Les coniques

Auteurs: Marc Fouchard, Alain Vienne

Trajectoires balistiques dans le système solaire
Ex: Trajectoire balistique dans le système solaire
Les solutions du problème de deux corps
Ex : les solutions du problème de deux corps
Masse du trou noir central de la galaxie
Ex: Masse du trou noir central de la galaxie

Trajectoires balistiques dans le système solaire

Auteur : Alain Vienne

On considère une sonde spatiale qui se déplace dans le système solaire. On suppose qu'elle ne subit que l'attraction gravitationnelle du Soleil . Sous cette hypothèse, le mouvement de cette sonde autour du Soleil est un mouvement képlérien c'est-à-dire que la trajectoire est une conique dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Les coniques sont des ellipses (comme le dit la première loi de Képler) ou des hyperboles ou des paraboles.

Définition

Une conique est l'ensemble des points dont la somme ou la différence, des distances à 2 points fixes est constante. Ces 2 points sont appelés foyers et la distance constante est appelée grand axe

On ne considère pas ici le cas des paraboles qui est le cas limite entre les ellipses et les hyperboles. Une parabole peut être vue comme une ellipse dont l'un des foyer est rejeté à l'infini, ou symétriquement, comme une hyperbole dont l'un des foyers est rejeté à l'infini.

L'exercice proposé considère 2 points et du système solaire avec plus près de que . On peut considérer que est la Terre et que est Jupiter. Cela permet de fixer les idées mais il n'y a aucune obligation formelle à cela. On fait partir la sonde du point pour qu'elle arrive au point . étant l'un des foyers, on note le second foyer de la conique $(\mathcal{C})$ qui définit la trajectoire.

Ex: Trajectoire balistique dans le système solaire

Auteur: Alain Vienne

Trajectoire balistique dans le système solaire

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Une conique est défine par $\mathcal{C}_{F,F',a}=\{ M \textrm{ tel que } |MF \pm MF'|=2a \}$ . Préciser le cas d'une ellipse et le cas d'une hyperbole. Pour ce dernier cas, préciser aussi comment sont distinguées les deux branches de l'hyperbole.

Question 2)

Montrer que le second foyer se trouve sur une hyperbole $(\mathcal{H})$ de foyers et passant par

L'hyperbole des deuxièmes foyers

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Question 3)

Donner la nature de la conique $(\mathcal{C})$ suivant la branche de $(\mathcal{H})$ sur laquelle se trouve .

On pose S_1 le point de $(\mathcal{H})$ symétrique de par rapport à l'axe focal.

Question 4)

Montrer qu'aucune trajectoire physique n'est possible quand se trouve entre et S_1 .

Question 5)

On fixe sur $(\mathcal{H})$ , exprimer le demi-grand axe et l'excentricité de la conique $(\mathcal{C})$ en fonction des distances entre les points , et

Question 6)

Indiquer ce que devient la conique $(\mathcal{C})$ quand

tend vers
tend vers
tend vers l'infini sur la même branche

Les solutions du problème de deux corps

Auteur: Marc Fouchard

L'exercice de ce lien montre que la solution générale du problème de deux corps est de la forme:

$r=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\omega)}$

où est la distance entre un corps C_1 se trouvant à l'origine et le second corps C_2 , et $\theta$ l'angle entre une direction de référence et le vecteur $\overrightarrow{C_1C_2}$ et un nombre réel supérieur ou égale à zéro et un nombre réel strictement supérieur à zéro.

Solutions du problème de 2 corps

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Benoît Mosser

Le but de cet exercice et d'étudier les diférentes familles de solution de cette équation.

Ex : les solutions du problème de deux corps

Auteur: Marc Fouchard

Les solutions du problème de deux corps

Difficulté : ☆ Temps : 1 h

Question 1)

Montrer que si e=0 la solution est un cercle dont on déterminera le rayon.

Question 2)

Montrer que dans tous les autres cas, il existe un minimum pour que l'on déterminera et que l'on notera . La position pour laquelle cette distance est atteinte s'appelle le péricentre. A quoi correspond $\omega$ ? Quand est-il pour le maximum de ? La position pour laquelle cette distance, notée , est atteinte s'appelle apocentre lorsqu'elle existe.

