Théorème du viriel : Page pour l'impression

Disque protoplanétaire dans la constellation d'Orion. Au centre du nuage, l'élévation de température conduit à un objet brillant qui commence à rayonner.

Crédit : HST

Fiat lux

La contraction du nuage l'échauffe en son centre, et donc la proto-étoile se met à rayonner. De l'énergie, initialement sous forme uniquement mécanique, a été convertie en énergie lumineuse.

Objectifs

Par rapport au modèle d'effondrement purement mécanique, il faut tenir compte du rayonnement de la proto-étoile qui s'effondre et s'échauffe. Le théorème du viriel montre que la moitié seulement de l'énergie gagnée par l'effondrement est convertie en énergie thermique, l'autre moitié est directement rayonnée par l'objet condensé qui se réchauffe.

Conservation de l'énergie

Le modèle étudié précédemment suppose, à juste titre, la conservation de l'énergie, mais à tort que toute cette énergie est sous forme mécanique. Le milieu qui se densifie s'échauffe, et rayonne de l'énergie.

Energie rayonnée

Le théorème du viriel, ici accepté, énonce que l'énergie interne thermique ne représente que la moitié de l'énergie interne gravitationnelle : un bilan énergétique de l'évolution vers un état à l'équilibre hydrostatique implique que la moitié de l'énergie interne est évacuée par radiation.

Lors de la formation d'une étoile, il y a échauffement et obligatoirement perte d'énergie par radiation, à parts égales : $E _{\mathrm{K}} = E _{\mathrm{rad}}$ .

Conséquence du théorème du viriel

On peut donc réécrire la loi de conservation de l'énergie :

$E = \Omega + E _{\mathrm{K}} + E _{\mathrm{rad}} = 0$

Avec l'égalité entre les énergies rayonnée et cinétique :

$E = \Omega + 2 E _{\mathrm{K}} = \Omega + 2 E _{\mathrm{rad}} = 0$

Ceci conduit à une estimation de la température interne de moitié moindre à celle obtenue en omettant l'énergie rayonnée.

Puissance rayonnée

La luminosité de l'étoile est reliée au taux de variation de l'énergie rayonnée :

$L \ \stackrel{\mathrm{d\acute ef}}{=}\ { {\mathrm{d}} E _{\mathrm{rad}} \over {\mathrm{d}} t} = -{1\over 2} { {\mathrm{d}} \Omega \over {\mathrm{d}} t}$

Il s'ensuite que :

Une proto-étoile brille déjà, avant même d'avoir allumé ses réactions nucléaires.
Entre 2 états à l'équilibre hydrostatique, une contraction du rayon implique une perte d'énergie par radiation.

Remarques

De manière plus générale, à tout champ de force correspond une forme particulière du viriel. Pour un champ linéaire (de type ressort), énergies potentielle et cinétique moyennes sont égales. Pour un champ newtonien, elles sont respectivement dans un rapport -2.

Démonstration du théorème du viriel, dans un cas simplement modélisé

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

Cet exercice a pour but d'établir le théorème du viriel, dans un cas simple. On suppose qu'à tout instant, l'astre, sous forme déjà condensée de rayon , obéit à l'équation d'état du gaz parfait classique. On suppose également qu'il possède la symétrie sphérique. La pression est à l'équilibre hydrostatique.

Question 1)

Dans le cadre du modèle, avec les notations du cours, on écrit l'énergie cinétique comme une intégrale : $E _{\mathrm{K}} = \int_0^R n \cdot {3/ 2} k _{\mathrm{B}} T \cdot 4\pi r^{2} {\mathrm{d}} r$ . Réécrire cette intégrale en fonction de la pression.

[1 points]

Question 2)

L'équilibre hydrostatique énonce que le gradient de la pression évolue comme :

${ {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} = -\rho\ { {\cal G} m(r)\over r^{2}}$

Montrer, à l'aide de cette égalité, que l'énergie gravitationnelle $\Omega$ peut s'écrire sous la forme d'une intégrale du gradient de la pression.

[3 points]

Question 3)

Estimer le lien entre ${\mathrm{d}} P/ {\mathrm{d}} r$ et en procédant à l'intégration par parties du terme :

$\int_0^R { {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} \ 4\pi r^{3} {\mathrm{d}} r$

[2 points]

Question 4)

En déduire l'égalité vérifiée entre $\Omega$ et $E _{\mathrm{c}}$ .

[2 points]

Energie d'accrétion

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le but de cet exercice est d'estimer le rayonnement d'une planète géante encore en train de se contracter. On supposera, dans le cas d'un objet de masse volumique uniforme. L'énergie potentielle est :

$\Omega = -{3\over 5}{ {\cal G} M^2\over R}$

Question 1)

Relier la luminosité de l'objet à sa vitesse de contraction.

[2 points]

Question 2)

Quelle puissance rayonne une planète comme Jupiter qui se contracterait de 1 mm/an ? On donne : $M= 2\ 10^{27} {\,\mathrm{kg}}$ et $R= 7 \ 10^{4} {\,\mathrm{km}}$ . Comparer le résultat à la puissance lumineuse reçue du Soleil par Jupiter, de l'ordre de $6 \ 10^{17} {\,\mathrm{W}}$ .