Étendue de faisceau : Page pour l'impression

Prérequis

Notion d'angle solide.

Objectifs

Définir l'étendue de faisceau ; mais surtout montrer la conservation de l'étendue de faisceau.

Le montage afocal transforme un faisceau de diamètre

en un faisceau de diamètre

, avec un grossissement angulaire $\beta / \alpha = a /b = F/f$ .

Crédit : ASM

Exemple : montage afocal

Un montage afocal transforme un faisceau plan en un autre faisceau plan. Les rapports des diamètres des faisceaux et des inclinaisons en entrée et sortie sont intimement liés au grossissement.

${\beta \over \alpha} = G \ \mathrm{ \ et } \ {b \over a} \ = \ G^{-1} \ \Longrightarrow \ a\alpha\ =\ b\beta$

Le produit est un invariant, ce qui relate une relation physique plus générale : la conservation de l'énergie du faisceau.

Conservation de l'étendue de faisceau, de l'élément émetteur ${\mathrm{d}} S$ à l'aire collectrice ${\mathrm{d}} S'$ .

Crédit : ASM

Faisceau, étendue de faisceau et conservation de l'énergie

La puissance (ou luminosité ) transportée par un faisceau lumineux, émise par l'élément de surface S et reçue par S' se conserve (sorte de tautologie, le faisceau étant défini par l'ensemble des rayons lumineux, càd la totalité de la puissance lumineuse). Cette puissance est proportionnelle à la luminance $\ell$ , à l'élément de surface émetteur et à l'élément d'angle solide d'émission.

Un jeu d'écriture sur les grandeurs photométriques, avec les données de la figure, conduit à exprimer la conservation de la puissance lumineuse comme la conservation de l'étendue géométrique de faisceau. On définit cette étendue de faisceau, pour un faisceau traversant sans être collimaté (= sans perte d'énergie) un élément optique de section , occupant un angle solide $\Omega$ , dans un milieu d'indice unité (comme le vide ou comme l'air à peu de chose près), par le produit $S \ \Omega$ , qui se conserve le long du faisceau.

Pour les systèmes stigmatiques (càd, très grossièrement, donnant des images avec des aberrations limitées), la conservation de l'énergie se traduit par la conservation de l'étendue de faisceau :

$S \ \Omega \ = \ \mathrm{cste}$

Démonstration

Le passage de la luminance $\ell$ à la puissance lumineuse nécessite de s'appuyer sur le produit d'un élément de surface émetteur ${\mathrm{d}} S$ et d'un angle solide d'émission ${\mathrm{d}} \Omega$ . La luminosité élémentaire s'écrit :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega }$

L'angle solide 'regarde' une surface réceptrice ${\mathrm{d}} S'$ à la distance telle que :

${\mathrm{d}}\Omega = {\cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2}$

La luminosité élémentaire se réécrit donc :

${\mathrm{d}}^2 L\ = \ \ell\ {\cos\theta {\mathrm{d}} S {\mathrm{d}} \Omega } \ =\ \ell \ {\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'\over r^2} \ = \ \ell\ {\cos\theta' {\mathrm{d}} S' {\mathrm{d}} \Omega' }$

Avec ${\mathrm{d}}\Omega' = {\cos\theta {\mathrm{d}} S/ r^2}$ l'angle solide sous lequel est vue la source depuis la surface réceptrice. On remarque que le rôle des éléments émetteur et récepteur est symétrique. Le produit $\cos\theta {\mathrm{d}} S\ \cos\theta' {\mathrm{d}} S'/ r^2$ introduit l'étendue géométrique élémentaire.

L'intégration sur le faisceau entier au travers d'une pupille, menée dans l'espace objet ou depuis l'espace image, garde la symétrie du produit surface $\times$ angle solide $S\ \Omega$ .

Faisceau divergeant d'une source quasi ponctuelle, collimaté : son énergie est localisée dans un cône.

Crédit : ASM

Faisceau conique peu ouvert

Un faisceau conique d'ouverture totale $\alpha$ couvre un angle solide :

$\Omega \ = \ 2\pi\ \left(1-\cos{\alpha\over2}\right)$

Si l'angle $\alpha$ est petit, cet angle solide se réécrit simplement :

$\Omega \ \simeq \ \pi\ \left( {\alpha\over2}\right)^2$

Au travers d'une optique de diamètre , la conservation du produit $S\ \Omega$ devient, pour ce faisceau conique :

$a^2\ \alpha^2 \ = \ \mathrm{cste}$

On retrouve donc le résultat obtenu dans le cadre du montage afocal.

Quelques conséquences

Comme conséquences importantes, on note que :

Plus le faisceau collecté passe par un diamètre fin, plus il est divergent.
Plus l'aire du collecteur est grande, plus l'étendue de faisceau est grande, plus les instruments doivent également être de grande taille pour offrir un grand diamètre au faisceau mis en forme.
La surface du détecteur et l'angle solide qu'il peut voir (de l'ordre de l'angle d'ouverture du télescope) limitent nécessairement la taille angulaire du champ objet.