Question 3)

On se place maintenant dans un repère orthonormé direct $(C_1,\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y})$ où l'axe des abscisses $\hat{\mathbf x}$ est dirigé vers le pericentre. Pour un point du plan on note la distance C_1M et $\alpha$ l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur $\overrightarrow{C_1M}$ . Ecrire l'équation de la solution générale du problème de 2 corps en utilisant les coordonnées (x,y) de dans le repère $(C_1,\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y})$ .On remarquera que l'équation obtenue est léquation générale d'une conique.

Question 4)

Montrer que si e=1 on obtient l'équation d'une parabole dont on déterminera les coordonnées du péricentre.

Question 5)

Montrer que si 0<e<1 on obtient l'équation d'une ellipse dont on déterminera le centre, le demi-grand axe et le demi-petit axe.

Question 6)

Montrer que si e>1 on obtient l'équation d'une hyperbole dont on déterminera le péricentre et les asymptotes.

Masse du trou noir central de la galaxie

Auteur : Alain Vienne

On dispose d'un tracé de l'orbite apparente d'une étoile (appelée S2) autour d'un point (SgrA) localisé par diverses méthodes comme étant au centre de notre Galaxie. Cette orbite est une ellipse qui diffère de l'orbite réelle car elle est vue en projection sur la sphère céleste. Le plan de la figure ci-dessous est le plan perpendiculaire à la ligne de visée: le plan de projection On se propose de trouver les caractéristiques géométriques de l'ellipse réelle, qui permettent finalement de calculer la masse centrale: sa valeur n'est compatible qu'avec celle d'un trou noir. On utilise la troisième loi de képler qui relie cette masse, la période et le demi-grand axe.

Orbite apparente d'une étoile autour de SgrA

Crédit : European Southern Observatory / ESO

Ex: Masse du trou noir central de la galaxie

Auteur: Alain Vienne

Masse du trou noir central de la galaxie

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h30

Question 1)

Localiser le centre de l'ellipse projetée

Question 2)

Tracer le grand axe projeté A_1 A_2

Question 3)

Calculer l'excentricité e=CF/CA_1 , puis $\sqrt{1-e^2}$ .

Question 4)

Tracer le diamètre conjugué B_1 B_2 de A_1 A_2 (donc le projeté du petit axe).

Question 5)

Tracer point par point le projeté du cercle principal, par l'homothétie de l'ellipse projetée à B_1 B_2 et de rapport $1 / \sqrt{1-e^2}$ .

La définition du cercle principal est donc:

Cercle principal d'une ellipse: Cercle de rayon a (demi grand axe de l'ellipse) de centre C

Question 6)

Le projeté du cercle principal est une ellipse dont le grand axe est la ligne des noeuds (intersection du plan de l'orbite et du plan de projection).
La longueur de ce grand axe donne la valeur du grand axe de l'orbite réelle.
Le petit axe a pour valeur $2 a \cos i$ où est l'inclinaison du plan de l'orbite avec le plan de projection.

Mesurer sur ce grand axe, puis convertir cette valeur en UA (unité astronomique) connaissant l'échelle de la figure (longueur de la "flèche" correspond à 0,05 seconde de degré) et la distance du Soleil au centre de la Galaxie (26 000 année-lumière)

Question 7)

Estimer la période du mouvement en utilisant les dates d'observations indiquées sur le tracé.

Question 8)

En déduire la masse présente au foyer SgrA.

Réponses aux exercices

pages_coniques/exo-balistique.html

Exercice 'Trajectoire balistique dans le système solaire'

Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Question 6
Aide :

L'hyperbole des second foyers et une hyperbole-trajectoire (avant S)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Aide :

L'hyperbole des second foyers et une hyperbole-trajectoire (avant S_1)

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

pages_coniques/exo-conique-pb-22-corps.html

Exercice 'Les solutions du problème de deux corps'

Question 1
Solution :
L'équation se réduit à ce qui est bien l'équation d'un cercle de centre et de rayon .
Question 2
Solution :
sera minimal quand $1+e\cos (\theta-\omega)$ sera maximal, c'est à dire lorsque $\theta=\omega \,\,\,{\rm mod}\,[2\pi]$ . Dans ce cas on a $q=\frac{p}{1+e}$ . sera maximal quand $1+e\cos(\theta-\omega)$ sera minimal, c'est-à-dire lorsque $\theta=\omega+\pi \,\,\,{\rm mod}\,[2\pi]$ . Or si on s'aperçoit que dans ce cas n'est pas défini, et si alors est négatif ce qui n'a pas de sens. Lorsqu'il est défini (), on a $Q=\frac{p}{1-e}$ . On remarque que l'apocentre se trouve à l'opposé du péricentre.
Question 3
Solution :
En fonction de et $\alpha$ l'équation devient : $r=\frac{p}{1+e\cos \alpha}$ . Avec $\cos \alpha = x/r$ on a: $r=\frac{p}{1+e\frac{x}{r}}$ qui se transforme facilement en . On obtient finalement qui est l'équation d'une conique.
Question 4
Solution :
Dans ce cas, l'équation devient:

,

qui est bien l'équation d'une parabole.

