Ex : loi de Wien |
Difficulté : ☆☆ Temps : 1h
Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que est de classe sur et est toujours strictement positive sur cet intervalle.
Montrer que les limites de quand tend vers 0 et vers sont toutes les deux égales à zéro.
En déduire qu'il doit exister un maximum pour sur .
En effectuant le changement de variable , montrer qu'étudier le signe de revient à étudier celui de .
En déduire une condition sur , de la forme , pour que s'annule. On note la solution de cette équation lorsqu'elle existe.
Montrer que est une application contractante sur l'intervalle fermé .
En déduire l'existence d'un point fixe unique de dans cet intervalle. Constuire une suite récurente convergent vers ce point fixe. En déduire une valeur qui soit une valeur approchée de à prêt.
En déduire la relation où , et. Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de dans le calcul de la constante .