Probabilités, réalisations, estimations

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Loi de probabilité

Les figures ci-jointes illustrent quelques lois de probabilités :

loipoisson3.pngloipoisson30.png
Loi de Poisson de moyennes 3 et 30.
Crédit : ASM

Réalisations

Une loi de probabilité est déterministe. Mais ses réalisations sont ... aléatoires. C'est seulement avec un nombre élevé de réalisations que l'ensemble de ces réalisations retrace fidèlement la loi de probabilité. Si le nombre de réalisations est petit, on n'observe rien d'identifiable.

loiuniforme.gif
Loi uniforme, tirage d'un dé.
Crédit : ASM
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Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson (moyenne = 10). Avec un nombre N de tirages peu élevé, la distribution des valeurs (courbe en bleu) ne ressemble que de très loin à la fonction de probabilité attendue (croix en rouge).
Crédit : ASM
poissonstat2.png
Réalisations d'un phénomène aléatoire obéissant à la loi de Poisson. Avec un nombre de tirages élevé, la distribution des valeurs trace convenablement la fonction de probabilité.
Crédit : ASM

Estimations

Estimation de la moyenne et de l'écart type d'une loi. La moyenne peut être estimée de diverses façons, et la meilleure façon d'estimer une moyenne dépend de la loi de probabilité.

musigma.png
Moyenne (trait bleu ciel) et écart-type (droites de part et d'autre de la moyenne) pour un bruit blanc.
Crédit : ASM

Apprendre

prerequisPrérequis

Notions élémentaires de statistiques

objectifsObjectifs

La définition d'un bruit repose sur ses propriétés statistiques. Cette page rappelle des notions simples de statistiques, en distinguant les lois de probabilité, leurs réalisations, et l'estimation de paramètres statistiques.

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire x va être donnée par f sa densité de probabilité, ou bien F sa fonction de répartition ( {\mathrm{d}} F\ =\ f\ {\mathrm{d}} x).

Parmi les moments centrés associés, \mu la moyenne et \sigma l'écart-type sont respectivement définis par :

\mu \ = \ \int x \ f(x) \ {\mathrm{d}} x

et :

\sigma^2 \ = \ \int (x-\mu)^2 \ f(x) \ {\mathrm{d}} x

(v=\sigma^2 est la variance).

Une loi statistique possède des propriétés particulières, qui caractérisent tel ou tel phénomène : une loi poissonnienne (discrète) rend compte de l'arrivée d'événements indépendants, une loi gaussienne est souvent issue de l'addition d'un grand nombre de phénomènes indépendants...

probadistri.pngprobasomme.png
Réalisation d'une loi normale. L'histogramme se rapproche de la loi de probabilité.
Crédit : ASM

Réalisations

La réalisation d'une loi de probabilité est aléatoire : un tirage de dés, réalisé 6 fois, ne conduira pas nécessaire à l'obtention une fois et une seule de chaque chiffre de 1 à 6. Plus le nombre de réalisations est grand, meilleur est l'accord entre l'observation de ces réalisations et la loi de probabilité.

Estimations

En pratique, il faut distinguer d'une part la valeur moyenne \mu de la densité de probabilité de sa mesure m. Avec x_i les réalisations d'une variable aléatoire, on a accès seulement à :

m \ = \ {1\over N} \ \sum_{i=1}^N x_i

Et il n'y a aucune raison que m = \mu. En fait, c'est de mieux en mieux réalisé lorsque N devient très grand.

La variance s est mesurable par :

s \ = \ {1\over N-1} \ \sum_{i=1}^N (x_i - m)^2

avec (N-1) au dénominateur car \bar x a déjà été obtenu à l'aide des N mesures, et il ne reste plus que (N-1) valeurs indépendantes pour estimer s.

L'écart entre m et \mu vaut typiquement \sigma.

Simuler

estimationstat.gif
Histogramme d'une distribution de n points obéissant à une loi normale de moyenne nulle et écart-type unité. Ce n'est qu'avec un très grand nombre de points que les réalisations représentent précisément la courbe théorique gaussienne.
Crédit : ASM

Loi statistique et réalisation

L'animation ci-joint montre comment est réalisée en pratique une distribution normale. Ce n'est qu'avec un très grand nombre de tirages que l'histogramme des réalisations ressemble vraiment à la distribution statistique.

application.png

application.png

Mesure de bruits

Les appliquettes ci-jointes dévoilent des signaux temporels bruités, affectés ou non d'une lente dérive. On se propose d'en mesurer le bruit et le rapport signal à bruit.

Se servir des appliquettes pour :

mesureb1.png
Avec l'appliquette, on calcule z= y-\mu \ (\mu \simeq 50) et puis t= z^2. L'ajustement donne un écart-type de 1.
Crédit : ASM
mesureb2.png
On remarque que la distribution des valeurs de y n'est pas uniforme autour d'une valeur moyenne, mais suis une relation linéaire. Il est nécessaire de soustraire la pente. On estime cette dernière avec l'appliquette, et on calcule alors la valeur centrée sur 0 z= y-0.2466 x - 37.65 et puis t= z^2. L'ajustement donne un écart-type de 1.04.
Crédit : ASM