqrt{-1}$ , et en posant aussi $\Omega_0 = \Omega \sin \lambda \mbox{ et } \omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}$ on peut montrer que l'équation du mouvement, complexe, se met sous la forme : $\ddot{u}+2\i \Omega_0 \dot{u} + \omega_0^2u=0$ .

Schéma du pendule dans l'espace

figures-pendule-foucault/pendule-espace.png

figures-pendule-foucault/repere_coupe.png

Le pendule vu dans le repère de l'observateur, et en coupe verticale.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Auteur: A. Vienne, F. Deleflie

Pendule de Foucault

L'équation différentielle du mouvement qu'on se propose de résoudre est : $\ddot{u}+2\i\Omega_0\dot{u}+\omega_0^2u=0$

Question 1)

Ecrire le discriminant réduit de cette équation.

Question 2)

Déterminer les solutions de l'équation caractéristiques, et en déduire la forme générale de la solution de l'équation différentielle.

Question 3)

Particulariser la solution précédente en considérant qu'à l'instant initial, le mobile se trouve en (x_0,0,0) avec une vitesse initiale nulle.

Question 4)

Dans les conditions de l'expérience de Foucault faite au Panthéon en 1851, on a les valeurs suivantes: L=67 m, g=9,81 m/s2, et $\lambda = 49^\circ$ Nord. Justifier que $\Omega_0 < \! \! \!< \omega_0$ .

Question 5)

Simplifier l'expression de la solution trouvée en négligeant $\Omega_0$ devant $\omega_0$ . Interpréter.

Réponses aux exercices

pages_ed-02/exo-eqmathieu.html

Exercice

Question 1
Solution :
$B(t) = \left( \begin{array}{cc}0 &1\\ - w^2(t) & 0\end{array} \right)$ où $w^2(t) = \omega_0^2(1+\varepsilon \cos \omega t )$ (qui est positive pour $\varepsilon$ assez petit)

$Z = \left( \begin{array}{c} \theta \\ \dot{\theta} \end{array} \right)$
Question 2
Solution :
Soit 2 réels $\lambda$ et $\mu$ et soit 2 conditions initiales et (de $\mathbb{R}^2$ ). L'équation différentielle est linéaire donc $\lambda Z_x + \mu Z_y$ est bien UNE solution de celle-ci.

Par ailleurs,

$(\lambda Z_x + \mu Z_y) (0) = \lambda Z_x(0) + \mu Z_y(0) = \lambda x + \mu y = Z_{\lambda x + \mu y} (0)$

Ainsi on a bien $\lambda Z_x + \mu Z_y = Z_{\lambda x + \mu y}$
Question 3
Solution :
L'équation différentielle (du second ordre) à considérer est:

$\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0$

La solution générale est donc

$\theta = a \cos \omega_0 t + b \sin \omega_0 t$

et donc:

$\dot\theta = - a \omega_0 \sin \omega_0 t + b \omega_0 \cos \omega_0 t$

et sont des constantes arbitraires que l'on va déterminer pour chacun des vecteur de la base canonique.

La première colonne de correspond à la solution de condition initiale $\left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)$ dans la notation matricielle:

$\left( \begin{array}{c} \theta(0) \\ \dot{\theta}(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)$

Ce qui donne et . Soit $Z_{ \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)} = \left( \begin{array}{c}\cos \omega_0 t \\ -\omega_0 \sin \omega_0 t \end{array} \right)$

La deuxième colonne de correspond à la solution de condition initiale $\left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)$ dans la notation matricielle:

$\left( \begin{array}{c} \theta(0) \\ \dot{\theta}(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)$

Ce qui donne et $b=1/\omega_0$ . Soit $Z_{ \left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)} = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ \cos \omega_0 t \end{array} \right)$

Ainsi $A= \left( \begin{array}{cc} \cos \omega_0 t & \frac{1}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ -\omega_0 \sin \omega_0 t & \cos \omega_0 t \end{array} \right)$
Question 4
Solution :
Comme , en on a: . Or, par définition, . Ainsi, .

Par ailleurs, en remplaçant dans l'équation de Mathieu (notée matriciellement), on a:

$\dot{A}(t) x = B(t) A(t) x$

Comme cela est vrai pour tout de $\mathbb{R}^2$ , on a bien $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ .
Question 5
Solution :
Pour un déterminant d'ordre 2, un développement direct est facile et suffit à la démonstration.

