La 1ère loi de Kepler
La première loi de Kepler énonce que la trajectoire des planètes est plane. C'est ce que dévoile la trace d'une orbite planétaire, lors d'une révolution sidérale.
Trace de l'orbite de Mars au cours d'une année sidérale (points rouge). L'allure de la courbe correspond à l'un des éléments introduits par la 1ère loi de Kepler : l'orbite des planètes est plane. La trace bleue représente ce que l'on observerait si les plans orbitaux de la Terre et de Mars coïncidaient, ce qui n'est pas exactement le cas.
Crédit :
ASM
Prérequis
Référentiels - Notion sur les coniques
Enoncé des lois de Kepler
Les 3 lois de Kepler expriment les conclusions que Kepler a tirées des
observations de Tycho Brahe.
Leur caractère empirique -- elles décrivent le mouvement d'une planète
autour du soleil, mais ne l'expliquent pas -- n'obère en rien leur portée.
Elles ont permis la formalisation par Newton de la loi de gravitation universelle.
Définition
- 1ère loi :
Les planètes parcourent des orbites planes, elliptiques.
Le Soleil occupe l'un des foyers de l'ellipse.
- 2ème loi :
En des durées égales, une planète balaye des aires égales.
- 3ème loi :
Le rapport du carré de la période de rotation au cube du demi-grand axe
est identique pour toutes les planètes du système solaire.
La 2ème loi de Kepler
La 2ème loi de Kepler, ou loi des aires, illustrée dans plusieurs cas.
Les différentes "aires balayées" par le rayon vecteur en des durées
égales sont égales. Le secteur angulaire correspondant est donc bien
plus grand au voisinage du périhélie que de l'aphélie, et cet effet est
d'autant plus marqué que l'excentricité de la trajectoire est proche de
1.
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
Illustration de la 2ème loi de Kepler : cas de Mars. L'excentricité de 0.09 suffit pour
s'écarter sensiblement d'une rotation à vitesse angulaire uniforme.
Crédit :
ASM
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
Illustration de la 2ème loi de Kepler : orbite de transfert (entre une orbite basse,
accessible avec un lanceur tel Ariane, et
une orbite géostationnaire).
Crédit :
ASM
La 2e loi de Kepler, dite loi des aires
Illustration de la 2ème loi de Kepler : comète de Halley. La comète passe bien plus de
temps au voisinage de l'
aphélie qu'à celui du
périhélie.
Crédit :
ASM
La 2ème loi de Kepler permet la détermination de l'équation horaire du
mouvement le long de la trajectoire de l'objet.
Les positions des objets (comète de Halley, satellite sur orbite de transfert géostationnaire)
sont ici représentées à des dates équiréparties le long d'une période
orbitale. Le mouvement est d'autant moins uniforme que l'excentricité de l'orbite
est proche de 1 ; la vitesse orbitale est plus rapide au périastre qu'à
l'apoastre.
La 2e loi de Kepler, loi horaire
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le
mouvement est rapide au
périgée, lent à l'
apogée.
Crédit :
ASM
La 2e loi de Kepler, loi horaire
L'intervalle de temps est constant d'une position à l'autre. Le
mouvement est rapide au périhélie, lent à l'aphélie.
Crédit :
ASM
La 3e loi de Kepler
Cette simulation suppose les 4 planètes internes du système solaire en phase à un instant donné. Cette hypothèse est irréaliste, mais elle permet de montrer les avancées angulaires de Vénus, de la Terre et de Mars, Mercure ayant accompli une révolution entière.
Crédit :
ASM
La 3ème loi de Kepler
La 3ème loi de Kepler entraîne une période d'autant plus rapide que la planète est proche de l'étoile. L'animation ci-jointe, supposant de manière uniquement illustrative qu'à une date donnée les planètes telluriques pourraient être en phase, montre leur avancée respective au bout d'une durée égale à la période de révolution de Mercure.
