Applications

Auteurs: Alain Vienne, S. Renner

La loi des aires
Ex: La loi des aires
Vitesse orbitale de la Terre
Ex: Vitesse orbitale de la Terre
Equation de Kepler
Ex: Equation de Kepler

La loi des aires

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires dit que, dans le problème de l'interaction gravitationnelle de deux corps, l'aire balayée par le rayon vecteur est proportionnel au temps. Cette loi est aussi appelée "deuxième loi de Kepler" (voir aussi dans ce même chapitre, le lien suivant).

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

En fait, la loi des aires est plus générale que la deuxième loi de Kepler puisque qu'elle s'applique pour toute force centrale. Pour la démontrer, il faut bien-sur utiliser la loi fondamentale de la dynamique:

Principe fondamental de la dynamique

L'accélération d'un mobile est proportionnelle à la force à laquelle il est soumis.

La preuve qui est proposée en exercice utilise un modèle discret. Elle est directement inspirée d'une application isssue du livre de Daniel Perrin "Nombre, mesures et géométrie" (Ed. CASSINI). Ainsi le temps est une juxtaposition d'instants t_n de durée très courte de telle sorte que $t_{n+1}-t_n=h$ . La discrétisation revient à supposer qu'entre les instants $t_{n-1}$ et t_n , le mobile se déplace de $M_{n-1}$ à M_n avec la vistesse constante v_n . En vecteur la vistesse est donc $\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{M_{n-1}M_n}/h$ . Sur l'intervalle suivant $[t_n,t_{n+1}]$ , la vitesse est différente mais constante aussi pour cette durée: $\overrightarrow{v_{n+1}}=\overrightarrow{M_nM_{n+1}}/h$ . Ainsi à l'instant t_n l'accélération est $\overrightarrow{\gamma_n}=\frac{\overrightarrow{v_{n+1}}-\overrightarrow{v_n}}{h}$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Le modèle continu s'obtient facilement par passage à la limite.

La loi fondamentale de la dynamique s'écrit alors: $\overrightarrow{\gamma_n} \propto \overrightarrow{F_n}$

Les outils mathématiques nécéssaires à cette preuve se limitent alors à deux petits lemmes que Daniel Perrin nomment lemmes de découpage et que nous admettrons:

Lemme du demi-parallélogramme :

Soit (ABCD) un parallélogramme. La diagonale [AC] partage le parallélogramme en deux triangles de même aire: $\mathcal A (ABC) = \mathcal A (ACD) = \frac{1}{2} \mathcal A (ABCD)$ . Plus généralement, pout tout point de [CD] , on a : $\mathcal A (ARB) = \frac{1}{2} \mathcal A (ABCD)$ .

Lemme de la médiane :

Soit (ABC) un triangle et le milieu de [BC] . La médiane [AA'] partage le triangle en deux triangles de même aire: $\mathcal A (ABA') = \mathcal A (AA'C)$ .

Ex: La loi des aires

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Introduction

Le mobile M_n est soumis à une force centrale, c'est-à-dire dirigée vers un point fixe (le Soleil par exemple si la masse de M_n est négligeable par rapport à celle du Soleil): la force est $\overrightarrow{F_n}=k_n \overrightarrow{OM_n}$ .

Remarque

Il n'y a aucune hypothèse nécessaire sur le réel k_n même si on sait que pour la loi de Newton ce scalaire est négatif et inversement proportionnel au carré de la distance OM_n

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Question 1)

Montrer qu'à tout instant (c'est-à-dire pour tout entier ), on a: $\mathcal A (0M_{n-1}M_n) = \mathcal A (OM_nM_{n+1})$

Cela signifie bien que l'aire balayé par le rayon vecteur $\overrightarrow{OM_n}$ est proportionnel au temps parcouru.

Vitesse orbitale de la Terre

Auteur: S. Renner

Date de création: 2 mars 2009

Introduction

L'effet Doppler-Fizeau représente le décalage en fréquence d'une onde lumineuse entre les mesures à l'émission et à la réception, lorsque la distance entre un émetteur et un récepteur varie au cours du temps.

Par exemple, lors du passage d'un camion de pompier muni d'une sirène, c'est l'effet Doppler qui se manifeste dans la perception de la hauteur du son (plus aigu lorsque le véhicule se rapproche, plus grave lorsqu'il s'éloigne).

Ce phénomène est particulièrement important en astronomie car il permet de mesurer les vitesses (d'approche ou d'éloignement) des objets célestes.

On observe Arcturus, troisième étoile la plus brillante du ciel (dans la constellation du Bouvier), à deux dates t_1 et t_2 espacées de 6 mois.