Etendue de faisceau cohérente

Un faisceau monochromatique est cohérent sur une étendue égale à $\lambda^2$ . La justification est donnée en exercice.

S'exercer

Imagerie grand champ

Difficulté : ☆ Temps : 20 min

Le but d'une caméra est de réaliser un programme de cartographie, par imagerie grand champ. Les caractéristiques du détecteur sont fixées (taille du capteur CCD et caractéristiques de son optique), que l'on traduit par le produit $S _{\mathrm{cam}}\Omega _{\mathrm{cam}}$ . Le but de l'exercice est de déterminer quel collecteur optimal utiliser pour réaliser ce programme.

Question 1)

Comment varie la taille angulaire du champ objet en fonction de la surface du collecteur ?

Question 2)

Le temps de pose est fixé par le rapport signal à bruit des observations, qui dépend essentiellement du nombre de photons collectés. Comment le temps de pose varie-t-il avec la surface du collecteur ?

Question 3)

Y'a-t-il un intérêt particulier à utiliser un grand collecteur pour réaliser cette cartographie ? Quel usage peut-on conseiller à un télescope de la classe 4-m qui doit motiver son existence par rapport aux télescopes de nouvelle génération plus grands ?

Sur les 2 tableaux

Difficulté : ☆☆ Temps : 20 min

Le montage optique réel de CoRoT. Les 2 miroirs paraboliques hors-axe sont notés Primary mirror et M2. Lens correspond à l'optique de chambre ; Focal box aux détecteurs CCD.

Crédit : CNES

CoRoT est un satellite du CNES lancé en décembre 2006, qui poursuit 2 objectifs scientifiques : la recherche d'exoplanètes par la méthode des transits d'une part, l'étude sismique de quelques étoiles de type solaire d'autre part. Ces 2 objectifs s'appuient sur la capacité de CoRoT à mener des observations de photométrie très précises. Le montage optique retenu consiste en l'association de 2 miroirs paraboliques confocaux (confocal $\equiv$ même foyer) hors axe, suivis par une optique de chambre conjuguant le faisceau issu des 2 paraboles avec le détecteur CCD. En pratique, pour les respecter les specifications de la formation d'image, cette optique de chambre est constituée de 6 lentilles.

Question 1)

Faire à l'échelle un schéma de principe le plus simple possible du système équivalent à l'ensemble miroirs + optique de chambre avec 3 lentilles équivalentes pour respectivement les 2 miroirs et l'optique de chambre.

Question 2)

Le diamètre du premier miroir vaut 30 cm ; les focales des miroirs primaire et secondaire sont dans un rapport de 3 à 1. Que peut-on en déduire concernant les lentilles de l'optique de chambre ? En quoi consiste l'un des intérêts de ce montage ?

Question 3)

Reprendre le schéma de principe, en respectant l'ouverture du faisceau à f/4 vu par la caméra, Calculer la focale équivalente et la focale de l'optique de chambre.

Question 4)

La question précédente met en évidence un gain sur l'optique de chambre. Mettre en évidence la contrainte associée, qui dérive de la conservation de l'étendue de faisceau. Conclure.

Étendue cohérente

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Un collecteur de diamètre délivre une tache de diffraction d'ouverture (définie comme largeur à mi-hauteur) $1.22\ \lambda /a$ . On cherche à en déduire l'étendue de faisceau cohérente.

Question 1)

Justifier que l'étendue cohérente correspond au pic central de la diffraction.

Question 2)

Déterminer l'étendue de faisceau cohérente. Montrer qu'elle est très voisine de $\lambda^2$ .

S'évaluer

D'un collecteur de 8 m à une fibre

Difficulté : ☆ Temps : 5 min

Un instrument du VLT (collecteur de diamètre $a=8\ \mathrm{m})$ est alimenté par un faisceau de fibres de diamètre $80\ \mu\mathrm{m}$ .

Question 1)

L'alimentation optimale de la fibre se fait à f/2.5 . En déduire l'ouverture angulaire du faisceau en entrée de fibre.

[1 points]

Question 2)

Que vaut le champ objet admissible sur le ciel ? L'exprimer en seconde d'angle.

[1 points]

Observation au foyer et étendue de faisceau

Difficulté : ☆☆ Temps : 15 min

On se propose de retrouver par l'application de la conservation de l'étendue de faisceau l'expression de la taille linéaire de l'image d'un objet à l'infini de diamètre angulaire $\alpha$ par un collecteur de diamètre et de focale . On considère le seul cas où l'angle $\alpha$ est petit. On note ladite taille linéaire.

Question 1)

Exprimer le produit $S\ \Omega$ côté source, en fonction des données.

[1 points]

Question 2)

Rappeler l'expression de l'ouverture angulaire du collecteur, et exprimer le produit $S'\ \Omega'$ côté détecteur.

[2 points]

Question 3)

Exprimer la conservation de l'étendue de faisceau. Retrouve-t-on le résultat attendu ? L'objet ayant une taille angulaire $\alpha$ , quelle est la taille linéaire de son image.