Intégrale de Riemann

Introduction
Longueur d'une courbe, aire d'une surface
- Redshift
- Ex: Redshift
- Calotte sphérique
- Ex : Calotte sphérique
- Potentiel gravitationnel de la Terre
- Ex: Potentiel gravitationnel de la Terre
Théorèmes
- Supernova 1A
- Ex: Supernova 1A
- Bruit de numérisation
- Ex: bruit de numérisation
Intégrales Généralisées
- Loi de Stefan
- Ex : loi de Stefan
- Distribution des vitesses de Maxwell
- Ex: Distribution des vitesses de Maxwell
- Temps de vie d'une étoile
- Ex: Temps de vie d'une étoile

Introduction

On trouvera dans cette partie les exercices suivants :

Détermination de la relation entre redshift et facteur d'échelle (changement de variable d'intégration)
Calcul de la surface d'une calotte sphérique (aire d'une surface)
Calcul du potentiel terrestre en modélisant l'aplatissement équatorial par un anneau (intégrales définies)
Détermination du redshift d'une supernova (changement de variable d'intégration)
Calcul du bruit de numérisation dans une caméra CCD (intégrales définies)
Démonstration de la loi de Stefan pour les corps noirs (intégrales généralisées)
Calcul de la distribution des vitesses moléculaires dans un gaz (intégrales généralisées)
Calcul du temps de vie d'une étoile (intégrales généralisées)

Longueur d'une courbe, aire d'une surface

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard, Alain Vienne

Redshift

Auteur : Jérôme Thiébaut

En coordonnées cartésiennes, un élément de longueur se calcule selon le théorème de Pythagore: ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 .

Ceci donne en coordonnées sphériques: ds^2=dr^2+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2 .

On voit que l'expression de ds^2 dépend de la métrique utilisée, c'est à dire de la manière de décrire l'espace. En cosmologie, dans le cadre de la relativité générale, on calcule de même les éléments de longueur en fonction de la métrique de l'espace temps soit:

ds^2=-c^2*dt^2+a(t)^2*(dr^2/(1-Kr^2)+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2) ,

ou a(t) est le facteur d'échelle qui décrit l'expansion de l'univers, le temps, , theta et phi les coordonnées comobiles (c'est à dire fixes par rapport à l'expansion de l'univers) , la vitesse de la lumière et la courbure de l'univers.

Pour un photon, la trajectoire est telle que ds^2=0 .

On se propose dans cet exercice d'étudier la trajectoire d'un photon radial afin de relier le redshift (ou décallage spectral), , au facteur d'échelle, .

Ex: Redshift

Auteur: Jérôme Thiébaut

Redshift

Difficulté : ☆☆ Temps : 20mn

On considère un photon radial émis à une distance r_1 au temps t_1 par une galaxie lointaine. Ce photon nous est reçu au temps t_0 en r=0 .

Sa trajectoire est décrite par la métrique: ds^2=-c^2*dt^2+a(t)^2*(dr^2/(1-Kr^2)+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2)=0 .

Question 1)

Simplifier la métrique compte tenu de la nature du photon et exprimer l'égalité sous forme intégrale.

Question 2)

Un deuxième photon est émis à t_1 + delta*t_1 et est reçu en t_0 + delta*t_0 . Quelle est la nouvelle égalité sous forme intégrale ?

Question 3)

Sachant que a(t) est considéré comme constant pendant un temps delta*t faible et que la distance comobile ( r_1 ) est constante par définition, montrer que a(t_1)/a(t_0)=delta*t_1/(delta*t_°) .

Question 4)

Le redshift est défini comme suit: z=(lambda_0 -lambda_1)/lambda_1 , où est la longueur d'onde du photon reçu et celle du photon émis.

Sachant qu'à un delta*t correspond une longueur d'onde lambda , et que par convention, a(t_0)=1 , relier la quantité 1+z au facteur d'échelle.

Calotte sphérique

Auteur : Marc Fouchard

Etant donné qu'un observateur sur Terre se trouve à une distance finie de la Lune, lorsqu'il regarde la Lune il ne perçoit qu'une calotte et non un hemisphère. L'objectif de cet exercice est de trouver la surface de la partie de la Lune observable depuis la Terre et de comparer cette surface à celle de l'hémisphère.

