Auteur: Alain Vienne
Les anciens classaient les étoiles suivant leur "grandeur". Cette grandeur correspond à l'éclat tel que le percevaient les anciens: ils observaient des étoiles de "première grandeur", de "deuxième grandeur", etc ... On appelle aussi ces grandeurs magnitudes et on la note 
: 
pour l'étoile la plus brillante du ciel (Véga de la constellation de la Lyre) et 
est souvent considéré comme la limite des étoiles visibles à l'oeil nu. Avec les plus grands télescopes actuels, on peut voir jusqu'à la magnitude 30. A l'inverse, le Soleil qui est très "éclatant" a une magnitude -27.
Voir aussi le cours AMC
En fait, la perception visuelle suit une échelle logarithmique par rapport au phénomène physique correspondant. Pour conserver la classification des anciens, la magnitude ou magnitude apparente (puisque que c'est la magnitude qui nous "apparaît" de l'endroit où on observe) est définie par:
où 
est l'éclat de l'astre que l'on observe. 
est l'éclat de l'étoile Véga qui est ainsi prise en référence (pour assurer que sa magnitude apparente est 0). On rappelle que la notation 
désigne le logarithme en base 10.
Il est clair que l'éclat est d'autant plus important que l'observateur est proche de la source lumineuse. Plus précisément, on a 
où 
est la puissance totale émise par l'astre et 
est sa distance.
Pour caractériser la brillance intrinsèque d'un astre, on utilise la magnitude absolue, notée 
. C'est la magnitude qu'aurait cet astre si il était observé à la distance de 10 parsecs. On a donc pour un même astre : 
et 
avec 
On rappelle que le parsec est la distance pour laquelle on voit le rayon de l'orbite de la Terre (1 UA) sous l'angle de 1" de degré. Ainsi 
(de la même manière qu'il y a 206265 " dans un radian).
Magnitude du Soleil vu de alpha du Centaure
.
. Cette relation n'est valable que dans les unités indiquées.
)
et 
. On supposera que l'orbite de Mars est un cercle de rayon 1,524 UA.
. Exprimez la magnitude de cette planète lorsqu'elle est à la distance 
de la Terre et à la distance 
du Soleil. On donnera cette expression en fonction de 
, 
et 
(on négligera l'effet de phase).
reçue et réémise par la planète est proportionnelle à 
, puis que la puissance 
reçue au niveau de la Terre est 
et 
, puis à Mars pour lequel 
et 
: Calculer la magnitude de ces planètes lorsqu'elles sont en 
. On l'observe ensuite au travers d'un instrument dont le diamètre d'ouverture est 
avec une pupille de sortie dont le diamètre 
est égal à celle de l'oeil.
de cette étoile au travers de cet instrument.
le nombre d'atomes au temps 0.
le nombre d'atomes radioactifs est-il réduit de moitié ?
et 
.
en strontium 87 avec une demi-vie de 49 milliards d'années, selon la réaction suivante :
). Le nombre de masse (87) est inchangé, le nombre de charges varie (de 37 à 38). La charge totale est conservée par l'émission d'un électron. La quatrième particule est un anti-neutrino symétrique de l'électron, dont la présence est requise par la conservation du moment cinétique.
à l'instant de la mesure t en fonction des quantités de 
initiale et de 
actuelle et initiale.
, isotope stable du strontium qui n'est pas un produit de désintégration (son abondance n'est donc pas fonction du temps). Faire apparaître ces rapports. Commentaires ?
,
, de rayonnement, 
, de constante cosmologique, 
et de courbure, 
.
est la constante de Hubble et 
est le facteur d'échelle décrivant l'évolution de l'univers.
La composition de l'univers évoluant avec le temps, les différents paramètres de densité ont des importances relatives différentes en fonction de l'ère cosmologique considérée. Ils sont tour à tour dominants (
puis 
et 
et enfin 
) ou négligeables.
On se propose dans cet exercice d'étudier un modèle d'univers dominé par la matière avec une courbure négative et de vérifier si il peut coïncider avec les observations actuelles.
est la constante de Hubble, 
le paramètre de densité et 
le paramètre de courbure.
La solution sous une forme paramétrique est:
, 
,
où 
et 
sont des constantes.
et 
par rapport au temps et éliminer la dépendance en 
de 
.
et 
comme fonction de la constante de Hubble et des paramètres de densité et de courbure.
.
défini comme: 
.