La latitude par rapport au plan de l'orbite de la Terre est $b_a=30.75^_\circ$ , et la longitude par rapport à une direction fixe $\gamma$ est $l_a=204.25^\circ$ . A l'instant t_1 la longitude de la Terre est $l_1=114.25^\circ$ , et $l_2=294.25^\circ$ à l'instant t_2 . Voir la figure ci-dessous pour les conditions d'observation.

Situation de l'observation d'Arcturus. Voir texte pour la valeur des angles.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

On effectue aux dates t_1 et t_2 un spectre de la lumière de l'étoile. L'étude des raies d'absorption permet de remarquer qu'une raie d'absorption du fer, qui normalement se situe à $\lambda_0=446.165$ nm, est mesurée $\lambda_1=446.123$ nm sur le spectre obtenu à la date t_1 , et $\lambda_2=446.199$ nm sur celui obtenu à la date t_2 .

L'objectif est d'en déduire la vitesse orbitale de la Terre autour du Soleil, ainsi que la distance moyenne Terre-Soleil.

Ex: Vitesse orbitale de la Terre

Auteur: S. Renner

Vitesse orbitale de la Terre

Difficulté : ☆ Temps : 1h30

On fait l'hypothèse que l'orbite de la Terre est circulaire est que celle-ci est décrite avec une vitesse uniforme .

Question 1)

On note V_A la vitesse radiale d'Arcturus par rapport au Soleil (supposée identique aux instants t_1 et t_2 ). Ecrire en fonction de , V_A et b_a la vitesse radiale d'Arcturus par rapport à l'observateur à l'instant t_1 (on notera cette vitesse $v_{r_1}$ ), ainsi qu'à l'instant t_2 (notée $v_{r_2}$ ).

Question 2)

En appliquant la formule de l'effet Doppler-Fizeau aux instants t_1 et t_2 pour la longueur d'onde de référence $\lambda_0$ , écrire les expressions de $v_{r_1}$ et $v_{r_2}$ .

Question 3)

En déduire l'expression de et V_A en fonction des longueurs d'onde $\lambda_0$ , $\lambda_1$ et $\lambda_2$ . Calculer leur valeur numériquement en km.s $^{-1}$ .

Question 4)

Calculer la distance Terre-Soleil en km sachant que la période de révolution est P=365.2563 jours.

Equation de Kepler

Auteur: S. Renner

Date de création: 16 mai 2013

On reprend les résultats obtenus dans l'exercice sur la résolution du problème des 2 corps. Le but ici est d'établir l'équation de Kepler à l'aide de la géométrie essentiellement, plutôt que par le calcul. L'équation de Kepler ( $M=E-e \sin E$ ) est importante car elle fait le lien entre la position de l'objet sur son orbite (voir la figure ci-dessous) et le temps, ou plus précisément l'anomalie moyenne $M= \frac{2 \pi}{T} (t - \tau)$ , avec la période orbitale, le temps et $\tau$ l'instant de passage au péricentre.

Les trois anomalies

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

Ex: Equation de Kepler

Auteur: S. Renner

Equation de Kepler

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Trajectoire elliptique d'un corps

(de foyer

, péricentre

, demi-grand axe

, excentricité

), cercle principal, anomalie excentrique

et vraie

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Question 1)

Exprimer l'aire délimitée par les points , , en fonction de , , .

Question 2)

Calculer l'aire délimitée par les points , , .

Question 3)

En déduire l'équation de Kepler $M=E-e \sin E$ .

Réponses aux exercices

pages_applications/exo-loi-aires-geo.html

Exercice 'La loi des aires'

Question 1
Aide :
Expliciter les vitesses $\overrightarrow{v_n}$ et $\overrightarrow{v_{n+1}}$ (vitesses du mobile aux temps et $t_{n+1}$ ) et considérer le point $M'_{n+1}$ qu'occuperait le mobile au temps $t_{n+1}$ si le mouvement était uniforme.

Aide :
Lemme de la médiane dans le triangle $(0M_{n-1}M'_{n+1})$ pour avoir $\mathcal A (OM_{n-1}M_n) = \mathcal A (OM_nM'_{n+1})$

Aide :
Prouver d'abord que $(M'_{n+1}M_{n+1})//(0M_n)$ , puis prendre de telle manière que $(OM_nO'M_{n+1})$ soit un parallélogramme et enfin lui appliquer le lemme correspondant avec $R=M_{n+1}$ puis avec $R=M'_{n+1}$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

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Exercice 'Vitesse orbitale de la Terre'

Question 1
Solution :
La direction de l'étoile n'est pas contenue dans le plan de l'orbite de la Terre, il faut donc tenir compte de sa latitude écliptique (angle entre la direction de l'étoile et le plan de l'écliptique).

