Intégrales Généralisées

Auteurs: Marc Fouchard, Stéphane Erard, S. Renner

Loi de Stefan
Ex : loi de Stefan
Distribution des vitesses de Maxwell
Ex: Distribution des vitesses de Maxwell
Temps de vie d'une étoile
Ex: Temps de vie d'une étoile

Loi de Stefan

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

$E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différente température de surface du corps noir. Sachant que l'énergie totale $E_{\rm tot}$ émise par le corps noir par seconde et par unité de surface correspond à l'aire comprise en l'axe des abcisses et la courbe, on remarque que $E_{\rm tot}$ augmente avec la température de surface du corps noir (il ne faut pas cocher la case "normaliser").

Le but de cet exercice est d'établir la relation exacte entre $E_{\rm tot}$ et la température de surface du corps noir.

Loi de Planck

Remarque

On pourra aussi voir cet exercice en lien avec la loi de Planck pour les corps noirs.

Ex : loi de Stefan

Auteur: Marc Fouchard

loi de Stefan

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que est de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

L'énergie totale $E_{\rm tot}$ est donnée par :

$E_{\rm tot}=\int_0^{+\infty} \frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}{\rm d} \lambda$ .

Montrer, en effectuant un changement de variable approprié, que $E_{\rm tot}$ peut s'écrire sous la forme:

$E_{\rm tot}=A \int_0^{+ \infty} \frac{u^3}{{\rm e}^u-1}{\rm d} u \,T^4$

où est une constante que l'on déterminera.

Question 3)

Montrer que l'intégrale

$I=\int_0^{+\infty}\frac{u^3}{{\rm e}^u-1}{\rm d} u$

est convergente.

Remarque

Cette intégrale est une fonction zeta de Reimann. On peut montrer que $I=\pi^4/15$ .

Question 4)

En déduire la loi de Stefan:

$E_{\rm tot}=\sigma \, T^4$

où $\sigma$ est une constante que l'on déterminera.

Distribution des vitesses de Maxwell

Auteur: Stéphane Erard

On considère un gaz en équilibre, pour lequel on veut connaître les vitesses des molécules. La théorie cinétique des gaz ne donne qu'une valeur moyenne (la vitesse quadratique moyenne) :

$v_q= \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

où m est la masse des molécules, T est la température, k la constante de Boltzman.

On cherche ici la distribution de vitesse, c'est-à-dire la probabilité d'avoir une vitessse comprise entre v et v+dv. Le calcul qui suit est classique (non quantique) et reproduit l'étude de Maxwell au XIXe siècle.

Ex: Distribution des vitesses de Maxwell

Auteur: Stéphane Erard

Intégrales gaussiennes

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

Le calcul des propriétés de la loi normale suppose l'intégration de la fonction gaussienne, et des intégrales similaires apparaissent dans le calcul suivant.

Le moment d'ordre n de la loi normale réduite (de moyenne nulle) est :

$M_n = C \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-ax^2} dx$

où a > 0 et n ≥ 0, C étant une constante de normalisation. On s'intéresse ici à :

$I_n = \int_{0}^{\infty}x^n e^{-ax^2} dx$

Question 1)

Trouver une relation de récurrence entre les intégrales I_n .

Question 2)

Calculer I_1 . Que représente cette quantité ?

Question 3)

Calculer l'intégrale de Gauss $I = 2 \times I_0 = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2} \ dx$

Question 4)

En déduire les moments de la loi normale centrée.

Auteur: Stéphane Erard

Distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

La probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse comprise entre $\vec{v}$ et $d\vec{v}$ est notée $G(\vec{v})$ . Cette probabilité ne dépend pas de la position ni du temps, car le gaz est en équilibre. Si on fait l'hypothèse que la vitesse est isotrope (qui est vérifiée au sommet d'une atmosphère planétaire , ou dans un nuage de gaz interstellaire), G ne dépend que du module de la vitesse.

Question 1)

Ecrire les conditions d'indépendance entre les composantes du vecteur vitesse, et d'isotropie.

Question 2)

En déduire la forme de G.

Question 3)

Identifier deux conditions qui permettent de calculer les coefficients ci-dessus.

Question 4)

Calculer les intégrales I_2 et I_4 de l'exercice précédent.

Question 5)

En dériver l'expression de G(v^2) à l'aide des intégrales gaussiennes.

Question 6)

En dériver l'expression de F(v) , densité de probabilité pour le module de la vitesse.

Question 7)

Tracer cette fonction, expliquer sa forme.