Les observations actuelles montrent que l'univers est dans une phase d'accélération. Ce type d'univers a t'il une phase accélérée ? Peut-il représenter notre univers ?
est l'
est l'
dans le cas hyperbolique) et 
est l'
correspond à l'
la fonction définie par 
sur 
avec 
une constante. Montrer que 
est continue dérivable 2 fois, que 
est strictement supérieure à zéro et que 
est supérieure à zéro pour 
On rappelle que dans le cas hyperbolique 
.
, le nombre réel positif tel que 
. Montrer que pour 
, 
.
est au-dessus de sa tangente sur 
.
définie par:
, est décroissante et minorée par 
.
converge et que sa limite est 
.
est utilisée pour résoudre par itération et de manière approchée l'équation de Kepler.
sphère céleste![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation1.png)
donnant la hauteur au dessus d'un ![[0,2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation2.png)
, entre un 
est une sphère de rayon unité (arbitraire), centrée sur l'observateur. Sur cette sphère on projette l'équateur terrestre, ce qui nous donne un 
et le pôle sud au point 
, appelés respectivement pôle céleste nord et pôle céleste sud.
et positive au dessus de l'horizon, et une longitude mesurée sur l'horizon céleste, appelée azimut et notée 
, en prenant comme méridien d'origine celui passant par le pôle céleste sud et comme sens positif vers l'ouest. 
, positive vers le pôle céleste nord, et une longitude appelée angle horaire et noté 
, avec comme méridien d'origine le méridien passant par le zénith et comme sens positif vers l'ouest.
, est mesurée par rapport au méridien d'origine qui contient la position du Soleil au moment de l'équinoxe de printemps et le sens positif est le sens trigonométrique (vue du pôle nord). Cette position est appelé le 
correspond à la direction du 
on a alors les équations suivantes permettant de passer d'un ensemble de coordonnées à l'autre:
. On a la relation : 
.
. Un point 
de la sphère aura pour image, le point 
intersection de la droite 
avec le plan 
passant par le centre de la sphère 
et perpendiculaire à la droite 
reliant les pôles. La figure suivante illustre cette projection.
.
? Quelles sont les points invariants par cette projection ?
, centré en 
, l'axe des abscisses est dirigé vers l'origine des angles horaires sur l'équateur céleste et l'axe des ordonnées fait un angle de 
dans le sens trigonométrique vu du pôle céleste Sud. On utilisera alors un système de coordonnées polaires 
pour placer un point sur 
un point de 
, de coordonnées 
où 
est l'angle horaire et 
la déclinaison. Montrer que les coordonnées polaires de son image 
sont 
.
qui contient aussi le point 
et le pôle céleste nord 
.
passant par le pôle céleste Sud 
est une droite.
et 
deux points de 
. Soit 
le cercle de 
passant par ces points. On suppose que 
n'est pas un grand cercle. Il existe donc un cône de sommet 
tangent à 
en 
. Soit 
l'image de 
par projection sur 
. La droite 
coupe le plan 
en 
. Enfin, on appelle 
, le plan tangent à 
en 
. La droite 
, coupe le plan 
en 
, et la droite 
coupe le plan parallèle à 
passant par 
en 
. La figure ci-dessous montre la construction.
. En déduire que 
puis que 
. En déduire que l'image de 
est un cercle.
est un 
sont maintenant parallèles. 
n'est plus défini, mais on peut encore construire le plan 
et le point 
. On appelle 
le point où la parallèle à 
passant par 
coupe la plan 
et 
, le point où la droite 
coupe le plan 
. Voir la figure ci-dessous.
. En déduire de nouveau que l'image de 
est un cercle.
de 
par son centre 
et son rayon 
qui correspond en fait à l'angle sous lequel est vu le rayon depuis le centre 
de la sphère 
. On suppose que ![z\in]0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation162.png)
. La figure ci-dessous illustre la situation.
.
, ayant pour coordonnées horaires 
, et 
, coupant 
en 
et 
. Déterminer les coordonnées horaires de 
et 
.
et 
de 
et 
sont diamétralement opposées.
et 
on peut déterminer le rayon et le centre du cercle projeté.
et 
). Ainsi, il est facile de tracer la projection de l'horizon puisqu'il correspond à un cercle de 
de centre 
et de rayon 
. De même différents cercles de hauteur constante 
par rapport à l'horizon peuvent être obtenus en changeant la valeur de 
(on prend 
).