On note l'observateur, le centre de la Lune et $\mathcal{C}_{\rm L}$ l'intersection de la sphère correspondant à la Lune avec un plan contenant la droite (OL) . Ainsi $\mathcal{C}_{\rm L}$ est un cercle de centre et de rayon , où est le rayon de la Lune. On note la distance . Les tangentes à $\mathcal{C}_{\rm L}$ passant par coupent $\mathcal{C}_{\rm L}$ en et . Soit le point de ${\mathcal{C}_{\rm L}$ tel que (LN) est perpendiculaire à (OL) avec du même coté que de la droite (OL) . On note le projeté orthogonal de sur (OL) , $\alpha$ l'angle $\widehat{ZOL}$ et la distance .

La calotte visible depuis correspond donc à la partie de la surface de la Lune tournée vers et de frontière le cercle de centre et de rayon .

Ex : Calotte sphérique

Auteur: Marc Fouchard

Calotte sphérique

Difficulté : ☆ Temps : 30 mn

Question 1)

Faire la figure qui correspond à l'énoncé.

Question 2)

Soit $\delta=\frac{R}{d}$ , calculer en fonction de et $\delta$ .

Question 3)

Calculer la surface $\mathcal{A}_{\rm C}$ de la calotte visible depuis en fonction de la surface d'un hémisphère de la Lune $\mathcal{A}_{\rm L}$ et de $\delta$ .

Question 4)

Montrer que dans le cas d'un astronaute autour de la Terre la portion de surface $\mathcal{A}_{\rm C}$ de la Terre visible par l'astronaute s'écrit sous la forme de la surface d'un cercle dont on déterminera le rayon en fonction du rayon de la Terre $R_\oplus$ et de l'altitude de l'astronaute. On supposera donc que $h \ll R_\oplus$ .

Potentiel gravitationnel de la Terre

Auteur : Alain Vienne

Le potentiel gravitaionnel de la Terre est souvent modélisé par:

$U(r,- ,\varphi ) = {\frac{KM}{r}}\,\ \left( 1 - J_2 \left({\frac{a_e}{r}}\right)^2 P_2(\sin \varphi) \right)$

avec $P_2(s) = \frac{3}{2} s^2 -\frac{1}{2}$

C'est le potentiel évalué en un point de coordonnées sphériques $(r,\lambda,\varphi)$ (dont le plan horizontal est la plan de l'équateur).

est la masse totale de la Terre et a_e son rayon équatorial ( la constante de gravitation universelle). J_2 est un coefficient qui caractérise l'aplatissement de la Terre suivant l'axe des pôles. Sa valeur (sans unité) est de 0,00108 .

Dans l'exercice qui suit, nous allons évaluer le potentiel d'un anneau massif et homogène. Nous verrons que l'expression obtenue aura exactement la même forme que celle ci-dessus.

Un exemple d'application concerne la prise en compte de la gravitation des anneaux de Saturne: il suffit de réévaluer le cooefficient d'aplatissement J_2 de Saturne.

Voici un autre exercice sur le potentiel gravitationnel terrestre.

Ex: Potentiel gravitationnel de la Terre

Auteur: Alain Vienne

Potentiel gravitationnel de la Terre

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit un anneau de centre et de rayon . On repère un point de coordonnées sphériques $(r,\lambda,\varphi)$ (dont le plan horizontal est le plan de l'anneau).

Soit un point de l'anneau. Il fait un angle $\alpha$ avec le premier axe (même origine que l'angle $\lambda$ ).

Calculer la distance $\Delta$ de à .

Question 2)

Calculer $\frac{1}{\Delta}$ en se limitant aux termes de degré 2 au plus en $(\frac{a}{r})$ .

Question 3)

Pour avoir le potentiel total de l'anneau, il faut sommer cette expression pour variant le long de l'anneau. C'est-à-dire, il faut intégrer cette expression par rapport à $\alpha$ qui varie de à $2 \pi$ .

A partir de l'expression précédente, calculer $U = \int_{An} \frac{K \ dm}{\Delta}$ .

Question 4)

En comparant cette expression avec celle utilisant le coefficient J_2 , donner le rayon de l'anneau correspondant au potentiel terrestre. On donne a_e = 6400 km.

