Anneaux des polynômes et fractions

Auteur: Alain Vienne

Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

Lors de la découverte d'un nouvel objet dans le système solaire, on souhaite rapidement connaitre sa trajectoire. Celle-ci est généralement héliocentrique et, dans un premier temps, on la suppose képlérienne. Or les observations terrestres donnent uniquement la direction de l'astre mais pas sa distance. La méthode de Laplace propose un moyen qui, à partir de 3 observations de direction faites à des dates assez rapprochées, donne les vecteurs position et la vitesse de l'astre. Le détail de la méthode peut être vu dans le cours suivant: Dynamique du système solaire. On peut y voir notamment que la méthode conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 8.

P(x)=x^8 + a_6 x^6 + a_3 x^3 + a_0

Il y est affirmé qu'il y a 4 racines réelles (1 négative, 3 positives) et 4 complexes non réelles. Cette affirmation est étudiée et montrée dans l'exercice Les racines du polynôme de la méthode de Laplace. Ici, on montre que x=s où s est la distance Terre-Soleil, et, on utilise cette racine pour factoriser le polynôme.

Voici à titre d'exemple le graphe du polynôme dans le cas de 3 observations de Jupiter à son opposition (courbe "complète" et un agrandissement):

lagrange_typ.pnglagrange_typ_agr.png
Le polynome de la méthode de Laplace dans le cas de 3 observations de Jupiter (courbe "complète" et un agrandissement). L'axe horizontal est gradué en ua. On note que ce polynôme n'est pas très bien conditionné car la vue d'ensemble ne donne pas une idée des racines ni même du nombre de ces racines. La deuxième figure est agrandissement sur la partie utile. On note la racine x=1 ua (s) et les 2 autres racines dont celle à 5 ua.
Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Ex: Une factorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Auteur: Alain Vienne

exerciceFactorisation du polynôme de la méthode de Laplace

Difficulté : ☆   Temps : 30mn

Le polynôme issu de la méthode de Laplace a la forme suivante:

P(x)=x^8 + (2t\beta-t^2-s^2) x^6 + 2\alpha(\beta-t) x^3 - \alpha^2

où s est la distance Terre-Soleil et t=-\frac{\alpha}{s^3}.

\alpha et \beta sont des coefficients réels issus de la géométrie du problème.

Question 1)

Vérifier que x=s est racine de P.

Question 2)

Mettre en facteur (x-s) dans P.

Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

En Mécanique Céleste, on est souvent conduit à utiliser les polynômes de Legendre que l'on note ici P_n .

C'est le cas, par exemple, dans le développement du potentiel terrestre. Si on suppose que la Terre est un sphéroïde, le potentiel peut s'écrire:

U(r,\varphi)=\frac{KM_T}{r} \ [1 - \sum_{m=1}^{\infty} J_{2m} (\frac{a_e}{r})^{2m} P_{2m}(\sin\varphi) \ ]

K est la constante de gravitation de la Terre, M_T la masse totale de la Terre, a_e son rayon équatorial et J_{2m} des coefficients numériques. r et \varphi sont le rayon et la latitude du point pour lequel on évalue le potentiel U .

Un autre exemple d'utilisation est de considérer 2 corps M et M' décrivant autour d'un centre P des orbites proches d'un mouvement elliptique. Pour décrire les perturbations (gravitationnelles) entre M et M', on doit écrire l'inverse de la dsitance entre M et M', 1/\Delta, en fonction de leurs éléments d'orbite. On montre facilement que:

\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r'} (1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2}

Avec r=PM, r'=PM', \rho = r/r' et S l'angle entre M et M' vu de P.

Cette dernière expression est développée en puissance de \rho grâce aux polynômes de Legendre:

(1-2\rho \cos S + \rho^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^n P_n(\cos S)

Ce développement est rapidement convergent si \rho est petit. C'est le cas si, par exemple, M est la Terre, P le Soleil et M' un satellite artificiel.

Plus de détails de ces développement peuvent être vus dans le cours de Mécanique Céleste de Luc Duriez.

Les polynômes de Legendre ont de nombreuses propriétés. Celle que nous allons utiliser dans l'exercice qui suit est la formule de Rodrigues:

P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m

Cette formule va nous permettre de montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a m distinctes.

Ex: Les racines des polynômes de Legendre

Auteur: Alain Vienne

exerciceLes racines des polynômes de Legendre

Difficulté : ☆☆   Temps : 1h (pour une rédaction correcte)

Les polynômes de Legendre, bien connus en Mécanique Céleste, peuvent se déterminer par la formule de Rodrigues:

P_m(x)=\frac{1}{2^m \ m!} \ \frac{d^m}{dx^m} (x^2-1)^m

Question 1)

Montrer que l'équation P_m(x)=0 a toutes ses racines dans [-1,+1] et en a m distinctes.

Réponses aux exercices

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Exercice 'Factorisation du polynôme de la méthode de Laplace'

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Exercice 'Les racines des polynômes de Legendre'