Le réseau : diffraction et interférences

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prerequisPrérequis

Même s'il reprend les bases théoriques, ce cours suppose que le réseau a déjà été étudié en physique. Un réseau est alimenté en faisceau parallèle par une fente source, et en donne une série d'images colorées.

objectifsObjectifs

Caractériser les interférences constructives d'un réseau ; voir la distribution de l'énergie dans la figure d'interférence.

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Le réseau donne une série d'images colorées de la fente source.
Crédit : ASM
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Paramètres du réseau, et définition des angles des faisceaux incident et diffracté.
Crédit : ASM
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À incidence nulle, la différence de marche entre 2 rayons consécutifs, vaut \delta = p \sin i'. Elle correspond au déphasage \varphi = 2\pi \ p/ \lambda \sin i.
Crédit : ASM

Interférences constructives

On note p la période du réseau, N le nombre de traits, \lambda la longueur d'onde étudiée. La condition d'interférences constructives s'écrit :

\sin i \pm \sin i' \ = \ m\ {\lambda \over p}

avec m, entier, l'ordre d'interférence. Le signe - dans cette relation concerne un réseau par transmission, le signe + un réseau par réflexion. C'est ce dernier cas qui nous intéresse, car il correspond au cas du réseau blazé.

Cette condition rend compte que le déphasage \varphi entre les amplitudes complexes issues de 2 traits consécutifs, vaut 2m\pi (ou bien, de façon équivalente, que la différence de marche vaut m\lambda).

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Les interférences se construisent principalement dans le lobe principal de la tache de diffraction d'une fente du réseau (en rouge).
Crédit : ASM

Le rôle de la diffraction puis des interférences

La diffraction par une fente du réseau détermine les différentes directions vers lesquelles la lumière est envoyée, chacun des fentes du réseau se comportant comme une source secondaire.

Les interférences entre ces différentes sources secondaires construisent les franges d'interférences, d'autant plus fines que le réseau comporte un nombre important de traits (cf. calcul de l'intensité de la figure d'interférence).

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Représentation des numérateur (bleu ciel) et dénominateur (violet) de l'intensité diffractée par le réseau (en bleu). Les pics d'interférence apparaissent pour chaque annulation du terme \sin \varphi/2 du dénominateur. La finesse des pics d'interférence augmente avec le nombre de traits N.
Crédit : ASM
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Sommation des différentes amplitudes.
Crédit : ASM

Intensité de la figure d'interférence

L'intensité de la figure d'interférence est issue du double effet de la diffraction par une seule fente et des interférences par N fentes. On s'intéresse dans un premier temps au phénomène d'interférence seul. On note \varphi le déphasage entre 2 fentes consécutives, et A_1 l'amplitude complexe. On mène les calculs dans l'approximation de Fraunhofer, pour montrer que l'intensité diffractée vaut :

I_N\ =\ \ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2

demonstrationDémonstration

La sommation des amplitudes conduit à :

A_N\ =\ \sum_{k=1}^{k= N} A_1 \ \exp i (k-1)\varphi \ =\ A_1 \ \sum_{k=0}^{k= N-1}\ \bigl(\exp i\varphi \bigr)^k

Le traitement de la somme des termes d'une suite en progression géométrique donne :

A_N\ =\ A_1 \ { 1 - \exp i N\varphi \over 1 - \exp i \varphi}

On calcule l'intensité en factorisant le numérateur et le dénominateur par l'exponentielle complexe de l'angle moitié (de module unité), pour aboutir à :

I_N\ =\ |A_N|^2 \ =\ |A_1|^2 \ \left|{ \exp (i N\varphi/2) - \exp (-i N\varphi/2) \over \exp (i \varphi/2) - \exp (-i \varphi/2) }\right|^2 \ =\ |A_1|^2 \left({ \sin N\varphi/2 \over \sin \varphi/2 }\right)^2

Le terme d'intensité est important uniquement lorsque le dénominateur s'annule. Dans ce cas, le numérateur s'annule également et, par continuité du rapport, le pic d'intensité tend vers N^2. Chaque pic correspond à un ordre d'interférence. La largeur de ce pic est donnée par les variations du numérateur, qui oscille N fois plus rapidement que le dénominateur ; elle est donc N fois inférieure à la largeur entre 2 ordres consécutifs.

Inefficacité du réseau par transmission

L'inconvénient du réseau par transmission ici décrit est qu'il n'est a priori pas efficace : l'essentiel de l'énergie passe dans l'ordre 0, inintéressant pour la dispersion. Un concept technologique spécifique pare cet inconvénient : le réseau blazé.