Se tester (2): exercices

• Reconstruire la nébuleuse solaire de masse minimale (MMSN)
• Estimation de la vitesse de libération d'un planétésimal
• Croissance «ordonnée» d'une population de planétésimaux

Reconstruire la nébuleuse solaire de masse minimale (MMSN)

Estimation de la vitesse de libération d'un planétésimal

Croissance «ordonnée» d'une population de planétésimaux

Réponses aux exercices

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Exercice 'Reconstruire la nébuleuse solaire de masse minimale (MMSN)'

• Question 1
  Aide :

  On peut considérer que la masse de chaque planète était initialement uniformément répartie entre la moitié de la distance jusqu'à la planète précédante (plus proche du Soleil) et la moitié de la distance jusqu'à la planète suivante (plus éloignée du Soleil). Dans ce cas, on peut facilement estimer la densité surfacique moyenne de matière dans l'anneau défini par ces 2 limites. Attention: On prendra en compte la ceinture d'astéroides, en considérant que la masse totale de celle-ci (environ 10²²kg) se situe à une distance moyenne de 3UA du soleil.

  
  Solution :

  On a ici besoin de seulement 2 informations essentielles: la position et la masse de chaque planète du système solaire. Ces informations peuvent être très facilement trouvées sur Internet. Une fois qu'on a cela, la procédure est simple: on part de la planète la plus proche du soleil, donc Mercure, et on repartit la masse M_mer de cette planète entre 0.5a_mer et 0.5*(a_mer + a_venus).

  Dans ce cas on obtient donc pour Mercure

  Ensuite pour Venus, on obtient

  Ensuite pour la Terre, on obtient

  Ensuite pour Mars (en considérant que la masse de Mars s'étendait jusqu'à mi-chemin de la distance jusqu'à la ceinture d'astéroïdes):

  Pour les astéroïdes

  Pour Jupiter (en considérant que la masse de matière solide de Jupiter est d'environ 30M_Terre)

  Pour Saturne (en considérant que la masse de matière solide de Saturne est d'environ 25M_Terre):

  Pour Uranus (en considérant que la masse de matière solide d'Uranus est d'environ 11M_Terre):

  Pour Neptune (en considérant que la masse de matière solide de Neptune est d'environ 14M_Terre, et en considérant que la matière de Neptune étant étendue jusqu'à 35UA):

  ...Et on peut constater qu'on est assez loin d'obtenir une belle courbe régulière....

  
  

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Exercice 'Estimation de la vitesse de libération d'un planétésimal'

• Question 1
  Solution :

  Pour un corps sphérique, la vitesse de libération à la surface s'exprime sous la forme:

  A.N.: La densité de la Terre est de 5.54g/cm³, celle de Jupiter de 1.34 g/cm³, ce qui donne donc, avec leur rayon respectifs de 6400km et de 71000km, v_lib(Terre)=11.2km/s et v_lib(Jup)=59.5km/s. Pour un corps de 1km, si on suppose une densité typique d'un astéroïde (3g/cm³), on obtient v_lib = 1.28m/s. On remarque que, pour un corps de densité astéroïdale, on peut appliquer la relation simplifiée (et très pratique!):

  
  

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Exercice 'Croissance «ordonnée» d'une population de planétésimaux'

• Question 1
  Aide :

  On peut commencer par estimer, pour un planétésimal de taille r, quel est le nombre d’autres planétésimaux (de même taille r) qu’il va rencontrer par unité de temps. Pour cela, on peut supposer que ce planétésimal avance en ligne droite à la vitesse dans un disque d’épaisseur (où a est la distance au soleil eti est l'inclinaison des orbites de tous les planétésimaux)

  
  Solution :

  Pendant un temps dt, un planétésimal balaye le volume . Il faut maintenant estimer le nombre de planétésimaux contenus en moyenne dans ce volume. Ce nombre est donné par (m étant la masse d'un planétésimal). Le terme en (r + r)² vient du fait que même des corps dont le centre n'est pas dans le volume balayé par le planétésimal considéré peuvent être impactés par lui en raison de leur taille non-nulle r. En remplaçant v_col par e.v_Kep, e/i par 2 et m par 4/3ρπr³ on obtient un taux de collision de , où Ω_k est la vitesse angulaire orbitale. Comme on suppose que tous les planétésimaux ont toujours la même taille, on a donc, qu'à chaque collision, le planétésimal accrète 1 fois sa propre masse. Donc , ce qui donne, en remplaçant dN/dt par la formule précédente et (1/m)*(dm/dt) par (3/r)*(dr/dt), la formule . On remarque que cette formule très simple ne dépend ni de e, ni de i, ni de la taille des planétésimaux. Et, à 1UA, cela donne un taux de croissance , soit environ 2.5 millions d'années pour former un corps de 1000km.