Remarque

Par rapport à la distance Terre-Soleil, l'étoile E est située à l'infini, donc la direction Terre-étoile TE est parallèle à la direction Soleil-étoile SE. Même chose pour les projections sur l'écliptique: Te est parallèle à Se.

Direction de l'étoile et vitesse de la Terre à l'instant . Ainsi la vitesse radiale mesurée, due au seul mouvement de la Terre, a pour module $V \cos b_a$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Renner

D'après la loi de composition des vitesses, on a:
- à la date , $v_{r_1}= V_A - V \cos b_a$
- à la date , $v_{r_2}= V_A +V \cos b_a$
Le choix des signes résulte de la constatation suivante:
- $V \cos b_a > 0$
- $\lambda_1 - \lambda_0 < 0$ , donc l'étoile et l'observateur se rapprochent (bleuissement des raies) à l'instant et $v_{r_1}<0$
- $\lambda_2 - \lambda_0 > 0$ , donc l'étoile et l'observateur s'éloignent (rougissement des raies) à l'instant et $v_{r_2}>0$
Question 2
Solution :
$\frac{\lambda_1 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{v_{r_1}}{c}$

$\frac{\lambda_2 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{v_{r_2}}{c}$
Question 3
Solution :
$\frac{\lambda_1 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{V_A-V \cos b_a}{c}$ (1)

$\frac{\lambda_2 - \lambda_0}{\lambda_0}= \frac{V_A+V \cos b_a}{c}$ (2)

(1)+(2) $\Longrightarrow V_A=\frac{c}{2 \lambda_0} [ (\lambda_1 - \lambda_0) + (\lambda_2 - \lambda_0) ]$

(2)-(1) $\Longrightarrow V=\frac{c}{2 \lambda_0 \cos b_a} [ (\lambda_2 - \lambda_0) - (\lambda_1 - \lambda_0) ]$

km.s $^{-1}$

km.s $^{-1}$
Question 4
Solution :
$V=\frac{2 \pi a}{P}$

$a=1.493 \times 10^8$ km.
Remarque
- Au cours d'une année, la vitesse radiale due au mouvement de la Terre varie comme $V \cos b_a \sin \theta$ , où $\theta$ croît uniformément avec le temps. L'amplitude maximale de l'oscillation d'une raie autour de la valeur de référence $\lambda_0$ sera $(\Delta \lambda)_{max}= \lambda_0 V \cos b_a /c$ . Dans l'exercice, les conditions d'observation correspondent à cette amplitude maximale (obtenue lorsque les directions Soleil-Terre et Soleil-étoile sont perpendiculaires). Ainsi la mesure du décalage maximum permet, pour une étoile de direction connue, de déterminer .
- La méthode utilisée ici n'est applicable que pour des étoiles dont la direction n'est pas perpendiculaire à l'écliptique ( $b_a \neq 90^\circ$ ). L'effet de décalage est d'autant plus important que est petit, et il est maximal pour une étoile dont la direction se trouve dans le plan de l'écliptique.

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Exercice 'Equation de Kepler'

Question 1
Solution :
aire = aire - aire

aire = $\displaystyle \pi a^2 \frac{E}{2\pi} -\frac{1}{2} || \vect{OF} \wedge \vect{OM'} ||$

aire = $\displaystyle \pi a^2 \frac{E}{2\pi} -\frac{1}{2} a^2 e \sin E$

aire = $\displaystyle \frac{1}{2} a^2 (E - e \sin E)$
Question 2
Aide :
On utilisera la loi des aires, voir par exemple les exercices sur le problème des 2 corps et sur l'équation de Kepler.

Solution :
aire $(FPM) = \int_{\tau}^t dS = \int_{\tau}^t \frac{1}{2} h dt = \frac{h}{2} (t-\tau)$

Or $h = n a^2 \sqrt{1 - e ^2}$ , où $n = \frac{2 \pi}{T}$ est le moyen mouvement.

aire $(FPM) = \frac{1}{2} n a^2 \sqrt{1 - e^2} (t-\tau) = \frac{1}{2} M a^2 \sqrt{1 - e^2}$ .
Question 3
Solution :
aire = $\frac{b}{a}$ aire = $\sqrt{1-e^2}$ aire , où est le demi-petit axe de l'ellipse.

Or d'après les deux questions précédentes, aire = $\displaystyle \frac{1}{2} a^2 (E - e \sin E)$ et aire $(FPM) = \frac{1}{2} M a^2 \sqrt{1 - e^2}$ . On obtient donc $M=E-e \sin E$ .