. Les projections correspondent donc à des demi-droites. On doit juste faire attention au fait qu'en astronomie le méridien d'origine par rapport à l'équateur correspond à celui qui contient le 
, varie dans le temps. Ainsi les projections des méridiens équatoriaux vont tourner en même temps que 
.
. On doit donc seulement calculer les coordonnées horaires de ces points pour pouvoir déterminer leur projection. Calculer donc les coordonnées horaires d'un point 
de l'horizon céleste d'azimut 
en un lieu de latitude 
et le méridien d'azimut 
. Justifier que ces deux méridiens forment un grand cercle 
de 
, dont on déterminera le centre sur 
et le rayon. Ceci permet de construire facilement la projection des méridiens d'après ce qu'on a vu précédemment.
. Les variations de l'obliquité sont tellement faibles qu'on peut la supposer constante ici. La droite d'intersection entre ces deux plans passe par le 
.
En s'aidant d'un dessin, déterminer les coordonnées équatoriales, puis les coordonnées horaires du pôle de l'écliptique 
ayant une déclinaison positive.
et de côté 
(
étant le côté opposé au sommet 
, etc.) où 
(voir la figure ci-dessous) :
.
. Dessiner sur une sphère céleste avec l'équateur céleste comme plan de référence, le pôle céleste nord, l'horizon céleste, et les points cardinaux Sud, Ouest, Nord et Est. On notera aussi 
le point d'intersection du 
le point opposé à 
sur l'équateur céleste.
d'un point 
de l'horizon céleste, la latitude, la colatitude 
, et l'angle 
entre la direction ouest et le méridien équatorial passant par 
,et compté positivement vers 
.
de 
en fonction de 
et 
.
.
, on souhaite utiliser un angle associé au Soleil, appelé heure solaire vraie et noté 
. Cet angle est mesuré sur l'équateur céleste, à partir de la direction 
, et compté positivement vers l'Est.
Ainsi, l'Est, 
et l'Ouest correspondent respectivement à 
, 
et 
. Ecrire 
en fonction de 
.
. On déterminera en particulier la valeur de 
et de sa dérivée pour 
et 
.
. L'angle entre ces deux directions est appelé obliquité est vaut 
. Vu du pôle céleste nord, le Soleil décrit sa trajectoire dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire que son ascension droite augmente au cours du temps.
en fonction de 
et de l'obliquité 
.
. On déterminera en particulier la valeur de 
et de sa dérivée pour 
et 
.
(en astronomie cependant on préfère noter les longitudes entre 0h et 24h).
et de côté 
(
étant le côté opposé au sommet 
, etc.) où 
(voir la figure ci-dessous) :
.
puis 
km
km
. 
est une constante que l'on élimine par l'introduction de 
. En effet à l'
(en ua). On en déduit donc que:
/ 
/ 
/ 
est appelé demi-vie, ou période radioactive, de l'espèce.
![\frac{^{87}Sr(t)}{^{86}Sr} = \frac{^{87}Sr(0)}{^{86}Sr} + \frac{^{87}Rb(t)}{^{86}Sr} + \left[ exp(\lambda t) -1 \right]](../pages_exp/equations_exp/equation77.png)
,
,
,
.
et
.
et 
.
Le paramètre de décélération étant toujours positif, ce type d'univers n'a pas de phase d'accélération. Il n'est donc pas compatible avec le nôtre puisque nous sommes dans une phase d'expansion accélérée.
est continue, dérivable deux fois sur 
.
. Pour tout 
, 
. Comme 
on en déduit que 
pour 
.
. Pour 
on a donc bien 
.
est strictement croissante sur 
. Comme 
et que 
on a bien 
, on a:
![g(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]](../pages_hyper/equations_hyper/equation79.png)
.
et 
. Ainsi 
est une fonction croissante au voisinage de 
, donc 
est négative pour 
et positive pour 
. Donc 
correspond à un minimum pour 
. Ainsi au voisinage de 
on a 
ce qui montre que la courbe représentative de 
est effectivement au-dessus de sa tangente.
et 
sont positives sur 
, la suite 
est effectivement décroissante tant que les valeurs de la suite restent dans 
.
D'autre part, en remarquant que le point de l'axe des abscisses d'abscisse 
est le point d'intersection de la tangente au point d'abscisse 
à la courbe représentative de 
avec l'axe des abscisses, on en déduit que 
puisque la tangente est en-dessous de la courbe représentative de 
. Comme 
est croissante et que 
on a bien 
.