Théorèmes

Auteur: Jérôme Thiébaut, Stéphane Erard

Supernova 1A

Auteur: Jérôme Thiébaut

Les supernovae de type 1A correspondent à l'explosion d'une étoile de type naine blanche suite à l'accrétion de matière arrachée à une étoile géante proche. Ces phénomènes extrêmement lumineux sont visibles de très loin ce qui permet leurs détections. La courbe de luminosité d'une SN1A est caractéristique et permet de déterminer sa magnitude absolue. Le but de cet exercice est de montrer comment grâce à des mesures de luminosité, on peut déterminer le redshift de l'étoile, et donc de la galaxie hôte. Le redshift étant une mesure de la distance, les SN1A servent de balises pour mesurer les distances dans l'univers.

Courbe de lumière d'une supernova.

Courbe de lumière et spectre au maximum d'intensité d'une supernova.

Crédit : Supernova Cosmology Project, Berkeley University

Ex: Supernova 1A

Auteur: Jérôme Thiébaut

Supernova 1A

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On observe une supernova de type 1A dans une galaxie et on mesure sa magnitude apparente m=24.75 . Grâce à sa courbe de lumière, on détermine sa magnitude absolue M=-19.20 .

Question 1)

On exprime la distance luminosité, D_L , comme suit: m=M+5*log(D_L)+25 , où D_L est exprimée en mégaparsec (Mpc) (Le parsec étant une unité de distance correspondant à 3.10^16 m).

Calculer sa valeur.

Question 2)

La distance de la galaxie est par définition: $r=intégrale(frac(c;a(t));t;t_e;t_r)$ , où c est la vitesse de la lumière, t le temps, t_e le temps d'émission de la lumière par la galaxie, t_r celui de réception par l'observateur et a(t) le facteur d'échelle décrivant l'expansion de l'univers.

Sachant que le facteur d'échelle est relié au redshift, z, par la relation suivante, $a=frac(1;1+z)$ et que par définition la constante de Hubble vaut $H=frac(dtemps(a;1);a)$ ; exprimer la distance r sous forme d'une intégrale selon z (on posera qu'à t_e , z=z_G et par définition à t_r , z=0).

Question 3)

Calculer r, puis sachant que la distance luminosité et la distance r sont reliées par la relation D_L=(1+z_G)*r (dans le modèle cosmologique standart Lambda CDM), déterminer l'équation du second degré à laquelle obéit z_G .

Question 4)

Résoudre cette équation et déterminer la valeur du redshift z_G (positive par définition). On donne c=3.10^5*km*s^(-1) et H=70 km*s^(-1)*Mpc^(-1) .

Bruit de numérisation

Auteur: Stéphane Erard

Les instruments modernes utilisent des détecteurs numériques tels que des CCD, c'est-à-dire qu'ils fournissent en sortie un signal numérisé sur un nombre fini de valeurs. Cette étape produit une erreur d'arrondi appelée "bruit de quantification" ou "bruit de numérisation" qui peut dans certains cas limiter la précision de la mesure. On étudie ici la statistique de ce bruit.

Ex: bruit de numérisation

Auteur: Stéphane Erard

Bruit de numérisation

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

L'exercice consiste à estimer l'erreur due à la numérisation (ou quantification) d'un signal continu.

Question 1)

On mesure un signal lumineux avec une caméra CCD. Tracer l'allure de la fonction de réponse du convertisseur analogique/numérique (CAN). Si le convertisseur fonctionne sur 12 bits, combien de valeurs sont disponibles en sortie ?

Le convertisseur est réglé pour couvrir la dynamique de la caméra jusqu'à un niveau analogique $S_{max}$ . Quel est le pas de numérisation du signal ?

Question 2)

Estimer l'erreur quadratique moyenne due à la numérisation.

Question 3)

Calculer le rapport signal sur bruit correspondant. Comment peut-on améliorer celui-ci, et jusqu'à quel point ?

Question 4)

Comparer aux autres sources de bruit.

Intégrales Généralisées

Auteurs: Marc Fouchard, Stéphane Erard, S. Renner

Loi de Stefan

Auteur : Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

$E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différente température de surface du corps noir. Sachant que l'énergie totale $E_{\rm tot}$ émise par le corps noir par seconde et par unité de surface correspond à l'aire comprise en l'axe des abcisses et la courbe, on remarque que $E_{\rm tot}$ augmente avec la température de surface du corps noir (il ne faut pas cocher la case "normaliser").

Le but de cet exercice est d'établir la relation exacte entre $E_{\rm tot}$ et la température de surface du corps noir.