La loi de Kepler dans le système solaire
Vérifier à l'aide de l'appliquette la 3ème loi de Kepler pour les planètes du système solaire.
- Sélectionner la première case de la dernière colonne.
- Afficher : =c1^2/b1^3
- Pourquoi, dans le système d'unité proposé (distance en UA, période en années), le résultat est-il quasiment égal à 1 ?
On remarque que la validité est moins bonne pour les planètes au-delà de Jupiter, qui ressentent en fait un champ de force moyen de masse totale la masse du Soleil complétée par celle de Jupiter.
QCM
Les lois de Kepler par J. Kepler
Difficulté : ☆☆
Temps : 20 min
Cet exercice vous propose une lecture commentée de
l'histoire de
l'obtention des lois de Kepler.
Il se réfère au texte présentant les
aspects historiques de l'oeuvre de J. Kepler.
Question 1)
Pourquoi 6 planètes seulement sont-elles citées ? Les identifier.
Lesquelles étaient connues en l'an 1600 ?
Question 2)
Que signifie "traduire correctement le mouvement orbital de la Terre"
à l'époque de Kepler?
Introduire la notion de référentiel.
Question 3)
Que représentent 8' (8 minutes d'angle) dans le ciel ? Traduire cette
distance angulaire en : fraction du diamètre lunaire, diamètre martien
maximal, longueur rapportée sur l'orbite martienne, durée de parcours sur
l'orbite martienne. On donne :
- diamètre martien : 6800 km
- demi-grand axe de l'orbite martienne : 1.5 UA
- révolution sidérale : 687 j
Le diamètre lunaire couvre environ 1/2 degré.
Le cadre des lois de Kepler
Difficulté : ☆☆
Temps : 20 min
Question 1)
Préciser les conditions dans lesquelles les lois de Kepler s'appliquent.
[1 points]
Question 2)
Que représente et signifie le terme "constante", dans l'équation
qui traduit la 3ème loi de Kepler.
[1 points]
Question 3)
A quelle(s) condition(s) pourrait-on appliquer les lois de Kepler à une
étoile au sein d'un amas stellaire ?
[1 points]
- Question 1
Aide :
Lesquelles étaient connues en l'an 1600 ?
Solution :
De Mercure à Saturne, on compte 6 planètes, Terre incluse. Kepler,
suivant l'option de Copernic, compte la Terre comme planète : c'est une
forte opinion héliocentrique.
- Question 2
Aide :
Introduire la notion de référentiel.
Solution :
Il s'agit de choisir le référentiel héliocentrique comme référentiel
d'étude, afin de pouvoir proprement corriger tout mouvement du mouvement
relatif de la Terre autour du Soleil.
- Question 3
Aide :
Le diamètre lunaire couvre environ 1/2 degré.
Solution :
L'erreur de 8', rapportée au diamètre de la Lune de l'ordre de 30', en
représente un petit quart.
Le diamètre angulaire maximal de Mars est donné par le rapport de son
diamètre linéaire à la distance minimale Terre-Mars, de l'ordre de
0.5 UA (parfois moins, en raison de l'excentricité de l'orbite
martienne) :
Le diamètre angulaire, donné par le rapport du diamètre linéaire à la
distance considérée, vaut :
.
Il est à comparer à 8' = 480" ;
8' représentent 26.5 diamètres angulaires martiens.
La distance linéaire sur l'orbite est donc de 26.5 diamètres linéaires
martiens, soit 180 000 km.
La fraction de l'orbite correspondante s'élève à 8' / 360.60' = 1/2700.
Elle est parcourue en 687 j/2700 
0.25 j, soit 6 heures.
très inférieure à la masse 
du potentiel central, et n'étant pas perturbé par
d'autres satellites de 
, présente alors les propriétés suivantes :
est plane, elliptique, avec 
à l'un des
foyers.
.
. Et cette constante dépend en fait