Ex: Pendule de Foucault

Auteurs: Arnaud Beck, Marc Fouchard, S. Renner, Florent Deleflie, Alain Vienne

Auteur: Auteurs : Alain Vienne, Florent Deleflie.

Pendule de Foucault

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Le but de cet exercice est de reprendre la modélisation du pendule en tenant compte du fait que le repère terrestre n'est pas galiléen, mais est animé d'un mouvement de rotation de la Terre elle-même. La véritable motivation de l'exercice est la résolution de l'équation différentielle du mouvement. On considère un pendule constitué d'un fil accroché en de longueur et d'une boule de masse . L'espace est rapporté au système d'axes (Oxyz) fixe dans le réferentiel lié à la Terre, l'axe (Oz) passant par et le centre de la Terre (voir figures). On se place dans le cas de faibles oscillations. On rappelle que dans ce cas, le mouvement de la boule de coordonnées (x,y,z) se fait dans le plan (Oxy) et que le module de la tension du fil $\overrightarrow{T}$ est T=mg où est l'accélération de la pesanteur. On note $\overrightarrow{\Omega}$ le vecteur rotation de la Terre et $\lambda$ la latitude du lieu. Le bilan des forces doit faire intervenir la force d'inertie de Coriolis, dont l'expression est $\overrightarrow{f}_{ic} = -2m \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{v}$ où $\overrightarrow{v}$ désigne la vitesse dans le repère (OXYZ) . Par contre, il n'y a pas lieu de tenir compte de la force d'inertie d'entrainement, car celle-ci est déjà incluse dans la définiton de la pesanteur, i.e. dans l'expression de $m \overrightarrow{g}$ . Une fois le bilan des forces effectué, on peut montrer que les composantes de la tension du fil dans (Oxyz) sont $\frac{mg}{L}\Big(-x,-y,L\cos \theta\Big)$ et que les composantes de la force de Coriolis sont $2m\Omega\Big( \dot{y}\sin \lambda, -\dot{x}\sin \lambda, -\dot{y}\cos \lambda\Big)$ . D'après l'hypothèse faite sur la petitesse des oscillations, il n'y a pas lieu de considérer l'équation obtenue par projection sur (Oz) , celle-ci pouvant être considérée comme un terme correctif. On ne considère donc que les projections selon les deux autres directions, et en posant $u=x+\i y$ où $\i = \sqrt{-1}$ , et en posant aussi $\Omega_0 = \Omega \sin \lambda \mbox{ et } \omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}$ on peut montrer que l'équation du mouvement, complexe, se met sous la forme : $\ddot{u}+2\i \Omega_0 \dot{u} + \omega_0^2u=0$ .

Schéma du pendule dans l'espace

figures-pendule-foucault/pendule-espace.png

figures-pendule-foucault/repere_coupe.png

Le pendule vu dans le repère de l'observateur, et en coupe verticale.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Auteur: A. Vienne, F. Deleflie

Pendule de Foucault

L'équation différentielle du mouvement qu'on se propose de résoudre est : $\ddot{u}+2\i\Omega_0\dot{u}+\omega_0^2u=0$

Question 1)

Ecrire le discriminant réduit de cette équation.

Solution

Question 2)

Déterminer les solutions de l'équation caractéristiques, et en déduire la forme générale de la solution de l'équation différentielle.

Solution

Question 3)

Particulariser la solution précédente en considérant qu'à l'instant initial, le mobile se trouve en (x_0,0,0) avec une vitesse initiale nulle.

Solution

Question 4)

Dans les conditions de l'expérience de Foucault faite au Panthéon en 1851, on a les valeurs suivantes: L=67 m, g=9,81 m/s2, et $\lambda = 49^\circ$ Nord. Justifier que $\Omega_0 < \! \! \!< \omega_0$ .

Solution

Question 5)

Simplifier l'expression de la solution trouvée en négligeant $\Omega_0$ devant $\omega_0$ . Interpréter.

Solution