Question 8)

Comment peut-on utiliser cette fonction pour expliquer l'évolution des atmosphères planétaires ?

Temps de vie d'une étoile

Auteur : S. Renner

On estime ici la durée de vie d'une étoile de type solaire, en supposant tout d'abord que la seule source d'énergie est la gravitation, puis en considérant le cas réel des réactions de fusion thermonucléaire de l'hydrogène en hélium. La première hypothèse (dissipation de l'énergie gravitationnelle) est une idée qui apparaît avec les travaux de Kelvin au XIXe siècle.

Ex: Temps de vie d'une étoile

Auteur: S. Renner

Temps de vie d'une étoile

Difficulté : ☆ Temps : 1h

On assimile l'étoile à une sphère homogène de masse et de rayon .

Question 1)

Montrer que son énergie de liaison gravitationnelle est $E_G = - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$ .

Question 2)

En déduire le temps de vie $\tau$ du Soleil sur ses seules ressources gravitationnelles. On rappelle que la luminosité (puissance totale rayonnée) du Soleil est $L_\odot = 4 \times 10^{26} W$ , sa masse $M_\odot = 2 \times 10^{30}$ kg et son rayon $R_\odot = 7 \times 10^8$ m.

Question 3)

Même question en considérant le cas réel des réactions de fusion nucléaire de l'hydrogène en hélium au coeur du Soleil. On suppose que 10% de la masse $M_\odot$ est convertie en hélium et que la luminosité $L_\odot$ reste constante. Le rendement de la réaction hydrogène -> hélium est de 0.7%, et on rappelle la relation d'équivalence masse-énergie E = m c^2 .

Question 4)

Le Soleil brille depuis 4.5 milliards d'années. Combien a t-il perdu en masse ?

Réponses aux exercices

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Exercice 'loi de Stefan'

Question 1
Solution :
s'écrit comme un produit de fonctions ou de composition de fonctions qui sont de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ , donc est aussi de classe classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ . Le signe s'optient de la même manière, en considérant le signe de chaque fonction intervenant dans le calcul de sur cet intervalle.
Question 2
Aide :
On pourra faire le changement de variable $u=\frac{hc}{kT\lambda}$ .

Solution :
On pose $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ .Ainsi ${\rm d} \lambda = -\frac{h\,c}{k\,T}\frac{{\rm d}u}{u^2}$ , et en substituant dans l'expression de $E_{\rm tot}$ on obtient:

$E_{\rm tot}=-\int_{+ \infty}^0 2\,hc^2\left(\frac{k\,u\,T}{h\,c}\right)^5\frac{1}{{\rm e}^u-1}\frac{hc}{kT}\frac{{\rm d}u}{u^2}$ ,

qui est bien de la forme demandée avec:

$A=\frac{2k^4}{h^3c^2}$ .
Question 3
Solution :
- En $+\infty$ l'intégrande est équivalente à $u^3/{\rm e}^u$ , dont l'intégrale converge en $+\infty$ puisque l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme;
- En 0, l'intégrande est équivalente à , dont l'intégrale converge 0
Question 4

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Exercice 'Intégrales gaussiennes'

Question 1
Aide :
On intègre par partie en posant

$dU = -2ax e^{-ax^2}$

$V = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Solution :
On trouve

$I_n = \left|\frac{x^{n+1}}{n+1} e^{-ax^2}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{n+2} e^{-ax^2} \ dx$

Soit

$I_n = \frac{2a}{n+1} I_{n+2}$
Question 2
Solution :
En posant on trouve :

$I_1 = \int_{0}^{\infty}x e^{-ax^2} \ dx = \frac{1}{2a}$

Cette quantité n'est pas proportionnelle à la moyenne de la loi normale centrée, qui est l'intégrale étendue à toute la droite réelle. Celle-ci est nulle, comme tous les moments d'ordre impair, ce qui dérive de la parité de la fonction.
Question 3
Solution :
La méthode la plus simple est de calculer le carré de l'intégrale et de passer en coordonnées polaires. On trouve au final :

$I = 2 \times I_0 = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

D'où le coefficient habituel de la loi normale qui normalise l'intégrale à 1.
Question 4
Solution :
La fonction étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. Les moments pairs suivent la relation de récurrence donnée plus haut à partir de $M_0 = \frac{2\ I_0}{\sigma \sqrt{2 \pi}} = 1$ (normalisation de la densité de probabilité).

