Ex: Pendule de Foucault |
Difficulté : ☆☆ Temps : 1h
Le but de cet exercice est de reprendre la modélisation du pendule en tenant compte du fait que le repère terrestre n'est pas galiléen, mais est animé d'un mouvement de rotation de la Terre elle-même. La véritable motivation de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle du mouvement.
On considère un pendule constitué d'un fil accroché en
de longueur
et d'une boule
de masse
. L'espace est rapporté au système d'axes
fixe dans le réferentiel lié à la Terre, l'axe
passant par
et le centre de la Terre (voir figures).
On se place dans le cas de faibles oscillations. On rappelle que dans ce cas, le mouvement de la boule
de coordonnées
se fait dans le plan
et que le module de la tension du fil
est
où
est l'accélération de la pesanteur. On note
le vecteur rotation de la Terre et
la latitude du lieu.
Le bilan des forces doit faire intervenir la force d'inertie de Coriolis, dont l'expression est
où
désigne la vitesse dans le repère
. Par contre, il n'y a pas lieu de tenir compte de la force d'inertie d'entrainement, car celle-ci est déjà incluse dans la définiton de la pesanteur, i.e. dans l'expression de
.
Une fois le bilan des forces effectué, on peut montrer que les composantes de la tension du fil dans
sont
et que les composantes de la force de Coriolis sont
. D'après l'hypothèse faite sur la petitesse des oscillations, il n'y a pas lieu de considérer l'équation obtenue par projection sur
, celle-ci pouvant être considérée comme un terme correctif. On ne considère donc que les projections selon les deux autres directions, et en posant
où
, et en posant aussi
on peut montrer que l'équation du mouvement, complexe, se met sous la forme :
.
L'équation différentielle du mouvement qu'on se propose de résoudre est :
Ecrire le discriminant réduit de cette équation.
Déterminer les solutions de l'équation caractéristiques, et en déduire la forme générale de la solution de l'équation différentielle.
Particulariser la solution précédente en considérant qu'à l'instant initial, le mobile se trouve en avec une vitesse initiale nulle.
Dans les conditions de l'expérience de Foucault faite au Panthéon en 1851, on a les valeurs suivantes: m,
m/s2, et
Nord. Justifier que
.
Simplifier l'expression de la solution trouvée en négligeant devant
. Interpréter.