Développons $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ :

$\left( \begin{array}{cc} \dot a_{1,1} & \dot a_{1,2} \\ \dot a_{2,1} & \dot a_{2,2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b_{1,1} a_{1,1}+b_{1,2}a_{2,1} & b_{1,1}a_{1,2} + b_{1,2}a_{2,2} \\ b_{2,1}a_{1,1}+b_{2,2}a_{2,1} & b_{2,1} a_{1,2}+b_{2,2}a_{2,2} \end{array} \right)$

Posons $u(t)=|A|=| \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}|$ , on a:

$\dot u(t) = \arrowvert \begin{array}{cc} \dot a_{1,1} & \dot a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert + \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ \dot a_{2,1} & \dot a_{2,2} \end{array} \arrowvert = D_1 + D_2$

Or

$D_1 = \arrowvert \begin{array}{cc} b_{1,1} a_{1,1}+b_{1,2}a_{2,1} & b_{1,1}a_{1,2} + b_{1,2}a_{2,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert = b_{1,1} \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert$

De même

$D_2 = b_{2,2} \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert$

On a ainsi: $\dot u(t) = (b_{1,1} + b_{2,2}) u(t)$ qu'il reste à intégrer. CQFD.
Question 6
Solution :
On pose encore . On a:

$u(t) = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right|$

Par la forme mutilinéaire du déterminant, on $\dot u (t) = D_1 + \dots + D_n$ , avec

$D_i = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} &a_{i-1,2} & \dots & a_{i-1,n} \\ \frac{da_{i,1}}{dt} & \frac{da_{i,2}}{dt} & \dots & \frac{da_{i,n}}{dt} \\ a_{i+1,1} &a_{i+1,2} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right|$

On "développe" $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ , soit:

$\frac{d}{dt} \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right) = \left( \begin{array} {cccc} b_{1,1} &b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} &b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ b_{n,1} &b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \end{array} \right) \times \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right)$

Ainsi la ligne de est :

$\left( \begin{array} {cccc} \frac{d}{dt} a_{1,1} &\frac{d}{dt} a_{1,2} & \dots & \frac{d}{dt} a_{1,n} \end{array} \right) = \left( \begin{array} {cccc} b_{1,1} &b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \end{array} \right) \times \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right)$

Cette ligne est donc une combinaison linéaire des lignes de . Or dans un déterminant, on peut remplacer une ligne par cette même ligne à laquelle on ajoute une combinaison linéaire des autres lignes. On a ainsi:

$D_i = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} &a_{i-1,2} & \dots & a_{i-1,n} \\ b_{i,i} a_{i,1 & b_{i,i} a_{i,2} & \dots & b_{i,i} a_{i,n} \\ a_{i+1,1} &a_{i+1,2} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right| = b_{i,i} u(t)$

Ainsi, on a bien : $\dot u(t) = (b_{1,1} + \dots + b_{n,n}) u(t)$
Question 7
Solution :
En multipliant à droite chaque membre de la relation $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ par , on obtient

$\dot{A}(t) A(T) x = B(t) A(t) A(T) x$

Donc est solution de l'équation de Mathieu (sous forme matricielle: $\dot{Z} = B Z$ ) de condition initiale .

Il reste à montrer que est solution aussi (avec la même condition initiale ).

$\frac{d}{dt} (A(t+T) x) = \dot A(t+T) x = B(t+T) A(t+T) x$

car est solution de $\dot A (t) = B(t) A(t)$ . De plus la matrice est périodique de période . On a finalement:

$\frac{d}{dt} (A(t+T) x) = B(t) A(t+T) x$
Question 8
Solution :
On a $B(t) = \left( \begin{array}{cc}0 &1\\ - w^2(t) & 0\end{array} \right)$ . Donc $\textrm{trace} B = 0$ et $| A(T) | = e^{ + \int_0^T \textrm{trace} (B(u)) \mathrm{d}u} = 1$
Question 9
Solution :
Dans ce cas, $\lambda_1 = a_0 + \i b_0$ et $\lambda_2 = a_0 - \i b_0$ . Elles sont conjuguées car la matrice est réelle. De plus, $\lambda_1 \lambda_2 = 1$ , donc . C'est donc une matrice de rotation. Or est borné sur l'intervalle borné $\lbrack 0 , T \rbrack$ . Par la relation $A(t+T) = A(t) \times A(T)$ , on en déduit que est borné sur l'ensemble des réels.
Question 10
Solution :
Le polynôme caractéristique est

$x^2 - (\lambda_1 + \lambda_2) x + \lambda_1 \lambda_2$

soit

$x^2 - 2 (\cos \omega_0 T) x +1$

Le discrimant réduit est $- \sin^2 \omega_0 T$ . La seule manière d'éviter des valeurs propres complexes est donc que le discriminant soit nul.

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Exercice 'Détermination du potentiel dans une sphère de Debye'

Question 1
Solution :
1)

$\rho=-e^2Zn_{\rm 0}\left(\frac{\phi(r)}{k_{\rm}T}\right)$

En coordonnée sphérique:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial\phi}{\partial r} \right)=\frac{e^2Zn_{\rm 0}\phi}{k_{\rm B}T\epsilon_{\rm 0}}$

Soit , , $c(r)=\frac{-re^2Zn_{\rm 0}}{k_{\rm B}T\epsilon_{\rm 0}}$ .

