Extrema

Auteurs: Marc Fouchard, Jérôme Thiébaut

Loi de Wien
Ex : loi de Wien
Etoile à neutron
Ex: Etoile à neutron
Sphère photonique
Ex: Sphère photonique

Loi de Wien

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck indique que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement à une longueur d'onde donnée, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

$E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre $\lambda_{\rm max}$ et .

Remarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné. Il utilise aussi le théorème du point fixe dans $\mathbf R$ , mais ce théorème peut être admis ici.

Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en Kelvin est aussi strictement positive, montrer que $E(\lambda)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

Montrer que les limites de $E(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers 0 et vers $+ \infty$ sont toutes les deux égales à zéro. Ce résultat peut être admis ici.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour $E(\lambda)$ sur $\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ .

Question 4)

En effectuant le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ , montrer qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Question 5)

En déduire une condition sur , de la forme f(u)=u , pour que $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans ${\mathbf R}$ que admet un point fixe et que la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur $\tilde{u}_S$ qui soit une valeur approchée de u_S à $10^{-7}$ prêt.

Question 7)

En déduire la relation $\lambda_{\rm max}\cdot T =A$ où $c=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ , $h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s}$ et $k = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$ . Cette relation correspond à la loi du déplacement de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de $\tilde{u}_S$ dans le calcul de la constante .

Etoile à neutron

Auteur : Jérôme Thiébaut

Une étoile à neutron constitue l'étape ultime d'évolution des étoiles de masses inférieures à trois masses solaires. Ayant brulé tout son carburant, l'étoile devient une supernova, elle éjecte ses couches extérieures et son coeur s'éffondre sur lui même. Les électrons et les protons fusionnent ensemble et se transforment en neutrons. La densité devient alors comparable à celle de la matière nucléaire et la température est de l'ordre de 10^8 K. Le but de cet exercice est de déterminer grâce à un modèle simple le rayon d'équilibre de ces étoiles.

Ex: Etoile à neutron

Auteur: Jérôme Thiébaut

Etoile à neutron

Difficulté : ☆ Temps : 45 min

On assimile l'étoile à neutron à un gaz parfait de neutrons contenu dans une sphère. La densité d'états (ou fonction de distribution) de l'impulsion rho(p) est la suivante: $rho*(p) dp = frac(V;pi^2*planck^3)*p^2*dp$ , où V est le volume et planck la constante de Planck réduite.

Question 1)

On définit la densité de particule n: $n=frac(1;V)*intégrale(rho(p);p;0;p_f)$ où p_f est l'impulsion de Fermi, c'est à dire l'impulsion maximale. Exprimer n en fonction de p_f .

Question 2)

Exprimer l'impulsion de Fermi en fonction de la masse du neutron, m, celle de l'étoile, M, et du rayon de l'étoile, R.

Question 3)

On définit la densité d'énergie, epsilon : $epsilon=frac(1;V)*intégrale(frac(p^2;2*m)*rho(p);p;0;p_f)$ . calculer epsilon en fonction de p_f .

Question 4)

L'énergie du gaz E vallant $frac(4;3)*pi*R^3*epsilon$ , l'exprimer en fonction de l'impulsion de Fermi puis en fonction des caractéristiques de l'étoile et de la masse du neutron.

Question 5)

L'énergie gravitationnelle de l'étoile est $E_g=-frac(3*G*M^2;5*R)$ , où G est la constante de gravitation. L'équilibre est atteint lorsque l'énergie totale (celle du gaz plus celle gravitationnelle) de l'étoile est minimum. Calculer le rayon R_étoile qui minimise l'énergie en fonction de la masse de l'étoile et des constantes m, G et planck . Calculer ce rayon pour le soleil.

Sphère photonique

Auteur: Jérôme Thiébaut

En relativité générale la gravitation n'est pas une force mais une déformation de l'espace temps due aux corps qu'il contient. Par conséquent, la métrique, c'est à dire la manière de mesurer les distances, s'en trouve transformée par rapport aux distances euclidiennes usuelles. La métrique de Schwarzschild est une métrique applicable à un corps massif central statique ou en rotation lente. Cette métrique s'applique à l'extérieur du corps en question et n'est plus valable en son sein. Elle permet de plus, à grande distance ou dans le cas de potentiel faible, de retrouver la gravitation newtonnienne. Le but de cet exercice est de montrer que pour des trous noirs, il existe une orbite circulaire en deça de laquelle il est impossible d'orbiter, et que cette orbite correspond à la trajectoire de photons.

Ex: Sphère photonique

Auteur: Jérôme Thiébaut

Sphère photonique

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

La métrique de Schwarzschild est une métrique applicable à un corps massif central statique ou en rotation lente. Elle s'écrit: ds^2=-psi*c^2*dt^2+dr^2/psi+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2 , où est le temps,c la vitesse de la lumière, theta phi sont les coordonnées sphériques et psi est défini comme psi=1-r_s/r . Le rayon de Schwarzschild r_s est directement relié à la masse du corps central par r_s=2GM/c^2 , où G est la constante de gravitation.

