Effet Doppler et élargissement des raies spectrales : Page pour l'impression

Elargissement rotationnel

La rotation de l'étoile mélange, sauf à résoudre spatialement ou spectralement l'objet, les diverses régions qui toutes contribuent au flux stellaire. Il s'ensuit un élargissement des raies.

La rotation de l'étoile, en codage Doppler : une couleur rouge signe un éloignement radial ; le bleu un rapprochement. Un axe de rotation quasi perpendiculaire au plan du ciel entraîne une très faible signature, car la projection géométrique amoindrit la composante radiale de la vitesse de rotation.

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel (vitesse équatoriale de 1, 2, 5, 10, 20 ou 40 km/s. La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement en température et rotationnel

L'élargissement des raies due à la rotation de l'étoile modifie drastiquement l'allure d'un spectre, comme le montre les simulations d'observation à faible ou grande résolution spectrale.

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 5, 20, 80 ou 200 km/s). Spectre d'une étoile F9 à grande résolution spectrale (R=120000)

Crédit : ASM

Elargissement rotationnel ( $v\sin i$ de 10, 80 ou 200 km/s. Spectre d'une étoile F9 à faible résolution spectrale (R=8000)

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Objectifs

La largeur des raies stellaires est liée aux champs de vitesse Doppler.

Agitation thermique

Dans le cadre de la théorie cinétique du gaz parfait, la distribution de vitesse est donnée par :

$n(v) \ \propto\ v^2 \ \exp\left( - {1\over 2} {mv^2\over kT} \right)$

avec la masse atomique moyenne et la constante de Boltzmann.

La largeur à mi-hauteur de cette distribution est de l'ordre de $\sqrt{2kT/m}$ , du même ordre de grandeur que les vitesses moyenne ou la plus probable.

Avec une température stellaire entre typiquement 4000 et 40000 K, les vitesses d'agitation thermique sont de l'ordre de 8 à 25 km/s : elles concourent à un sensible élargissement des raies.

Distribution de vitesse de Boltzman. La vitesse la plus probable (bleu clair) est voisine de la vitesse moyenne (vert), et elles sont toutes deux du même ordre de grandeur que la dispersion caractéristique en vitesse (rouge).

Crédit : ASM

Rotation stellaire

La rotation stellaire participe également à l'élargissement des raies stellaires. Le paramètre important pour mesurer cet effet est donné par la projection du vecteur vitesse de rotation équatorial sur la ligne de visée : $v \sin i$ . Les valeurs typiques de rotation varient de quelques km/s (rotateurs lents, tels le Soleil) à plusieurs centaines de km/s. Dans ce dernier cas, les signatures spectrales deviennent très peu marquées.

En effet, une raie fine à vitesse rotationnelle non nulle s'élargit par effet Doppler. Par application de la conservation de l'énergie, le manque de photons dans la raie est conservé, et donc l'élargissement de la raie s'accompagne d'une moindre profondeur.

Élargissement des raies stellaires selon la vitesse de rotation stellaire

La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

La conservation de l'énergie (l'énergie qui manque dans la raie) entraîne une très nette diminution de la profondeur de la raie lorsque la vitesse rotationnelle augmente. Pour les rotateurs rapides, une raie fine devient invisible.

Crédit : ASM

Elargissement des raies stellaires selon la direction de l'inclinaison

L'animation montre comme varie l'élargissement rotationnel des raies stellaires avec l'angle d'inclinaison . Lorsque l'axe de rotation de l'étoile se confond avec la ligne de visée, il n'y a pas d'élargissement rotationnel.

L'élargissement rotationnel (codé ici en couleur d'autant plus rouge/bleue que la vitesse d'éloignement/rapprochement est grande) dépend du facteur $v\sin i$ , et varie ici avec l'inclinaison

sur l'axe de visée.

Crédit : ASM

Mesure de rotation par sondage radar

Les sondages radar permettent de mesurer la rotation d'un corps, comme le montre l'animation ci-jointe. L'onde plane incidente parcourt l'objet du point subterrestre jusqu'au limbe, en une durée R/c ( est le rayon de l'objet, la célérité de la lumière) et donc scanne le champ de vitesse rotationnel.

Sondage d'un objet, supposé sphérique, par une onde plane radar. L'animation suppose un pas de temps équidistant. Les premières mesures, en projection sur le plan du ciel, parcourent rapidement l'objet, plus lentement ensuite pour les régions proches du limbe, mais alors l'excursion en vitesse Doppler devient maximale

Crédit : ASM

Disque en rotation.