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Exercice 'Distribution des vitesses'

Question 1
Solution :
En posant $|\vec{v}^2| = v^2 = v_x^2+v_y^2 +v_z^2$

l'indépendance entre composantes de vitesse s'écrit :

L'isotropie se traduit par :

Soit :

On peut donc écrire :

$G(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = \left[G(3v_x^2) G(3v_y^2) G(3v_z^2)\right]^{1/3}$
Question 2
Solution :
On prend le logarithme et on pose $\varphi = Log G$ :

$3 \varphi(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = \varphi(3v_x^2) + \varphi(3v_y^2) + \varphi(3v_z^2)$

C'est la définition d'une fonction linéaire. On a donc :

$\varphi(v) = Av + B$

Soit

$G(v^2) = C e^{Av^2}$
Question 3
Solution :
G est une densité de probabilité, elle est donc normalisée :

$\int_{0}^{\infty} G(v^2)\ d^3v = 1$

Par ailleurs on connaît la vitesse quadratique moyenne :

$v_q^2= \overline{v^2} = \frac{\int_{0}^{\infty} v^2 G(v^2)\ d^3v}{\int_{0}^{\infty} G(v^2)\ d^3v} = \frac{3kT}{m}$
Question 4
Solution :
$I_2 = \int_{0}^{\infty}x^2 e^{-ax^2} \ dx = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}$

$I_4 = \int_{0}^{\infty}x^4 e^{-ax^2} \ dx = \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{a^5}}$
Question 5
Solution :
La condition de normalisation est :

$\int_{0}^{\infty}G(v^2)\ d^3v \equiv 1$

où $d^3v = 4 \pi v^2 dv$ en coordonnées sphériques. Ceci donne :

$4 \pi C \int_{0}^{\infty} v^2 e^{Av^2} dv = 4 \pi C \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{(-A)^3}} \equiv 1$

La vitesse quadratique moyenne donne :

$v_q^2= 4 \pi C \int_{0}^{\infty} v^4 e^{Av^2} dv = 4 \pi C \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{(-A)^5}} \equiv \frac {3kT}{m}$

Le rapport des deux conditions conduit à :

$-A = \frac{m}{2kT}$ d'où $C = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}$

On en conclut :

$G(v^2) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$
Question 6
Solution :
$G(v^2)d^3v = G(v^2) 4\pi v^2 dv \equiv F(v)dv$

$F(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$

qu'on appelle distribution de Maxwell-Boltzman.
Question 7
Solution :

Distributions de Maxwell pour différents gaz rares à température ambiante.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Le maximum de la fonction n'est pas dû à la gaussienne elle-même (il est loin de la moyenne de celle-ci qui est centrée), mais au produit de la queue de la gaussienne par un polynôme de degré 2.
Question 8
Solution :
En utilisant la température qui règne au sommet de l'atmosphère, la fonction permet de calculer la distribution de vitesse des différentes espèces moléculaires ou atomiques. On peut comparer celle-ci à la vitesse d'échappement de la planète, qui dépend de sa gravité et de son rayon ( $v_{lib} = \sqrt{2gR}$ ).

Si une fraction significative des molécules a une vitesse supérieure à la vitesse de libération, cette espèce s'échappera rapidement de la haute atmosphère — c'est la raison première pour laquelle la Lune n'a pas d'atmosphère, alors que la Terre conserve la sienne à la même distance du Soleil.

En dehors de ce mécanisme d'échappement thermique, il existe d'autres mécanismes d'échappement atmosphérique.

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Exercice 'Temps de vie d'une étoile'

Question 1
Aide :
On considérera le travail élémentaire d'une couronne sphérique d'épaisseur .

L'énergie de liaison gravitationnelle sera alors donnée par $E_G = \displaystyle \int \int d^2 W$ , en prenant les bornes d'intégration adéquates.

Solution :
Travail élémentaire : $d^2 W = - \frac{G m(r) dm(r')}{u^2}du$

$dW = \int_r^{\infty} d^2W$

$E_G = \int_0^R dW$
Question 2
Solution :
$\tau = \frac{3}{5} \frac{GM_\odot^2}{R_\odot} / L_\odot \simeq 10^7$ ans.
Question 3
Solution :
durée de vie = $\displaystyle \frac{(M_\odot/10) \times 0.007 \times c^2}{L_\odot}$ = 10 milliards d'années.
Question 4
Solution :
masse du Soleil transformée en énergie à chaque seconde = $\frac{L_\odot}{c^2} = 4.5 \times 10^9$ kg/s.

masse perdue par le Soleil = $4.5 \times 10^9 \times 4.5 \times 10^9 \times 365.25 \times 24 \times 3600 = 6.4 \times 10^{26} \rm{kg}= 0.03 \% M_\odot$ .