Question 1)

On se place dans le plan theta=pi/2 . Que vaut ds^2 dans le cas d'une orbite circulaire ?

Question 2)

On pose d*phi=omega*dt , où omega est la fréquence angulaire du mouvement vu par un observateur lointain. Sachant que pour qu'un mouvement soit physiquement réalisable il faut que ds^2<0 (ceci vient uniquement d'un choix spécifique de métrique); déterminer la condition sur omega .

Question 3)

Montrer que l'orbite finale (correspondant à la fréquence limite calculée précédemment) correspond à la trajectoire de photons pour lesquels ds^2=0 . Que vaut son rayon ?

Réponses aux exercices

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Exercice 'Loi de Wien'

Question 1
Solution :
$E(\lambda)$ s'écrit comme un produit et composition de fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur leur ensemble de définition. Ainsi $E(\lambda)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur son intervalle de définition, c'est à dire sur $]0,+\infty[$ .

Elle est toujours strictement positive puisqu'elle s'écrit comme produit de fonctions strictement positives sur cet intervalle.
Question 2
Aide :
On pourra effectuer le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ . Pour la limite en $+\infty$ on pourra faire un dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle.

Solution :
$\lim_{\lambda \to 0^{+}} E(\lambda)= \lim_{u \to +\infty} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=0$ car l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en $+ \infty$ .

$\lim_{\lambda \to + \infty} E(\lambda)= \lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=\lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot u^4 = 0$ où on a utilisé le dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle : ${\rm e}^u = 1 + u + O(u^2)$ .
Question 3
Solution :
Les limites trouvées à la question précedente nous permettent de dire que $\forall \epsilon > 0$ , $\exists M > 0$ et $\exists \delta >0$ tels que $\forall x > M$ on a $0 < E(x)<\epsilon$ et $\forall x < \delta$ et on a $0 < E(x) < \epsilon$ .

est une fonction continue sur l'intervalle $[\delta,M]$ . Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est atteinte par la fonction sur $[\delta,M]$ .

Soit $E_{\rm max}$ ce maximum. On peut alors choisir $\epsilon$ pour que $\epsilon < E_{\rm max}$ , ainsi $E_{\rm max}$ sera aussi le maximum de sur $]0,+\infty[$ .
Question 4
Solution :
$\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}=\frac{{\rm d} u}{{\rm d} \lambda} \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}=-\frac{hc}{kT\lambda^2}\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d}u}=-\left(\frac{kTu}{hc}\right)^2\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ ,

ainsi les deux dérivées sont de signe opposé. Il suffit bien d'étudier le signe de l'une pour en déduire le signe de l'autre.
Question 5
Solution :
$E(u)=\frac{2 k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{u^5}{{\rm e}^u -1}$ donc $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{5u^4({\rm e}^u -1) - u^5 {\rm e}^u}{({\rm e}^u -1)^2}$ .

Comme $u\in\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ , et que $\frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3} > 0$ on a $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = 0 \quad {\rm ssi}\quad 5u^4({\rm e}^u-1)-u^5{\rm e}^u =0$ .

Ainsi la condition sur peut se mettre sous la forme $5-5\, {\rm e}^{-u}=u$ .
Question 6
Solution :
On trouve:

La convergence est assez rapide pour pouvoir dire que est une approximation qui répond à la question.
Question 7
Solution :
On doit trouver la relation:

$\lambda_{\rm max}\cdot T = 2,89789 \times 10^{-3}\,{\rm m}\cdot {\rm K}$ .

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Exercice 'Etoile à neutron'

Question 1
Solution :
$n=frac(1;3*pi^2*planck^3)*p_f^3$
Question 2
Aide :
Calculer d'abord la densité de particules en fonction des caractéristiques de l'étoile.

Solution :
$n=frac(frac(M;m);frac(4;3)*pi*R^3)$

$p_f=(3*pi^2)^(1/3)*planck*frac(3*M;4*pi*m*R^3)^(1/3)$
Question 3
Solution :
$epsilon=frac(p_f^5;10*m*pi^2*planck^3)$
Question 4
Solution :
$E=frac(3;10)*(frac(9*pi;4))^(2/3)*frac(planck^2*M^(5/3);R^2*m^(8/3))$
Question 5
Aide :
Trouver le rayon qui minimise l'énergie revient à résoudre $frac(d(E+E_G);d*R)=0$ .

Solution :
$R_étoile=(frac(9*pi;4))^(2/3)*frac(planck^2;G*M^(1/3)*m^(8/3))$ L'application numérique donne pour une étoile d'une masse solaire un rayon de 12km !

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Exercice 'Sphère photonique'

Question 1
Solution :
Question 2
Aide :
analiser la fonction

Solution :
La dérivée seconde est toujours positive, la fonction est donc convexe. Son minimum est atteint en lorsque la dérivé s'annule. Lorsque , il n'y a plus de solution possible donc soit
Question 3
Solution :
Ce rayon correspond à la dernière orbite possible pour des photons c'est la sphère photonique.