Análisis por transformada de Fourier : formalisme

La transformación de Fourier asocia a una función su transformada:

Las variables y son conjugadas. A la variable temporal se le asocia la variable frecuencial , y a la variable espacial se le asocia la frecuencia espacial .

La transformación de Fourier (TF) tiene muchas propiedades (linearidad...). Para más información, consultar un libro de matemáticas.
La operación inversa de la TF se denota: et .

Únicamente traduce la conservación de la energía. En este caso se expresa por:

Dicho de otra manera, la energía de una señal no depende de su descripción, directa o frecuencial.

Análisis de Fourier

magnitud	notación	unidad	ejemplo
variable		X	tiempo (s)
variable conjugada		1/X	frecuencia (Hz)
señal		Y	velocidad (m/s)
espectro		XY	m
espectro de amplitud		XY	(m)
espectro de potencia			( )

Se tiene que cambiar un poco la definición de la transformación (continua) para aplicarla a las señales reales, que son discretas. El análisis de Fourier discreto utiliza una cantidad finita de capturas de la señal y proporciona una cantidad finita de frecuencias para describirla. La discretización se realiza sin problemas, porque la TF de una función peine (sucesión de distribuciones de Dirac a intervalos regulares) es otra función peine. Y la función peine describe la operación de digitalización.

El análisis de Fourier rápido (fast Fourier transform, o FFT) es una forma especifica de la programación de la transformación de Fourier. Un programa específico fft se puede encontrar en cualquier biblioteca de programación.
El uso de una FFT implica:

• una serie que comporta una cantidad de puntos , donde es una potencia de 2 ( puntos). En caso contrario, no hay ganancia de tiempo. La FFT puede hacerse muy lenta si la cantidad de punto es un numero primo o se factoriza con grandes factores primos.
• esta serie tiene que ser regularizada: la base de tiempo es supuestamente una serie arrítmica con un paso temporal fijo.
• la serie de valores conduce a un espectro de frecuencias.