Cohérence temporelle

Observer

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Portion de la partie modulée d'un interférogramme. Le contraste des franges s'écroule dès lors que l'on s'éloigne de la différence de marche nulle.
Crédit : ASM

Interférogramme

Un interféromètre de Michelson permet de tracer l'interférogramme d'une source, càd la figure d'interférence obtenue après déphasage de l'une des 2 voies de l'interféromètre d'une différence de marche \delta. L'interférogramme du spectre d'une source réelle, délimitée par un intervalle spectral fini, illustre le phénomène de cohérence temporelle : le signal d'interférence chute dès lors que la différence de marche devient grande.

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Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale. Plus l'intervalle spectral accepté est large, plus vite le signal est moyenné dès lors que la différence de marche s'éloigne de la valeur nulle.
Crédit : ASM

Cohérence temporelle et intervalle spectral

La cohérence temporelle décroît d'autant plus rapidement que le spectre de la source présente une gamme de longueurs d'onde importante.

Apprendre

objectifsObjectifs

Le cas d'une source rigoureusement ponctuelle et monochromatique est souvent évoqué pour aborder l'optique géométrique et physique. Une source ne sera jamais totalement monochromatique, même si son spectre présente des raies d'émission très étroites, ou si par dispersion ou filtrage on sélectionne un très fin domaine spectral. La cohérence temporelle d'une onde rend compte de sa chromaticité.

Une approche rigoureuse passe par le théorème de Wiener-Khintchine.

prerequisPrérequis

Interféromètre de Michelson

Cohérence temporelle

Tout phénomène d'interférence avec une source monochromatique conduit à une modulation de l'amplitude résultante fonction de la longueur d'onde du rayonnement.

Pour une source polychromatique, mélanger les couleurs revient donc à mélanger des périodes différentes : la cohérence temporelle du signal est prise en défaut.

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Interféromètre de Michelson : les 2 faisceaux, après recombinaison, sont décalés d'une différence de marche \delta.
Crédit : ASM

Exemple : interférométrie par transformée de Fourier

(Ne pas hésiter à aller voir les pages dédiées au spectromètre par TF).

L'exemple d'un interféromètre par transformée de Fourier (réglé en anneau) présente la problématique : la visibilité des franges décroît d'autant plus rapidement que le domaine spectral accepté est vaste.

Pour une raie monochromatique, l'interférogramme se développe, en fonction de la différence de marche, comme :

I (\delta)\ \propto\ 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda}

Pour une raie réelle, présentant une largeur non infiniment fine, il faut tenir compte de la contribution des différentes composantes spectrales.

I (\delta)\ =\ \int_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2} I_\lambda(\lambda)\ \left( 1 + \cos 2\pi { \delta\over\lambda} \right)\ {\mathrm{d}}\lambda

L'intégration, fonction du profil spectral I_\lambda(\lambda) de la raie, conduit à :

I( \delta) \ = \ I_0\ \left(1 + {\cal V}_{\Delta\lambda} ( \delta) \cos 2\pi { \delta\over \lambda_0} \right)

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Profils de raie et visibilités associées.
Crédit : ASM

L'expression de la fonction de visibilité des franges \cal V dépend de l'intégration du profil spectral I_\lambda(\lambda), et n'est pas nécessairement simple. La visibilité :

Un exemple de démonstration, dans un cas simplifié, est donné en exercice.

Définition de la cohérence temporelle

Dans le cas général, le degré de cohérence d'une source polychromatique, complexe, s'écrit :

\gamma (\tau) \ = \ { \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda)\ \exp 2i\pi {c\tau\over \lambda} \ {\mathrm{d}} \lambda} \over \displaystyle{\int_{\Delta\lambda} I_\lambda(\lambda) \ {\mathrm{d}} \lambda} }

La démonstration résulte du théorème de Wiener-Khintchine.

La longueur de cohérence \ell = c \tau, qui mesure l'étendue du degré de cohérence, vérifie approximativement :

\ell \ = \ {\lambda^2 \over \Delta\lambda}

Simuler

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Evolution de la longueur de cohérence temporelle en fonction de la largeur spectrale.
Crédit : ASM

Visibilité fonction de l'intervalle spectral

La visibilité des franges d'interférences dépend de la largeur de l'intervalle spectral considéré. La superposition de franges de couleurs différentes, donc de périodes différentes, conduit à un signal d'interférence en moyenne nulle.

S'exercer

qcmQCM

1)  Les raies jaunes du doublet du sodium ont pour longueur d'onde 589.0 et 589.6 nm. Observées pour une étoile donnée, elles présentent une largeur de 0.006 nm. Donner la longueur de cohérence de ces raies.




2)  Quelle est l'ordre de grandeur de la période des battements du signal interférométrique entre les 2 raies ?




3)  Un interféromètre par TF acquiert l'interférogramme jusqu'à la différence de marche 1 cm. Pour quel pouvoir de résolution peut-il redonner le spectre des raies du sodium ?



Réponses aux QCM

pages_coherence-temporelle/coherence-temporelle-sexercer.html

QCM