Requisitos previos
Difracción de Fraunhofer.
Objetivos
(Una segunda lectura) Introducir las funciones de Bessel para una apertura circular. Éstas justifican el
factor
que dimensiona la difracción.
Difracción por cualquier pupila
Consideramos una pupila modelizado por una apertura plana centrada en
. Sea
un punto de la pupila. Esta pupila está iluminada por una onda uniforme, monocromática, en
incidencia normal. La amplitud de la onda difractada en la dirección del vector director
se escribe
Pupila circular
La pupila es circular, de radio
. De este modo es más simple escribir las coordenadas del punto
y de la dirección de difracción
en coordenadas polares, con la notación siguiente:
(
es el vector normal al plano de la pupila). La amplitud de la onda difractada en la
dirección
forma un ángulo
con el eje óptico. Se escribe entonces (suponiendo la amplitud incidente uniforme):
Se introducen ahora las funciones de Bessel. Los dos primeros términos son
por definición :
![1 integral J (X ) = ---- 2p exp[ - iX cos v] dv 0 2p 0 integral -1- X J1(X ) = 0 uJ0(u) du X](../../../../images/optica/images-TeX4ht/optica377x.png)
La amplitud difractada en una dirección haciendo un pequeño ángulo
con el eje óptico se escribe entonces:
Demostración
Los cálculos pasan por cambios de variable
La intensidad difractada en la dirección
se escribe entonces:
Ceros, anillos y tamaño a media altura
Para valores de
cercanos a 0,
. Por otra parte, el primer cero de la función
ocurre para
.
El tamaño a media altura del pico central de difracción (que se supone igual a la mitad de la
distancia entre los 2 ceros de cada lado del pico central) se escribe en función del diámetro de
la pupila
y del tamaño de onda
:
La figura de difracción se anula después para los radios 2.23, 3.23, 4.24, 5.24.... en unidades
. Los anillos luminosos tienen como radios: 1.63, 2.68, 3.70, 4.71, 5.71... en las mismas unidades.
Introducción