Température effective

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objectifsObjectifs

Le corps correspond à un équilibre entre un corps de température T et un rayonnement de corps noir à cette même température.

Thermalisation

L'exemple du soleil permet de définir la température effective d'un corps noir, ou température d'équilibre, ou température de brillance.

Le parcours de l'énergie au sein du soleil est, jusqu'aux couches supérieures, une succession ininterrompue d'absorption et de réémission des photons initialement produits par les réactions nucléaires au centre de l'étoile, dans le domaine \gamma, jusqu'aux photons finalement émis, majoritairement dans les domaines UV, visible et IR.

Arrivés dans la photosphère, les photons peuvent quitter le soleil, avec une distribution énergétique qui est celle du corps noir, de température donnée, que l'on appelle température effective.

Equilibre

En raison de l'équilibre entre le rayonnement de corps noir et la matière du corps noir, il y a concordance entre cette température et celle du milieu émetteur. D'après le second principe de la thermodynamique, les couches atmosphériques plus profondes qui ont fourni l'énergie ne peuvent être qu'à une température plus élevée. Il s'ensuit un certain nombre de conséquences :

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exerciceEquilibre thermique d'une planète

Difficulté : ☆☆   Temps : 60 min

On s'intéresse au bilan radiatif d'une planète en orbite circulaire de rayon a autour de son étoile. On suppose l'espace interplanétaire vide, ce qui entraîne la conservation du flux stellaire intégrée sur toute surface entourant l'étoile. La rotation propre de la planète est suffisamment rapide pour que l'on puisse considérer sa température T _{\mathrm{P}} comme uniforme sur toute la surface. On néglige toute autre source d'énergie que stellaire.

La planète réfléchit une fraction A du rayonnement solaire, et en absorbe une fraction (1-A), où A est l'albédo. On peut, en première approximation à basse résolution spectrale, considérer ce spectre comme la superposition du spectre de 2 corps noirs, dont on cherche à déterminer les températures. On note \ell _{\mathrm{r}} la composante énergétique directement réfléchie, et \ell _{\mathrm{a}} la composante absorbée puis rerayonnée.

Question 1)

Montrer que la puissance interceptée par la planète vaut :

\ell _{\mathrm{P}} = L\ {R^{2}\over 4 \ a^{2}}

où R représente le rayon planétaire.

Question 2)

Calculer le rapport \ell _{\mathrm{P}} / L dans le cas de Jupiter et de la Terre.

Objet a (UA) R (km)
Jupiter5.2 71000
Terre 1 6400

Pour mémoire \L_\odot = 4\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}.

Question 3)

La planète étant à l'équilibre thermodynamique, exprimer \ell _{\mathrm{r}} et \ell _{\mathrm{a}} en fonction de la luminosité totale \ell _{\mathrm{P}} et de l'albédo A.

Question 4)

Quelle est la température T _{\mathrm{r}} associée au rayonnement réfléchi \ell _{\mathrm{r}}, assimilé à un rayonnement de corps noir ?

Question 5)

Montrer que la température associée à la composante \ell _{\mathrm{a}}, voisine de la température d'équilibre de la planète, est alors:

T _{\mathrm{P}}\ =\ (1-A)^{1/4} \left({ R_\star \over 2 a }\right)^{1/2} T_\star

Question 6)

Faire l'application numérique pour une exoplanète avec une albédo {A}\simeq 0.5 et un demi-grand axe a=0.05 {\,\mathrm{UA}}. Pour l'étoile, on prendra : T_\star = 5500 {\,\mathrm{K}} et R_\star = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}.

Question 7)

En déduire la longueur d'onde \lambda _{\mathrm{P}} correspondant au maximum de l'émission planétaire. A quel domaine spectral cette température correspond-elle?

Réponses aux exercices

pages_corps-noir/temperature-effective-sexercer.html

Exercice 'Equilibre thermique d'une planète'