Ex: Train gravitationnel

Auteurs: Arnaud Beck, Marc Fouchard, S. Renner, Florent Deleflie, Alain Vienne

Auteur: S. Renner

Train gravitationnel

Difficulté : ☆ Temps : 1h

On assimile la Terre à une sphère sans rotation de rayon R_T=6378 km et de masse volumique uniforme $\rho = 5.5 \times 10^3$ ${\rm kg.m}^{-3}$ . Soit $G=6.67 \times 10^{-11}$ S.I. la contante de gravitation universelle. On imagine un tunnel rectiligne entre 2 points A et B quelconques de la surface terrestre, et un train roulant sans frottement dans ce tunnel. Partant de A sous l'action de la pesanteur, le wagon va accélérer jusqu'au milieu du tunnel, puis décélérer une fois atteinte la distance de moindre approche du centre 0 de la Terre (voir figure). Le train atteindra-t-il le point B, et si oui, en combien de temps?

Tunnel rectiligne entre 2 points A et B de la surface terrestre. Le train est repéré par la coordonnée

, sa distance au centre de la Terre est notée

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Question 1)

Soit la distance du train au milieu du tunnel. Exprimer en fonction de la distance au centre de la Terre et de l'angle $\alpha$ .

Solution

Question 2)

Donner l'expression de la force gravitationnelle agissant sur le train en fonction de la masse du train , de la masse volumique de la Terre $\rho$ et de la distance au centre de la Terre .

Solution

Question 3)

En déduire l'équation du mouvement du train dans le tunnel.

Solution

Question 4)

Le train peut-il atteindre le point B, et si oui, en combien de temps?

Solution