Dérivées partielles, gradient et plan tangent : Page pour l'impression

Auteur: Jérôme Thiébaut

Le CMB (Cosmic Microwave Background où fond diffus cosmologique) représente le champ de densité de l'univers lorsque celui ci avait environ 300 000 ans (dans le cadre de la théorie du Big Bang). L'un des enjeux de la cosmologie est, à partir de ce champ de densité, de comprendre son évolution et la formation des structures à différentes échelles (galaxies, amas, super amas, filaments). Dans un premier temps, on peut linéariser les équations régissant le mouvement d'un fluide afin de déterminer l'évolution linéaire du champ de densité. Le but de l'exercice est de déterminer l'équation différentielle à laquelle obéit le champ de densité dans ce régime.

Le fond diffus cosmologique vu par COBE et WMAP.

Cartes du ciel obtenues par les satellites COBE (en haut) et WMAP (en bas); on remarque la résolution spatiale bien meilleure de WMAP.

Crédit : COBE/WMAP

Ex: Perturbations linéaires

Auteur: Jérôme Thiébaut

Perturbations linéaires

Difficulté : ☆☆ Temps : 1 h

Les équations fondamentales gouvernant le mouvement d'un fluide sont:

l'équation d'Euler (conservation de l'impulsion)
l'équation de conservation (dans ce cas, conservation de la masse)
l'équation de Poisson (reliant masse et potentiel gravitationnel) .

D/Dt=drond/drondt+pscalaire(v;nabla) est la dérivée convective (variation totale dûe à la variation temporelle, $frac(drond;drondt)$ , et spatiale, , du fluide) , v la vitesse du fluide, P sa pression, rho sa densité, G la constante de gravitation et Phi le potentiel gravitationnel. On souhaite tout d'abord linéariser les équations autour d'un fond homogène, rho=rho_0+delta*rho , v=v_0+delta*v , P=P_0+delta*P et Phi=Phi_0+delta*Phi .

Question 1)

Réecrire les trois équations linéarisées au premier ordre.

Question 2)

Soustraire à ces équations les équations à l'ordre 0 (c.à.d. les équations non perturbées où les delta*x sont nuls) et les exprimer en fonction du contraste de densité lambda=delta*rho/rho_0

Question 3)

La dérivée convective des quantités perturbées est donc d/dt=drond/drondt+pscalaire(v_0;nabla) . Ces équations sont écrites en coordonnées eulériennes x(t) (système de coordonnées fixes). On se propose maintenant de les écrire en coordonnées comobiles, r(t), système de coordonnées qui évolue et se dilate avec l'expansion de l'universafin de s'en affranchir. Le passage de l'une à l'autre se fait par: x(t)=a(t)*r(t) et delta*v(t)=a(t)*u(t) où a(t) est le facteur d'échelle caractérisant l'expansion et u(t)=dr/dt est la vitesse particulière du fluide. On peut montrer que pscalaire(delta*v;nabla)*v_0=(dtemps(a;1)/a)*delta*v . Réecrire les équations d'Euler et de conservation en fonction de a et u(t).

Question 4)

La vitesse du son c_S est par définition subsup(c;S;2)=drond*p/drond*rho . Dériver l'équation de conservation afin de déterminer l'équation différentielle du deuxième ordre régissant l'évolution de lambda .

Potentiel gravitationnel terrestre

Auteur: Arnaud Beck

A l'ordre zéro, le potentiel gravitationnel de la Terre est supposé être celui d'une masse ponctuelle située au centre de la terre. Cette hypothèse revient en fait à supposer que la symétrie sphérique de la Terre est parfaite et donc, que son potentiel gravitationnel ne dépend que de la distance au centre . Or, des mesures suffisamment précises ont montré que des effets "non sphériques" étaient détectables. Cet exercice propose d'étudier la fonction du potentiel terrestre corrigé au premier ordre. Cette correction est celle qui est due à l'aplatissement de la Terre aux pôles et rend le potentiel dépendant de la latitude.

Voici un autre exercice sur le potentiel gravitationnel terrestre.

Ex: Potentiel gravitationnel terrestre

Auteur: Arnaud Beck

Potentiel gravitationnel terrestre

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Introduction

Dans le repère du centre de gravité de la Terre et en supposant la Terre à symétrie de révolution autour de son axe, on peut montrer qu'une bonne approximation du potentiel gravitationnel est donné par

$U(r,\theta)=-\frac{\mathcal{G}m_T}{r}+\frac{1}{2}\frac{\mathcal{G}m_T}{r}\left(\frac{r_e}{r}\right)^2J_2(3\sin (\theta)^2-1)$

où r_e est le rayon équatorial de la Terre, m_T sa masse, $\mathcal{G}$ la constante de gravitation, J_2 un coefficient de correction sans dimension, $\theta$ la latitude et la distance au centre.

Question 1)

Sachant que le champ de gravitation est donné par le gradient du potentiel , donner les composantes radiale et tangentielle de ce champ.

Question 2)

En symétrie parfaitement sphérique, le champ gravitationnel de la Terre est non nul en tout point de l'espace. Il est intéressant de noter que ce n'est pas le cas si l'on prend en compte l'aplatissement de la Terre. Déterminer les points en lesquels le champ gravitationnel s'annule. D'un de point de vue mathématique, que sont ces points pour la fonction ?

Question 3)

Voici une représentation de en niveau de gris. Le cercle blanc centrale est une zone où le potentiel diverge et n'est pas évalué. Il ne faut donc pas en tenir compte. En faisant des coupes sur cette image, déterminer la variation de dans les directions radiale et tangentielle au niveau des points critiques. En déduire si ces points sont des minima, des maxima ou des points selles.