étant décroissante et minorée par 
elle converge vers une limite 
. A la limite on a :
,
. Ainsi on a bien 
.
est le centre de la sphère 
. L'ensemble des points invariants sont les points intersection de la sphère céleste 
avec le plan 
. C'est l'équateur céleste.
et 
les coordonnées polaires de 
.
Le point 
est dans demi-plan méridien passant par 
. Comme ce demi-plan permet de définir l'angle horaire 
et que l'origine des angles horaires et des angles polaires dans 
est la même, on a bien 
.
On se place alors dans le plan 
. Le triangle 
est isocèle en 
(voir la figure ci-dessous). Ainsi On en déduit que 
. Le triangle 
étant rectangle en 
, on a donc: 
. On peut remarquer que cette formule est valable quelque soit ![\delta\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation59.png)
.
d'un point.
le plan contenant le cercle 
Comme 
contient aussi 
, on en déduit que les images des points de 
sont dans 
et par définition ils sont aussi dans 
. L'intersection de deux plans étant une droite, on remarque que les images de 
se trouvent bien sur une droite, notée 
.
un point de 
. La droite 
coupe le cercle 
en un point 
autre que 
puisqu'elle n'est pas tangente à 
. Ainsi, 
est l'image de 
par la projection. Donc l'image de 
est la droite 
toute entière.
et 
étant deux tangentes à 
, on a bien 
(facilement démontré en utilisant le théorème de Pythagore aux triangles 
et 
). Les triangles 
et 
sont en configuration de Thales. Comme 
on a bien 
. De même, les triangles 
et 
forment une autre configuration de Thales, donc : 
. Ainsi 
. Ainsi la distance 
est indépendante de la position du point 
sur 
, tout comme l'est la distance 
.
Donc le point 
se trouve sur un cercle de centre 
. On voit que tout le cercle est obtenu lorsque 
décrit 
.
et 
sont en configuration de Thales. On a donc:
. Puis, avec la configuration de Thales des triangles 
et 
on a 
.
De nouveau on a bien l'image de 
qui est un cercle de centre 
.
et 
sont sur le même méridien que 
(ou sur le méridien opposé). Ainsi,
la latitude est obtenue à partir de celle de 
en ajoutant où en retranchant 
. Mais la latitude finale doit toujours être comprise dans l'intervalle ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation177.png)
. Si elle est en dehors de cet intervalle alors, il faut prendre la latitude opposée et lui ajouter 
, et aussi prendre l'opposé de la longitude.
et 
.
est obtenue en ajoutant 
et 
en retranchant 
à 
on a :
et 
si 
et
et 
si 
,
: 
et 
si 
et
et 
si 
.
des constructions précédentes , et centre de la projection du cercle, se trouve dans le plan 
et dans le plan 
. Or ces deux plans sont confondus. Donc, les points 
, 
et 
sont sur la droite intersection des plans 
et 
. Ils sont donc alignés. 
et 
sont donc deux points distincts d'un cercle alignés avec le centre du cercle, ils sont donc diamétralement opposés.
se trouvant sur l'horizon céleste, on a 
. La déclinaison étant dans l'intervalle ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation233.png)
, elle est complètement déterminée par son sinus. Ainsi en utilisant la 4ème relation des équations données dans le 
, où la fonction 
est la réciproque de la fonction sinus. Comme cette fonction est à valeur dans ![[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation236.png)
, 
est complètement déterminé par cette relation.
, la 5ème relation des équations données dans le 
. Cette relation n'est pas définie pour les pôles (
), mais dans ce cas l'angle horaire 
n'est pas définie non plus. D'autre part, on sait que la projection du pôle céleste nord est le centre de la sphère 
, alors que le pôle céleste sud est le seul point de la sphère céleste pour lequel la projection n'est pas définie.
. On sait que ![H_o\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation246.png)
, alors que 
est dans l'intervalle ![[0, 2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation248.png)
. Mais on sait que 
est aussi solution de l'équation pour 
. Pour choisir quelle est la bonne solution, on doit utiliser la 6ème relation des équations données dans le 
. Mais seul le signe de cette quantité nous intéresse puisque 
, alors que 
. Or comme ![\delta\in]-\pi/2,\pi/2[](../pages_trigo/equations_trigo/equation254.png)
(les pôles sont exclus), 
. Ainsi si 
, on prend 
si 
et 
(qui est toujours solution, par périodicité, des deux équations que 
doit vérifier) si 
. Et si 
, on prend 
si 
et 
si 
.