Cette équation peut se mettre sous la forme :

$\left(x-\frac{p}{2}\right)+\frac{y^2}{2p}=0$ .

d'où on déduit les coordonnées du péricentre : $\left(\frac{p}{2},0\right)$ .
Question 5
Solution :
L'équation de la conique peut s'écrire : $(1-e^2)\left(x+\frac{ep}{1-e^2}\right)^2+y^2=\frac{p^2}{1-e^2}$ qui devient :

$\left\lbrack\frac{x+\frac{ep}{1-e^2}}{\frac{p}{1-e^2}}\right\rbrack^2+\frac{y^2}{\frac{p^2}{1-e^2}}=1$

En posant $a=\frac{p}{1-e^2}$ et $b=a\sqrt{1-e^2}$ (qui est défini puisque ), l'équation devient:

$\left(\frac{x-ae}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$

qui est l'équation d'une ellipse dont le centre a pour coordonnées , de demi-grand axe et de demi-petit axe .
Question 6
Solution :
Cette fois on montre que l'équation de la conique peut s'écrire:

$\left\lbrack\frac{x+\frac{ep}{1-e^2}}{\frac{p}{1-e^2}}\right\rbrack^2-\frac{y^2}{\frac{p^2}{e^2-1}}=1$

On note $a=\frac{p}{1-e^2}$ et $b=a\sqrt{e^2-1}$ (qui est défini puisque cette fois ). Ainsi l'équation devient:

$\left(\frac{x-ae}{a}\right)^2-\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$

qui est bien l'équation d'une hyperbole de centre , et d'asymptotes :

$y=\pm \frac{b}{a}(x-a\,e)$ .

pages_coniques/exo-masse-trou-noir.html

Exercice 'Masse du trou noir central de la galaxie'

Question 1
Solution :
Imprimer la figure de la page précédente afin de faire les mesures sur celle-ci.

On trace deux cordes parallèles et la droite qui joint les milieux des segments obtenus est un diamètre qui coupe l'ellipse en deux points. Le milieu de ces points est le centre de l'ellipse
Question 2
Solution :
Ce grand axe passe par et par l'image du foyer (c'est à dire la position indiquée de SgrA).
Question 3
Solution :
Attention: les mesures en millimètres sont données simplement pour comprendre la démarche. Il est bien évident que les valeurs (en mm) dépendent du support physique de la figure.

mm et mm

donc $e=\frac{CF}{CA_1}=0,864$

et $\sqrt{1-e^2} = 0,503$ .

Remarque: le dernier chiffre donné n'est vraiment pas significatif vu la précision de la figure. Il ne sert que de valeur de controle dans les calculs internes.
Question 4
Solution :
Joindre au milieu d'une corde parallèle à .
Question 5
Solution :
Question 6
Solution :
Notre mesure donne mm ce qui correspond à $\frac{140}{30} \times 0'',05 = 0'',233$

Dans un radian il y a $206265 '' = \frac{180 \times 60 \times 60}{\pi}$ . Ce qui donne al ua.
Question 7
Solution :
$\frac{T}{2} \approx 2002,33 - \frac{1994,32+1995,53}{2} = 7,4$ ans. Donc est estimée à ans.
Question 8
Aide :
Utiliser la troisième loi de Képler: où est la vitesse angulaire ( $\frac{2\pi}{T}$ ), a le demi grand axe, M la masse et G une constante universelle (la constante de Gravitation).

Aide :
Pour utiliser les unités ua et l'année, utiliser 2 fois la troisième de Kepler: une fois pour le système Soleil-Terre et une fois pour le système S2-SgrA.

Solution :
L'indice correspond au Soleil.

et d'où $\frac{M}{M_S} = (\frac{T_S}{T})^2 (\frac{a}{a_S})^3$

Or an et ua, donc $\frac{M}{M_S}=\frac{929^3}{15^2}$ . Et donc $M = 3,6 \, 10^6$ masses solaires.