Fonction d'une variable réelle : généralité et continuité : Page pour l'impression

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant un longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

$E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$ où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différentes températures de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde $\lambda_{\rm max}$ pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre $\lambda_{\rm max}$ et .

Remarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné. L'exercice utilise aussi le théorème du point fixe dans $\mathbf R$ , mais ce théorème peut être admis ici.

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que $E(\lambda)$ est de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ et est toujours strictement positive lorsque $\lambda \in \left\rbrack 0 , + \infty \right \lbrack$ .

Question 2)

Montrer que les limites de $E(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers 0 et vers $+ \infty$ sont toutes les deux égales à zéro.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour $E(\lambda)$ sur $\left\rbrack 0 ; +\infty \right\lbrack$ .

Question 4)

En effectuant le changement de variable $u=\frac{h c}{k \lambda T}$ , montrer qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Question 5)

En déduire une condition sur , de la forme f(u)=u , pour que $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

On peut monter par le théorème du point fixe dans ${\mathbf R}$ que admet un point fixe et que la suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers ce point fixe (voir Loi de Wien et théorème du point fixe). En prenant u_0=5 trouver une valeur $\tilde{u}_S$ qui soit une valeur approchée de u_S à $10^{-7}$ prêt.

Question 7)

En déduire la relation $\lambda_{\rm max}\cdot T =A$ où $c=299\,792\,458~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ , $h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s}$ et $k = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$ . Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de $\tilde{u}_S$ dans le calcul de la constante .

Fonction d'une variable réelle : généralité et continuité

Introduction

Continuité

Loi de Wien

Remarque

Ex : loi de Wien

Loi de Wien

Réponses aux exercices

Exercice 'Loi de Wien'