. Comme c'est un grand cercle son rayon est 
(en tant que cercle de 
). Son centre, sur la sphère, se trouve donc sur l'axe des pôles du grand cercle. Cette axe est perpendiculaire au plan contenant le grand cercle et il passe par le centre de la sphère, il est donc compris dans le plan de l'horizon céleste et est perpendiculaire à la droite d'intersection entre le grand cercle défini par les méridiens et l'horizon céleste. On en déduit que son azimut est égal à 
(deux solutions possibles).
est tout simplement 
. Son ascension droite est 
, ainsi d'après la relation donnée dans le 
est 
.
, centré en 
et de rayon 
.
, le Soleil et le point d'intersection entre le méridien équatorial passant par le Soleil et l'équateur céleste. On a ainsi le triangle sphérique suivant:
avec 
égal au nombre de jours écoulés depuis le 22 mars (le nombre de jours dans une année étant égale à 365,25) et le symbole 
se réfère au Soleil.
![\delta_\odot\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation298.png)
, sa valeur est complètement déterminée par l'inversion de la première équation.
, si 
alors ![\alpha_o=\tan^{-1}(\cos \varpi \tan l) \in ]-\pi/2,\pi/2[](../pages_trigo/equations_trigo/equation301.png)
est solution de la deuxième équation, ainsi que 
. Mais en remarquant que si 
alors 
, on en déduit que si 
alors 
, sinon 
. Si 
alors 
. On prendra bien soin ensuite de transformer 
en un angle compris dans l'intervalle ![[0,2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation311.png)
.
.
Fin de la construction
le point d'intersection entre le méridien équatorial passant par 
et l'équateur céleste. On considère le triangle sphérique 
. Dans ce triangle, l'angle en 
est égal à 
, et l'angle en Ouest est égal à la colatitude 
. On applique la formule ci-dessus avec 
, et 
. On obtient : 
, soit 
.
, c'est-à-dire 
, ainsi :
n'est pas définie si 
. On rappelle que 
, comme ![\phi\in[-\pi/2,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation359.png)
,
c'est bien la seule valeur interdite pour 
. Cette valeur correspond donc à 
, c'est-à-dire à un point de l'équateur terrestre.
est définie, continue et dérivable sur 
. On remarque que 
donc la fonction 
est 
périodique et paire. En outre on a aussi 
, ainsi le point de coordonnée 
est un centre de symétrie pour la courbe représentative de 
.
pour ![h\in[0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation371.png)
.
, ainsi le tableau de variation de 
sur ![[0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation374.png)
est:
entre ![[0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation377.png)
, puis on complète par symétrie centrale par rapport au point de coordonnées 
, puis par symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui permet de tracer la courbe entre ![[-\pi,0]](../pages_trigo/equations_trigo/equation379.png)
. On obtient alors la courbe entre ![[0,2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation380.png)
en utilisant la périodicité de 
.
est la direction de l'équinoxe de printemps, c'est aussi l'origine des ascensions droites. 
correspond à une position du Soleil sur l'écliptique, 
sont l'ascension droite et la déclinaison du Soleil, et 
est l'obliquité.
.
est définie continue dérivable sur 
On a 
. Ainsi 
est 
périodique, elle est impaire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe 
.
sur ![[0,\pi/2]](../pages_trigo/equations_trigo/equation404.png)
. On a 
, ainsi le tableau de variation de 
est :
. Ainsi on a respectivement 
.
cet angle.
, le Soleil et le point d'intersection entre le méridien équatorial passant par le Soleil et l'équateur céleste. On a ainsi le triangle sphérique suivant :
avec 
égal au nombre de jours écoulés depuis le 22 mars (le nombre de jours dans une année étant égal à 365,25) et le symbole 
se réfère au Soleil.
, si 
alors ![\alpha_o=\arctan(\cos \varpi \tan l) \in ]-\pi/2,\pi/2[](../pages_trigo/equations_trigo/equation425.png)
est solution de la deuxième équation, ainsi que 
. Mais en remarquant que si 
alors 
, on en déduit que si 
alors 
, sinon 
. Si 
alors 
. On prendra bien soin ensuite de transformer 
en un angle compris dans l'intervalle ![[0,2\pi]](../pages_trigo/equations_trigo/equation435.png)
.