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Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
excentricitétrajectoire mouvementénergie mécanique
e=0 cercle lié minimale et <0
0<e<1 ellipse lié E <0
e=1 parabole libre E =0
e>1 hyperbole libre E >0

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

r = {p\over 1+e \cos \theta}

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

  • L'excentricité définit la nature de la conique.
  • Le paramètre p est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité p = a(1-e^{2}).
defellipse.png
Péri et apoastre : vocabulaire
astrepériastre apoastre
Soleilpérihélieaphélie
Terre périgée apogée

Eléments de la trajectoire

  • Le rayon vecteur \mathbf{r} est défini par rapport au foyer F de l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre O.
  • Le point le plus proche du foyer est le périastre ; le point le plus éloigné l'apoastre.
  • Le demi-grand axe vérifie 2a = r_p+r_a, avec r_p et r_a les rayons des péri- et apoastres
  • r_p = a (1-e) = p/ (1+e)
  • r_a = a (1+e) = p/ (1-e)
  • Le paramètre p de l'ellipse vérifie p = a\ (1-e^{2})
  • La distance du centre O au foyer F vaut OF = e\ a

Exemples

  • Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
  • Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
  • Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.
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