Loi de Planck

Remarque

On pourra aussi voir cet exercice en lien avec la loi de Planck pour les corps noirs.

Ex : loi de Stefan

Auteur: Marc Fouchard

loi de Stefan

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que est de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

L'énergie totale $E_{\rm tot}$ est donnée par :

$E_{\rm tot}=\int_0^{+\infty} \frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}{\rm d} \lambda$ .

Montrer, en effectuant un changement de variable approprié, que $E_{\rm tot}$ peut s'écrire sous la forme:

$E_{\rm tot}=A \int_0^{+ \infty} \frac{u^3}{{\rm e}^u-1}{\rm d} u \,T^4$

où est une constante que l'on déterminera.

Question 3)

Montrer que l'intégrale

$I=\int_0^{+\infty}\frac{u^3}{{\rm e}^u-1}{\rm d} u$

est convergente.

Remarque

Cette intégrale est une fonction zeta de Reimann. On peut montrer que $I=\pi^4/15$ .

Question 4)

En déduire la loi de Stefan:

$E_{\rm tot}=\sigma \, T^4$

où $\sigma$ est une constante que l'on déterminera.

Distribution des vitesses de Maxwell

Auteur: Stéphane Erard

On considère un gaz en équilibre, pour lequel on veut connaître les vitesses des molécules. La théorie cinétique des gaz ne donne qu'une valeur moyenne (la vitesse quadratique moyenne) :

$v_q= \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$

où m est la masse des molécules, T est la température, k la constante de Boltzman.

On cherche ici la distribution de vitesse, c'est-à-dire la probabilité d'avoir une vitessse comprise entre v et v+dv. Le calcul qui suit est classique (non quantique) et reproduit l'étude de Maxwell au XIXe siècle.

Ex: Distribution des vitesses de Maxwell

Auteur: Stéphane Erard

Intégrales gaussiennes

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

Le calcul des propriétés de la loi normale suppose l'intégration de la fonction gaussienne, et des intégrales similaires apparaissent dans le calcul suivant.

Le moment d'ordre n de la loi normale réduite (de moyenne nulle) est :

$M_n = C \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-ax^2} dx$

où a > 0 et n ≥ 0, C étant une constante de normalisation. On s'intéresse ici à :

$I_n = \int_{0}^{\infty}x^n e^{-ax^2} dx$

Question 1)

Trouver une relation de récurrence entre les intégrales I_n .

Question 2)

Calculer I_1 . Que représente cette quantité ?

Question 3)

Calculer l'intégrale de Gauss $I = 2 \times I_0 = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2} \ dx$

Question 4)

En déduire les moments de la loi normale centrée.

Auteur: Stéphane Erard

Distribution des vitesses

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

La probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse comprise entre $\vec{v}$ et $d\vec{v}$ est notée $G(\vec{v})$ . Cette probabilité ne dépend pas de la position ni du temps, car le gaz est en équilibre. Si on fait l'hypothèse que la vitesse est isotrope (qui est vérifiée au sommet d'une atmosphère planétaire , ou dans un nuage de gaz interstellaire), G ne dépend que du module de la vitesse.

Question 1)

Ecrire les conditions d'indépendance entre les composantes du vecteur vitesse, et d'isotropie.

Question 2)

En déduire la forme de G.

Question 3)

Identifier deux conditions qui permettent de calculer les coefficients ci-dessus.

Question 4)

Calculer les intégrales I_2 et I_4 de l'exercice précédent.

Question 5)

En dériver l'expression de G(v^2) à l'aide des intégrales gaussiennes.

Question 6)

En dériver l'expression de F(v) , densité de probabilité pour le module de la vitesse.

Question 7)

Tracer cette fonction, expliquer sa forme.

Question 8)

Comment peut-on utiliser cette fonction pour expliquer l'évolution des atmosphères planétaires ?

Temps de vie d'une étoile

Auteur : S. Renner

On estime ici la durée de vie d'une étoile de type solaire, en supposant tout d'abord que la seule source d'énergie est la gravitation, puis en considérant le cas réel des réactions de fusion thermonucléaire de l'hydrogène en hélium. La première hypothèse (dissipation de l'énergie gravitationnelle) est une idée qui apparaît avec les travaux de Kelvin au XIXe siècle.

