Produits scalaire, vectoriel et mixte

Auteur: Alain Vienne

Dans le problème des 2-corps
Ex : Dans le problème des 2-corps

Dans le problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

Quand on formule le problème des 2-corps, on arrive au problème de Képler, c'est-à-dire à l'équation différentielle vectorielle suivante:

$\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = - \mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

$\mu$ est une constante réelle positive et $\ovserrightarrow{r} = \overrightarrow{OM} \in \mathbb{R}^3$ . est un point fixe et on étudie le mouvement de .

Les deux exercices proposés donnent la loi des aires et l'intégrale de Laplace.

En fait, le premier exercice aura 2 conséquences: la première est que le mouvement est plan et la deuxième que la loi du mouvement est la loi des aires proprement dite:

figures/kep2trans.gif

La loi des aires : les aires décrites par le mobile dans des temps égaux sont égales. Ainsi, lorsque l'astre s'éloigne du Soleil, sa vitesse diminue.

Crédit : Astrophysique sur Mesure

Ex : Dans le problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Introduction

La loi des aires est très facile à obtenir avec le produit vectoriel. Sans le produit vectoriel, on peut aller voir cet exercice.

Question 1)

Montrer que dans le problème képlérien, le moment cinétique:

$\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \wedge \frac{\overrightarrow{r}}{dt}$

est invariant.

Question 2)

Montrer que le mouvement de se fait dans un plan passant par le point et orthogonal à $\overrightarrow{G}$ .

Question 3)

En utilisant un élément d'aire parcouru par $\overrightarrow{r}$ pendant l'élément de temps , montrer la loi des aires proprement dite: L'aire balayée par unité de temps est constante.

Auteur: Alain Vienne

Intégrale de Laplace

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Question 1)

Montrer l'expression suivante:

$\frac{d}{dt} (\frac{\overrightarrow{r}}{dt}\wedge \overrightarrow{G}) = \mu \frac{d}{dt} ( \frac{\overrightarrow{r}}{r})$

Question 2)

Déduire de l'égalité précédente une expression qui est constante pendant le mouvement (intégrale de Laplace).

Réponses aux exercices

pages_produits/exo-prod-2corps.html

Exercice 'La loi des aires'

Question 1
Aide :
Dériver $\overrightarrow{G}$ et utiliser que $\overrightarrow{r}$ et sa dérivée seconde sont colinéaires (ce qui indique que la loi des aires est vrai pour toute force centrale).
Question 2
Aide :
$\overrightarrow{r}$ et $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ sont toujours (quelque soit le temps) orthogonaux à $\overrightarrow{G}$ , avec l'hypothèse toutefois que $G \ne 0$ .
Question 3
Aide :
L'aire est la moitié du parallélogramme suivant:

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

pages_produits/exo-prod-2corps.html

Exercice 'Intégrale de Laplace'

Question 1
Aide :
Partir du premier membre de l'expression et utiliser le problème de képler et l'invariance du moment cinétique.

Aide :
Remarquer que $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(r\frac{\overrightarrow{r}}{r}) = \frac{dr}{dt}\frac{\overrightarrow{r}}{r} + r \frac{d}{dt} (\frac{\overrightarrow{r}}{r})$

Aide :
Utiliser que $(\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b})\wedge \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} )\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ) \overrightarrow{a}$

Aide :
La norme de $\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ est constante donc $\frac{\overrightarrow{r}}{r}\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\overrightarrow{r}}{r})=0$
Question 2
Solution :
$\frac{\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\wedge \overrightarrow{G}}{\mu} - \frac{\overrightarrow{r}}{r} = \overrightarrow{e}$