2)

On pose $\psi=r\phi$ et donc $\psi '=r\phi '+\phi$ et $\psi ''=r\phi ''+2\phi '$

Il vient $\psi ''-\psi \frac{e^2n_{\rm 0}Z}{k_{\rm B}T\epsilon_{\rm 0}}$

3)

$L_{\rm d}=\sqrt{\frac{k_{\rm b}T\epsilon_{\rm 0}}{e^2Zn_{\rm 0}}}$

$\phi=\frac{1}{r}\frac{Ze}{4\pi\epsilon_{\rm 0}}\exp\left({-\frac{r}{L_{\rm d}}}\right)$

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Exercice ' Le problème de 2 corps'

Question 1
Solution :
$\frac{{\rm d} {\mathbf h}}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}{\mathbf r}}{{\rm d} t} \land \frac{{\rm d}{\mathbf r}}{{\rm d} t} + {\mathbf r}\land\frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2}$ or $\frac{{\rm d}^2{\mathbf r}}{{\rm d} t^2}=-\frac{\mu{\mathbf r}}{r^3}$ et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul donc $\frac{{\rm d}{\mathbf h}}{{\rm d} t} = 0$ .
Question 2
Solution :
Soit $(C_1,{\mathbf I},{\mathbf J})$ un repère orthonormal direct du plan tel que les angles sont mesurés à partir du vecteur ${\mathbf I}$ . Dans ce repère on a ${\mathbf r}=r(\cos \theta {\mathbf I}+\sin \theta {\mathbf J})$ et $\frac{{\rm d}{\mathbf r}}{{\rm d}t}=(\dot{r} \cos \theta-r\dot{\theta} \sin \theta) {\mathbf I} + (\dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta) {\mathbf J}$ . Ainsi, sachant que ${\mathbf I} \land {\mathbf J} = - {\mathbf J}\land {\mathbf I}$ et que ${\mathbf I}\land {\mathbf I}={\mathbf J}\land{\mathbf J}={\mathbf 0}$ on a $h=r\dot{r}(\cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta)+r^2\dot{\theta}(\cos^2\theta+\sin ^2 \theta )=r^2\dot{\theta}$ .
Question 3
Solution :
On a :

$\dot{\mathbf r }\cdot\frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2}+\dot{\mathbf r}\cdot \frac{\mu {\mathbf r}}{r^3}=0$ .

Sachant que $r^2={\mathbf r}\cdot{\mathbf r}$ et $v^2=\dot{\mathbf r}\cdot \dot{\mathbf r}$ , on remarque que : $\frac{{\rm d} v^2}{{\rm d}t}=2\, \dot{\mathbf r}\cdot \frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2}$ et $\frac{{\rm d} r^2}{{\rm d}t}=2\, {\mathbf r}\cdot \dot {\mathbf r}$ .

De la deuxième relation on obtient : $\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{1}{r} = \frac{{\rm d} r^2}{{\rm d} t} \cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}r^2}\frac{1}{\sqrt{r^2}} =- \frac{{\mathbf r}\cdot \dot{\mathbf r}}{r^3}$

Ainsi, en substituant dans l'équation de départ, on obtient :

$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left( \frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r} \right) = 0$ ,

ce qui revient à montrer que est bien une constante du mouvement.
Question 4
Solution :
On a vu que ${\mathbf r}=r(\cos \theta {\mathbf I}+\sin \theta {\mathbf J})$ et $\frac{{\rm d}{\mathbf r}}{{\rm d}t}=(\dot{r} \cos \theta-r\dot{\theta} \sin \theta) {\mathbf I} + (\dot{r}\sin \theta+r\dot{\theta}\cos \theta) {\mathbf J}$ .

Ainsi $\frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2}=\left( (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\cos \theta -(2\, \dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta \right) {\mathbf I} + \left( (\ddot r} -r\dot{\theta}^2)\sin \theta + (2\, \dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta \right ) {\mathbf J}$ .