Ex: Temps de vie d'une étoile

Auteur: S. Renner

Temps de vie d'une étoile

Difficulté : ☆ Temps : 1h

On assimile l'étoile à une sphère homogène de masse et de rayon .

Question 1)

Montrer que son énergie de liaison gravitationnelle est $E_G = - \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$ .

Question 2)

En déduire le temps de vie $\tau$ du Soleil sur ses seules ressources gravitationnelles. On rappelle que la luminosité (puissance totale rayonnée) du Soleil est $L_\odot = 4 \times 10^{26} W$ , sa masse $M_\odot = 2 \times 10^{30}$ kg et son rayon $R_\odot = 7 \times 10^8$ m.

Question 3)

Même question en considérant le cas réel des réactions de fusion nucléaire de l'hydrogène en hélium au coeur du Soleil. On suppose que 10% de la masse $M_\odot$ est convertie en hélium et que la luminosité $L_\odot$ reste constante. Le rendement de la réaction hydrogène -> hélium est de 0.7%, et on rappelle la relation d'équivalence masse-énergie E = m c^2 .

Question 4)

Le Soleil brille depuis 4.5 milliards d'années. Combien a t-il perdu en masse ?

Réponses aux exercices

pages_mesure/za2.html

Exercice 'Redshift'

Question 1
Aide :
Le photon étant radial, et sont donc constants au cours de la trajectoire et peuvent être choisis comme nuls.

Solution :
Le photon étant radial, et sont choisis comme nuls. On peut donc simplifier la métrique: soit .

Et sous forme intégrale:
Question 2
Solution :
Question 3
Aide :
Décomposer l'intégrale par la relation de Chasles.

Solution :
Question 4
Solution :

pages_mesure/exo-calotte.html

Exercice 'Calotte sphérique'

Question 1
Solution :

solution

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard
Question 2
Solution :
On $OZ=\sqrt{d^2-R^2}$ . On en déduit que: $\cos \alpha=\frac{\sqrt{d^2-R^2}}{d}=\sqrt{1-\delta^2}$ .

Or dans le triangle rectangle en on a: $\cos \alpha = \frac{r}{R}$ . On en déduit que: $r=R\sqrt{1-\delta^2}$ .
Question 3
Solution :
On doit calculer l'intégrale: $\mathcal{A}_{\rm C}=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2-\alpha} R^2 \sin \theta {\rm d} \theta {\rm d} \phi$ , où $\phi$ est l'angle $\widehat{Z''H'M}$ et $\theta$ l'angle $\widehat{OLM}$ avec un point de la calotte, son projeté orthogonal sur la droite et le point de la droite dont la projection orthogonale sur est .

On trouve: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 \left\lbrack 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right\rbrack = 2\pi R^2 ( 1-\sin \alpha)$ . C'est-à-dire: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 ( 1-\delta)=\mathcal{A}_{\rm L} (1-\delta)$ .
Question 4
Solution :
On a $d=R_\oplus+h$ , ainsi $\delta=\frac{R_\oplus}{R_\oplus+h}=\frac{1}{1+h/R_\oplus}=1-\frac{h}{R_\oplus}+\mathcal{O}\left(\frac{h}{R_\oplus}\right)^2.$ Ainsi $\amthcal{A}_{\rm C}=2\pi R_\oplus^2 \left\lbrack\frac{h}{R_\oplus}+\mathcal{O}\left(\frac{h}{R_\oplus}\right)^2\right\rbrack$ .

pages_mesure/exo-potentiel-terre.html

Exercice 'Potentiel gravitationnel de la Terre'

Question 1
Solution :
$\Delta^2 = AP^2 = (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}) = a^2 + r^2 - 2 \overrightarrow{OA} . \overrightarrow{OP}$

$= a^2 - 2 a r \left|\begin{array}{c} \cos \alpha\\ \sin \alpha\\ 0\\ \end{array} . \left|\begin{array}{c} \cos \varphi \cos \lambda\\ \cos \varphi \sin \lambda\\ \sin \varphi\\ \end{array} + r^2$

$= a^2 - 2 a r \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) + r^2$
Question 2
Solution :
$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r} (1 + 2 \frac{a}{r} \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) + (\frac{a}{r})^2)^{-1/2}$

Or $(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3}{8} x^2 + ...$

On en déduit que:

$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r} (1 - \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) (\frac{a}{r}) + (\frac{3}{2} \cos^2 \varphi \cos^2(\alpha -\lambda) - \frac{1}{2})(\frac{a}{r})^2)$
Question 3
Aide :
Si on note $\rho$ la masse linéique, on peut écrire $dm = \rho a d\alpha$ . L'anneau est homogène donc $\rho$ est constant.

