Ex : le problème de 2 corps

Auteurs: Arnaud Beck, Marc Fouchard, S. Renner, Florent Deleflie, Alain Vienne

Auteur: Marc Fouchard

Le problème de 2 corps

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Montrer que ${\mathbf h}={\mathbf r} \land \frac{{\rm d} {\mathbf r}}{{\rm d}t}$ est une constante du mouvement. Cette constante s'appelle l'intégrale du moment angulaire.

Solution

Question 2)

En utilisant les coordonnées polaires $(r,\theta)$ où est la norme de ${\mathbf r}$ et $\theta$ est l'angle en radian entre une direction fixe et ${\mathbf r}$ compté positivement dans le sens trigonométrique, montrer que la norme du moment angulaire s'écrit $h=r^2\dot{\theta}$ , où le point $(\dot{})$ désigne la première dérivée par rapport au temps. Cette équation correspond à la deuxième loi de Kepler.

Solution

Question 3)

En multipliant scalairement l' équation du mouvement par $\dot{\mathbf r}$ (qui n'est rien d'autre que le vecteur vitesse), montrer que $C=\frac{1}{2}v^2 - \frac{ \mu}{r}$ est une constante du mouvement ( désignant la norme du vecteur vitesse). s'appelle l'intégrale de l'énergie.

Solution

Question 4)

En utilisant les coordonnées polaires montrer que l' équation du mouvement revient à résoudre le système :

$\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{\mu}{r^2}$

$\frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (r^2 \dot{\theta}) = 0$

On remarquera que la deuxième équation correspond à l'intégrale du moment angulaire.

Solution

Question 5)

Soit $u=\frac{1}{r}$ , exprimer $\dot{r}$ et $\ddot{r}$ en fonction de , , et les dérivées première et seconde de par rapport à $\theta$ que l'on notera u ' et u '' .

Solution

Question 6)

En faisant le changement de variable u=1/r dans l'équation différentielle du second ordre obtenue pour , écrire une équation linéaire du second ordre pour en considérant comme une fonction de $\theta$ .

Solution

Question 7)

Résoudre l'équation obtenue en donnant une solution sous la forme $A+H \cos (B\, \theta-\omega)$ où et sont des constantes que l'on déterminera et et $\omega$ des constantes d'intégrations.

Solution

Question 8)

Montrer que la solution génrérale de cette équation peut s'écrire: $r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}$ avec $p=h^2/\mu$ , $e=H\,h^2/\mu$ et et $\omega$ sont deux constantes d'intégration.

Remarque

Pour 0< e < 1 , on pourrait montrer que dans ce cas la solution correspond à une ellipse d'excentricité et de demi-grand axe $a=\frac{p}{2(1-e^2)}$ mais ceci fait l'objet d'un autre exercice.

On peut cependant remarquer que dans ce cas les valeurs minimale et maximale de sont $r_{\rm min}=p/(1+e)$ et $r_{\rm max}=p/(1-e)$ et sont obtenues pour $\theta-\omega=0$ et $\theta-\omega=\pi$ respectivement. Ces positions sont appelées péricentre et apocentre respectivement. Elles sont à l'oposées l'une de l'autre, $\omega$ donnant la direction du pericentre et $\omega+\pi$ celle de l'apocentre. La distance séparant ces deux positions est donc $r_{\rm min}+r_{\rm max}=\frac{p}{1-e^2}=2\,a$ , où est ce qu'on appelle le demi-grand axe.

Solution