Fonctions hyperboliques et inverses

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard

Univers à courbure négative
Ex: Univers à courbure négative
Equation de Kepler hyperbolique
Ex: équation de Kepler hyperbolique

Univers à courbure négative

Auteur: Jérôme Thiébaut

Les équations d'Einstein de la relativité générale appliquées à l'univers que l'on suppose être un fluide homogène et isotrope, aboutissent à l'équation de Friedmann,

(dtemps(a;1)/a)^2=H_0^2*(Omega_m*(a_0/a)^3+Omega_r*(a_0/a)^4+Omega_Lambda+Omega_K*(a_0/a)^2) ,

décrivant l'évolution de l'univers en fonction de son contenu. Ce contenu est défini par les paramètres de densité de matière, Omega_m , de rayonnement, Omega_r , de constante cosmologique, Omega_Lambda et de courbure, Omega_K . H_0 est la constante de Hubble et est le facteur d'échelle décrivant l'évolution de l'univers. La composition de l'univers évoluant avec le temps, les différents paramètres de densité ont des importances relatives différentes en fonction de l'ère cosmologique considérée. Ils sont tour à tour dominants ( Omega_r puis Omega_m et Omega_K et enfin Omega_Lambda ) ou négligeables. On se propose dans cet exercice d'étudier un modèle d'univers dominé par la matière avec une courbure négative et de vérifier si il peut coïncider avec les observations actuelles.

Ex: Univers à courbure négative

Auteur: Jérôme Thiébaut

Univers à courbure négative

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 mn

On considère un univers dominé par la matière non relativiste et avec une courbure négative. Dans ce cas, l'équation de Friedmann s'écrit:

(dtemps(a;1)/a)^2=H_0^2*Omega_m*(a_0/a)^3+H_0^2*Omega_K*(a_0/a)^2

où H_0 est la constante de Hubble, Omega_m le paramètre de densité et Omega_K le paramètre de courbure. La solution sous une forme paramétrique est: a=A*(cosh(Theta)-1) , t=B*(sinh(Theta)-Theta) , où et sont des constantes.

Question 1)

Dériver et par rapport au temps et éliminer la dépendance en dtemps(Theta;1) de dtemps(a;1) .

Question 2)

Calculer les constantes et comme fonction de la constante de Hubble et des paramètres de densité et de courbure.

Question 3)

Calculer le paramètre de décélération défini comme: q=-a*dtemps(a;2)/dtemps(a;1)^2 . Les observations actuelles montrent que l'univers est dans une phase d'accélération. Ce type d'univers a t'il une phase accélérée ? Peut-il représenter notre univers ?

Equation de Kepler hyperbolique

Auteur : Marc Fouchard.

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation de Kepler dans le cas hyperbolique. On a déjà vu ici comment résoudre l'équation de Kepler dans le cas elliptique. On va voir ci une méthode similaire pour une trajectoire hyperbolique. Dans ce cas l'équation de Kepler est :

$M=e \sinh E-E ,$

où est l'anomalie moyenne, est l'excentricité (qui est dans le cas hyperbolique) et est l'anomalie excentrique. On peut voir ici une animation avec le lien entre les trois anomalies dans le cas hyperbolique. ( correspond à l'anomalie vraie)

Ex: équation de Kepler hyperbolique

Auteur: Marc Fouchard

équation de Kepler hyperbolique

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit la fonction définie par $f(x)=e \sinh x - x - M$ sur $\mathbb{R}$ avec une constante. Montrer que est continue dérivable 2 fois, que est strictement supérieure à zéro et que f'' est supérieure à zéro pour x>0. On rappelle que dans le cas hyperbolique e>1 .

Question 2)

Soit , le nombre réel positif tel que f(r)=0 . Montrer que pour $x\ge r$ , f(x)>0 .

Question 3)

Montrer que la courbe représentative de est au-dessus de sa tangente sur $[r,+\infty[$ .

Question 4)

En déduire que la suite $\lbrace u_n \rbrace$ définie par:

$u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)},$

avec $u_0\ge r$ , est décroissante et minorée par .

Question 5)

En déduire que la suite $\lbrace u_n \rbrace$ converge et que sa limite est .

Cette propriété de la suite $\lbrace u_n\rbrace$ est utilisée pour résoudre par itération et de manière approchée l'équation de Kepler.

Réponses aux exercices

pages_hyper/courb-neg2.html

Exercice 'Univers à courbure négative'

Question 1
Solution :
,

,

et donc,
Question 2
Aide :
Réduire au même dénominateur et identifier les puissances de .

Solution :
,

soit en réduisant au même dénominateur:

.

Par identification: et

.

D'où: et .
Question 3
Solution :

Le paramètre de décélération étant toujours positif, ce type d'univers n'a pas de phase d'accélération. Il n'est donc pas compatible avec le nôtre puisque nous sommes dans une phase d'expansion accélérée.

pages_hyper/exo-eq-kepler-hyp.html

Exercice 'équation de Kepler hyperbolique'

Question 1
Solution :
D'après les propriétés de la fonction sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique on en déduit que est continue, dérivable deux fois sur $\mathbb{R}$ .

On a $f'(x)=e\cosh x -1$ . Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\cosh x \ge 1$ . Comme on en déduit que pour $x\in \mathbb{R}$ .

De même $f''(x)=e\sinh x$ . Pour on a donc bien .
Question 2
Solution :
est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Comme et que on a bien
Question 3
Solution :
Soit $x_0\in[r,+\infty[$ , on a:

.

On remarque facilement que et $g''=f''\ge0$ . Ainsi est une fonction croissante au voisinage de , donc est négative pour $x\gex_0$ et positive pour $x\ge x_0$ . Donc correspond à un minimum pour . Ainsi au voisinage de on a $g(x)\ge 0$ ce qui montre que la courbe représentative de est effectivement au-dessus de sa tangente.
Question 4
Solution :
Comme et sont positives sur $\mathbb{R}^+$ , la suite $\lbrace u_n \rbrace$ est effectivement décroissante tant que les valeurs de la suite restent dans $\mathbb{R}^+$ . D'autre part, en remarquant que le point de l'axe des abscisses d'abscisse $u_{n+1}$ est le point d'intersection de la tangente au point d'abscisse à la courbe représentative de avec l'axe des abscisses, on en déduit que $f(u_{n+1})>0$ puisque la tangente est en-dessous de la courbe représentative de . Comme est croissante et que on a bien $u_{n+1}\ge r$ .
Question 5
Solution :
$\lbrace u_n \rbrace$ étant décroissante et minorée par elle converge vers une limite $l\ger$ . A la limite on a :

$l=l-\frac{f(l)}{f'(l)}$ ,

Donc . Ainsi on a bien .