Solution :
Il n'y a que des fonctions trigonométriques à intégrer. Or $\cos (\alpha -\lambda)$ , intégré entre et $2 \pi$ , est nul.

Pour le terme avec $\cos^2 (\alpha -\lambda)$ , la valeur de l'intégrale est (il suffit de linéariser).

Au final, en notant $m=2 \pi \rho a$ (masse totale de l'anneau) et en notant $s = \sin \varphi$ , on obtient:

$U = {\frac{Km}{r}}\,\ \left( 1 - \frac{1}{2} \left({\frac{a}{r}}\right)^2 ( \frac{3}{2} s^2 -\frac{1}{2}) \right)$
Question 4
Solution :
On fait , puis en identifiant les 2 expressions, on obtient $a = \sqrt{2 J_2} a_e$ . Ce qui donne 297 km.

pages_theoremes/ex-sn1a.html

Exercice 'Supernova 1A'

Question 1
Solution :
Question 2
Aide :
En partant de $frac(da;dt)=frac(da;dz)*frac(dz;dt)$ exprimer $frac(dz;dt)$ en fonction de z et H.

Solution :
$frac(da;dt)=frac(da;dz)*frac(dz;dt)=-frac(1;(1+z)^2)*frac(dz;dt)=-frac(a;1+z)*frac(dz;dt)$

d'où $frac(dz;dt)=-(1+z)*frac(dtemps(a;1);a)=-(1+z)*H$

finalement $r=intégrale(-frac(c*(1+z);(1+z)*H);z;z_G;0)=intégrale(frac(c;H);z;0;z_G)$
Question 3
Solution :
$r=frac(c*z;H)$ donc $D_L=(1+z)*frac(c*z;H)$ .

L'équation cherchée est finalement $z^2+z-frac(D_L*H;c)=0$ .
Question 4
Solution :
z=0.8 ce qui correspond à une distance radiale d'environ 2.15 Gpc.

pages_theoremes/exbnum.html

Exercice 'Bruit de numérisation'

Question 1
Solution :
Le signal d'entrée, continu, est mesuré par le CCD puis numérisé par le CAN. La sortie est donc discrète, codée sur $2^{12} = 4096$ niveaux. Ces niveaux sont appelés ADU (Analog-to-Digital Units), DN (Digital Numbers) ou pas-codeurs en français.

La courbe de réponse donne la sortie du système de mesure en fonction de son entrée :

Numérisation

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Sur n bits, le pas de numérisation du signal de sortie est q = $S_{max} / (2^{n} -1)$
Question 2
Aide :
L'erreur est la différence entre le signal d'entrée et le signal de sortie, similaire à une erreur d'arrondi : $\epsilon = qS_{CAN} - S_{camera}$

On commence par corriger de l'erreur systématique (biais, ou offset) en centrant la différence — ce biais est de 1/2 pas-codeur :

Offset

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Solution :
L'erreur quadratique moyenne se calcule de façon classique : $\sigma^2 = \int{\epsilon^2\;p(\epsilon)\;d\epsilon}$

Après correction du biais, la densité de probabilité de l'erreur est uniforme dans l'intervalle [-q/2, q/2] :

$p(\epsilon) = 1/q$ dans l'intervalle [-q/2, q/2]

$p(\epsilon) = 0$ ailleurs

Erreur de numérisation

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

$\sigma^2 = \frac{1}{q}\;\int_{-q/2}^{q/2}{\epsilon^2\;d\epsilon}$

$\sigma^2 = \frac{1}{q}\; \left|\frac{\;\epsilon^3\;}{3} \right|_{-q/2}^{q/2} \: = \:\frac{q^2}{12}$

Soit un écart-type $\sigma = \frac{q}{\sqrt 12}$ ou encore $\frac{1}{\sqrt 12} \sim 0,29$ bits.

