Constantes de temps

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objectifsObjectifs

On s'intéresse à différents temps caractéristiques d'un nuage de matière protostellaire. Le temps de chute libre mesure la durée caractéristique de l'accrétion d'un nuage ; le temps de Kelvin-Helmholtz mesure la durée maximale pendant laquelle un objet peut rayonner par simple contraction gravitationnelle.

chutelibre.png
Temps de chute libre, fonction de la densité particulaire d'un nuage.
Crédit : ASM

Temps de chute libre

En supposant que le nuage s'effondre sans rencontrer de résistance, le temps de chute libre correspond à la durée d'effondrement sous l'effet de l'autogravitation du nuage. Le nuage parcourt son rayon sous son propre champ gravitationnel en une durée t vérifiant :

R = {1\over 2 }\ g t^2 \mathrm{\ avec\ } g = { {\cal G} M\over R^2}

Pour un corps autogravitant de masse M et rayon R, l'analyse dimensionnelle impose :

t _{\mathrm{d}} = \sqrt{R^{3}\over {\cal G} M} = \sqrt{1\over {\cal G} \bar\rho}

où \bar\rho est la masse volumique moyenne du corps. Comme l'on considère seulement l'interaction gravitationnelle, en négligeant toute résistance, la température du nuage ne joue aucun rôle. En fonction de la densité particulaire, le temps de chute libre s'exprime :

t _{\mathrm{d}} \propto n^{-1/2}

Temps de Kelvin-Helmholtz

La contraction d'un nuage s'accompagne, d'après le théorème du viriel d'une puissance rayonnée correspondant au taux de variation de l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle :

L = { {\mathrm{d}} \Omega \over {\mathrm{d}} t} \propto -{ {\cal G} M^2\over R^2}\ \dot R

La phase de luminosité uniquement due à la contraction gravitationnelle peut se poursuivre sur une durée, appelée temps de Kelvin-Helmholtz, définie par le rapport :

t _{\mathrm{KH}} = \left| {R \over \dot R} \right|

En fonction de ce qui précède, on en déduit que cette constante de temps caractéristique s'exprime :

t _{\mathrm{KH}} \simeq { {\cal G} M^2\over L R }

Elle augmente avec la masse (le réservoir d'énergie) et diminue avec la puissance rayonnée (la perte d'énergie).

Pour le Soleil (avec une puissance rayonnée L \simeq 4 \ 10^{26} {\,\mathrm{W}} et les masse et rayon actuels) la constante de temps est de l'ordre de 30 millions d'années. Ceci signifie que, par simple contraction gravitationnelle, le Soleil peut rayonner pendant cette durée, sans autre source d'énergie.

S'exercer

qcmQCM

1)  Une constante de temps caractéristique est



2)  Le temps de chute libre caractérise plutôt, pour un objet en formation, la durée du processus de :



3)  Le temps de Kelvin-Helmholtz caractérise plutôt, pour un objet en formation, la durée du processus de :



4)  Estimer l'ordre de grandeur du temps de chute libre d'un corps tel le Soleil.



5)  Même question pour un nuage de 1 masse solaire et rayon 1 AL.



6)  Même question pour un nuage de 1000 masses solaires et rayon 10 AL.



7)  Même question pour une naine blanche de masse 1 masse solaire et rayon 7000 km.



S'évaluer

exerciceConstante de temps de Kelvin-Helmholtz

Difficulté : ☆☆   Temps : 10 min

Question 1)

Que mesure la constante de temps de Kelvin-Helmholtz ? De quel phénomène important rend-elle compte

[1 points]

Réponses aux QCM

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QCM