L'équation du mouvement est équivalente au système:

$(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\cos \theta - (2\,\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin \theta + \frac{\mu\, \cos \theta}{r^2} =0$

$(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\sin \theta + (2\,\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos \theta + \frac{\mu\, \sin \theta}{r^2} =0$

En mutlipliant la première équation par $\cos \theta$ et la deuxième par $\sin \theta$ et en sommant les deux équations obtenues d'une part ; et en multipliant la première équation par $\sin \theta$ et la deuxième par $\cos \theta$ et en soustrayant les deux équations obtenues d'autre part ; on obtient le système suivant:

$\ddot{r}-r\dot{\theta}^2+\frac{\mu}{r^2}=0$

$2\,\dot{r}{\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0$

On montre facilement que la deuxième équation correspond bien à $\frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (r^2 \dot{\theta}) = 0$ .
Question 5
Solution :
On a $\frac{{\rm d} r}{{\rm d} t}= -\frac{1}{u^2}\frac{{\rm d} u}{{\rm d}t}$ or l'intégrale du moment angulaire implique que $u^2 h\, {\rm d} t = {\rm d} \theta$ , ainsi $\frac{{\rm d} r}{{\rm d}t}=-h\frac{{\rm d}u}{{\rm d} \theta}$ ; que l'on peut aussi noter $\dot{r}=-h\,u'$ . De même $\frac{{\rm d}^2 r}{{\rm d}t^2}=-h\,\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\theta} =-h^2\,u^2 \frac{{\rm d}^2 u}{{\rm d}\theta^2}$ , que l'on peut écrire $\ddot{r}=-h^2\,u^2\,u''$
Question 6
Solution :
D'après la question précédente on voit que l'équation différentielle pour devient: $u''+u=\frac{\mu}{h^2}$
Question 7
Solution :
C'est une équation linéaire du second ordre avec second membre et à coefficients constants. On commence par résoudre l'équation sans second membre:. Le polynôme caractéristique de l'équation est , qui a deux solutions complexes conjuguées et (où est tel que ). Ainsi la solution générale de l'équation sans second membre s'écrit:

$u_G=A \cos \theta + B \sin \theta = H \cos (\theta - \omega)$

où $H\ge0$ et $\omega$ sont des constantes du mouvement dépendant des conditions initiales.

Une solution particulière de l'équation est $u_P=\frac{\mu}{h^2}$ . On en déduit la solution générale de notre équation:

$u=u_P+u_G=\frac{\mu}{h^2}+H\cos(\theta - \omega)$
Question 8
Solution :
De la question précédente on en déduit que : $r=\frac{1}{\frac{\mu}{h^2}+H \cos(\theta - \omega)}= \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1+\frac{H\,h^2}{\mu}\cos(\theta-\omega)}$

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Exercice 'Train gravitationnel'

Question 1
Solution :
$x = \pm r \cos \alpha$
Question 2
Solution :
$F= - \frac{G m M(r)}{r^2}$ , où $M(r)= \frac{4}{3} \pi \rho r^3$ est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon .

Donc $F = - \frac{4}{3} \pi G \rho m r$ .
Question 3
Solution :
$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F \cos \alpha = - \frac{4}{3} \pi G \rho m r \cos \alpha = - \frac{4}{3} \pi G \rho m x$ .

On reconnaît l'équation d'un pendule de pulsation $\omega = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho}$ .
Question 4
Solution :
Le train peut donc atteindre le point B, la solution est périodique de période $T=2\pi/\omega$ .

La durée du trajet est $\frac{T}{2}= \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\displaystyle \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho}}$ = 42 min 14 s, quels que soient les points A et B.

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Exercice 'Pendule de Foucault'

Question 1
Solution :
Le discriminant réduit de l'équation caractéristique est $\Delta'=-\Omega_0^2-\omega_0^2$
Question 2
Solution :
Les racines sont $r_1=\i (-\Omega_0+\delta)$ et $r_2=\i (-\Omega_0-\delta)$ où $\delta=\sqrt{\Omega_0^2+\omega_0^2}$ . La solution générale de l'équation différentielle est donc $u=\exp\Big(-\i \Omega_0 t\Big)\Bigg(A \exp(\i \delta t)+B \exp(-\i \delta t)\Bigg)$
Question 3
Solution :
A on a . De plus $\dot{u}=Ar_1\exp r_1t + B r_2 \exp r_2t$ . On en déduit, la vitesse initiale étant nulle, que $A=\frac{r_2x_0}{r_2-r_1}$ et $B=-\frac{r_1x_0}{r_2-r_1}$ . Donc $u=\frac{x_0}{2\delta}\exp(-\i \Omega_0 t)\bigg((\Omega_0+\delta)\exp(\i\delta t)+(-\Omega_0+\delta)\exp(-\i\delta t)\bigg)$
Question 4
Solution :
Les périodes associées respectivement à $\omega_0$ et à $\Omega_0$ sont de 16,4 s et 31h40min.
Question 5
Solution :
Après simplifications, on trouve $u=x_0\cos(\omega_0t)\exp(-\i\Omega_0t)$

Géométriquement, on bien un pendule qui oscille avec la fréquence $\omega_0$ dont le plan d'oscillation tourne avec la fréquence $\Omega_0$ .