(on remarque que le coefficient 1/12 provient de l'intégration, et n'a rien à voir avec le nombre de bits utilisés)
Question 3
Solution :
Le signal maximum est $S_{max}= qn$ . En rapportant au signal moyen, on trouve : $\frac{S}{B} = \frac{S_{max}}{2\sigma} = \frac{qn \sqrt 12}{2q} = \frac{n}{2}\sqrt12= n\sqrt3$

La seule façon de réduire le bruit de numérisation est de coder le signal sur un plus grand nombre de bits n. La différence de "grain" est très perceptible à l'œil nu avec une échelle de gris codée sur un nombre variable de bits. A partir de 256 niveaux, la variation apparaît quasiment continue, ce qui veut dire que le pas de quantification devient petit devant l'incertitude de lecture de l'œil. De la même façon, les CD audio sont codés sur 16 bits pour éliminer le bruit de numérisation ; celui-ci est encore très audible avec un codage sur 8 bits.

Résolution numérique

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard
Question 4
Solution :
On ajuste habituellement le pas de numérisation pour coder le bruit physique sur 1 pas-codeur : un pas plus petit n'apporterait pas d'information supplémentaire sur le signal. En général, c'est le bruit de lecture qui domine le bruit intrinsèque de la source (bruit de photon). Le bruit de numérisation est alors bien plus petit. Si la chaîne de détection est bien réglée, celui-ci ne limite donc jamais la mesure.

pages_int-gen/exo-loi-de-stefan-int-gen.html

Exercice 'loi de Stefan'

Question 1
Solution :
s'écrit comme un produit de fonctions ou de composition de fonctions qui sont de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ , donc est aussi de classe classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ . Le signe s'optient de la même manière, en considérant le signe de chaque fonction intervenant dans le calcul de sur cet intervalle.
Question 2
Aide :
On pourra faire le changement de variable $u=\frac{hc}{kT\lambda}$ .

Solution :
On pose $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ .Ainsi ${\rm d} \lambda = -\frac{h\,c}{k\,T}\frac{{\rm d}u}{u^2}$ , et en substituant dans l'expression de $E_{\rm tot}$ on obtient:

$E_{\rm tot}=-\int_{+ \infty}^0 2\,hc^2\left(\frac{k\,u\,T}{h\,c}\right)^5\frac{1}{{\rm e}^u-1}\frac{hc}{kT}\frac{{\rm d}u}{u^2}$ ,

qui est bien de la forme demandée avec:

$A=\frac{2k^4}{h^3c^2}$ .
Question 3
Solution :
- En $+\infty$ l'intégrande est équivalente à $u^3/{\rm e}^u$ , dont l'intégrale converge en $+\infty$ puisque l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme;
- En 0, l'intégrande est équivalente à , dont l'intégrale converge 0
Question 4

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Exercice 'Intégrales gaussiennes'

Question 1
Aide :
On intègre par partie en posant

$dU = -2ax e^{-ax^2}$

$V = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Solution :
On trouve

$I_n = \left|\frac{x^{n+1}}{n+1} e^{-ax^2}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2a}{n+1}\int_{0}^{\infty}x^{n+2} e^{-ax^2} \ dx$

Soit

$I_n = \frac{2a}{n+1} I_{n+2}$
Question 2
Solution :
En posant on trouve :

$I_1 = \int_{0}^{\infty}x e^{-ax^2} \ dx = \frac{1}{2a}$

Cette quantité n'est pas proportionnelle à la moyenne de la loi normale centrée, qui est l'intégrale étendue à toute la droite réelle. Celle-ci est nulle, comme tous les moments d'ordre impair, ce qui dérive de la parité de la fonction.
Question 3
Solution :
La méthode la plus simple est de calculer le carré de l'intégrale et de passer en coordonnées polaires. On trouve au final :

$I = 2 \times I_0 = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

D'où le coefficient habituel de la loi normale qui normalise l'intégrale à 1.
Question 4
Solution :
La fonction étant paire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. Les moments pairs suivent la relation de récurrence donnée plus haut à partir de $M_0 = \frac{2\ I_0}{\sigma \sqrt{2 \pi}} = 1$ (normalisation de la densité de probabilité).