Crédit : ASM

Disque en expansion

Crédit : ASM

QCM

1) Le disque en rotation est observé sans aucune résolution spatiale (on ne voit qu'un point lumineux). Par rapport à un disque sans rotation, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

2) Le disque en expansion est observé sans aucune résolution spatiale. Par rapport à un disque sans expansion, ses raies apparaissent
plus fines
plus larges
inchangées

3) Peut-on, sans imagerie, et avec la seule indication de l'élargissement des raies, décider s'il s'agit d'un disque en rotation ou en expansion ?
non
oui

Mesure de la période de rotation de Mercure

Difficulté : ☆☆ Temps : 1.5 heure

Le but de l'exercice est d'interpréter les observations radio de la planète Mercure, menées au radio-télescope d'Arecibo en 1965 (Dyce et al. 1965, Astronomical Journal 72, 351-359). Il s'agissait alors de mesurer la période de rotation propre de Mercure, et de déterminer si elle était égale ou non à la période de rotation orbitale.

demi-grand axe		0.39 UA
révolution sidérale		88 j
rayon		2420 km
diamètre du radiotél.		305 m
fréquence émise	$\nu_0$	430 MHz

Question 1)

Propagation : L'écho d'un signal radio émis par le télescope d'Arecibo et réfléchi par Mercure est réceptionné 616.125 s après son émission. En déduire la distance Terre-Mercure lors de l'observation, et représenter la position relative de ces 2 planètes et du Soleil. Les observations effectuées pourraient-elles être menées en lumière visible ?

Question 2)

Le champ de vitesse : On repère un point de la surface visible de Mercure par ses coordonnées cartésiennes dans le repère Oxyz , où est le barycentre de la planète, pointe vers la Terre et est parallèle à l'axe de rotation de la planète. On note le rayon de la planète Mercure, T_0 sa période de révolution sidérale, et sa période de rotation propre.

Donner les coordonnées du point sub-terrestre [i.e. le point de Mercure qui voit la Terre au zénith].

Montrer que la composante radiale (colinéaire à l'axe Terre-Mercure) de la vitesse d'entraînement de rotation ne dépend que de l'une des composantes de la position de .

Question 3)

L'analyse temps-fréquence de l'écho radar : Quelles régions de la surface contribuent au début ( $\Delta t =0$ ) et à la fin ( $\Delta t_0$ ) du signal d'écho. Déterminer la durée totale théorique $\Delta t_0$ de l'écho ? Représenter l'allure des lignes d'iso-retard $\Delta t$ sur la carte de Mercure [ 0yz ].

On note $\Delta \nu _{\mathrm{orb}}$ le décalage Doppler du signal réfléchi au point subterrestre. Quelles régions contribuent à l'élargissement Doppler extrêmal $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}±\Delta\nu_0$ du signal ? Représenter sur la carte de Mercure l'allure des lignes d'iso-fréquence $\Delta \nu$ (à $\Delta\nu _{\mathrm{orb}}$ près).

Calculer, pour un point de Mercure de coordonnées $(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},y,z=0)$ , le retard $\Delta t$ de l'écho et son décalage spectral $\Delta\nu$ . Montrer que l'on a :

$\left( {\Delta t\over \Delta t_0} - 1\right)^{2} +\left( {\Delta \nu\over \Delta \nu_0}\right)^{2} \ = \ 1$

Question 4)

L'écho : Le document ci-joint (Dyce et al. 1965) montre l'étalement en fréquence de l'écho en fonction du retard à la réception. Comparer le retard maximal théorique à celui enregistré, et interpréter le désaccord. En déduire, que la relation entre $\Delta t$ et $\Delta\nu$ se réduit, pour les mesures effectuées, à $\Delta\nu /\Delta\nu_0 = \sqrt{2 \Delta t / \Delta t_0}$ Comment interpréter les variations temporelles d'intensité du signal ?

Estimer , la période de rotation propre de Mercure.

On pose $T_0 = \alpha \ T$ . Quelle signification donner à $\alpha$ ? De quelle fraction simple $\alpha$ est-il proche ? Est-ce un hasard ?

Pourquoi les données présentant un plus fort retard ne sont-elles pas facilement exploitables ?

Question 5)

La puissance de l'écho : Quelle fraction du signal Mercure intercepte-t-il ? [on se contentera d'un ordre de grandeur grossier, en supposant que le flux radar est homogène dans un champ d'angle solide égal au lobe principal de diffraction ; un calcul précis est hors de portée de la modélisation proposé].

Estimer, à l'aide d'un modèle simple, le nombre de photons incidents nécessaires pour réceptionner 1 photon en retour après réflexion au point subterrestre.

Une puissance d'émission de 2 MW vous étonne-t-elle ? [l'impulsion radar incidente est très brève : $100\, \mu\mathrm{s}$ ; on se contentera également d'un ordre de grandeur grossier]