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Exercice 'Distribution des vitesses'

Question 1
Solution :
En posant $|\vec{v}^2| = v^2 = v_x^2+v_y^2 +v_z^2$

l'indépendance entre composantes de vitesse s'écrit :

L'isotropie se traduit par :

Soit :

On peut donc écrire :

$G(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = \left[G(3v_x^2) G(3v_y^2) G(3v_z^2)\right]^{1/3}$
Question 2
Solution :
On prend le logarithme et on pose $\varphi = Log G$ :

$3 \varphi(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = \varphi(3v_x^2) + \varphi(3v_y^2) + \varphi(3v_z^2)$

C'est la définition d'une fonction linéaire. On a donc :

$\varphi(v) = Av + B$

Soit

$G(v^2) = C e^{Av^2}$
Question 3
Solution :
G est une densité de probabilité, elle est donc normalisée :

$\int_{0}^{\infty} G(v^2)\ d^3v = 1$

Par ailleurs on connaît la vitesse quadratique moyenne :

$v_q^2= \overline{v^2} = \frac{\int_{0}^{\infty} v^2 G(v^2)\ d^3v}{\int_{0}^{\infty} G(v^2)\ d^3v} = \frac{3kT}{m}$
Question 4
Solution :
$I_2 = \int_{0}^{\infty}x^2 e^{-ax^2} \ dx = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}$

$I_4 = \int_{0}^{\infty}x^4 e^{-ax^2} \ dx = \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{a^5}}$
Question 5
Solution :
La condition de normalisation est :

$\int_{0}^{\infty}G(v^2)\ d^3v \equiv 1$

où $d^3v = 4 \pi v^2 dv$ en coordonnées sphériques. Ceci donne :

$4 \pi C \int_{0}^{\infty} v^2 e^{Av^2} dv = 4 \pi C \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{(-A)^3}} \equiv 1$

La vitesse quadratique moyenne donne :

$v_q^2= 4 \pi C \int_{0}^{\infty} v^4 e^{Av^2} dv = 4 \pi C \frac{3}{8} \sqrt{\frac{\pi}{(-A)^5}} \equiv \frac {3kT}{m}$

Le rapport des deux conditions conduit à :

$-A = \frac{m}{2kT}$ d'où $C = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}$

On en conclut :

$G(v^2) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$
Question 6
Solution :
$G(v^2)d^3v = G(v^2) 4\pi v^2 dv \equiv F(v)dv$

$F(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$

qu'on appelle distribution de Maxwell-Boltzman.
Question 7
Solution :

Distributions de Maxwell pour différents gaz rares à température ambiante.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Le maximum de la fonction n'est pas dû à la gaussienne elle-même (il est loin de la moyenne de celle-ci qui est centrée), mais au produit de la queue de la gaussienne par un polynôme de degré 2.
Question 8
Solution :
En utilisant la température qui règne au sommet de l'atmosphère, la fonction permet de calculer la distribution de vitesse des différentes espèces moléculaires ou atomiques. On peut comparer celle-ci à la vitesse d'échappement de la planète, qui dépend de sa gravité et de son rayon ( $v_{lib} = \sqrt{2gR}$ ).

Si une fraction significative des molécules a une vitesse supérieure à la vitesse de libération, cette espèce s'échappera rapidement de la haute atmosphère — c'est la raison première pour laquelle la Lune n'a pas d'atmosphère, alors que la Terre conserve la sienne à la même distance du Soleil.

En dehors de ce mécanisme d'échappement thermique, il existe d'autres mécanismes d'échappement atmosphérique.

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Exercice 'Temps de vie d'une étoile'

Question 1
Aide :
On considérera le travail élémentaire d'une couronne sphérique d'épaisseur .

L'énergie de liaison gravitationnelle sera alors donnée par $E_G = \displaystyle \int \int d^2 W$ , en prenant les bornes d'intégration adéquates.

Solution :
Travail élémentaire : $d^2 W = - \frac{G m(r) dm(r')}{u^2}du$

$dW = \int_r^{\infty} d^2W$

$E_G = \int_0^R dW$
Question 2
Solution :
$\tau = \frac{3}{5} \frac{GM_\odot^2}{R_\odot} / L_\odot \simeq 10^7$ ans.
Question 3
Solution :
durée de vie = $\displaystyle \frac{(M_\odot/10) \times 0.007 \times c^2}{L_\odot}$ = 10 milliards d'années.
Question 4
Solution :
masse du Soleil transformée en énergie à chaque seconde = $\frac{L_\odot}{c^2} = 4.5 \times 10^9$ kg/s.

masse perdue par le Soleil = $4.5 \times 10^9 \times 4.5 \times 10^9 \times 365.25 \times 24 \times 3600 = 6.4 \times 10^{26} \rm{kg}= 0.03 \% M_\odot$ .