Traiter le signal

Auteur: B. Mosser

Introduction

Les signaux recherchés méritent, pour donner les meilleurs mesures possibles, des traitement appropriés. Cette section se propose d'étudier plus précisément quelques-unes des techniques de base de traitement du signal.

alphacenspectre.png
Spectre des oscillations de l'étoile \alpha du Centaure.
Crédit : ESO

Filtrage


Observer

Pourquoi filtrer un signal ?

Dans la chaîne de traitement du signal, des observations brutes au résultat final, une étape souvent essentielle consiste à s'affranchir de signaux parasites. C'est possible lorsque ces derniers présentent des caractéristiques différentes de celles du signal, comme p.ex. un signal à basse fréquence qui contamine un signal sismique.

Analyse d'un signal sismique
bruitbfhf.png
Le signal brut comprend plusieurs composantes. La rotation de la Terre, parfaitement modélisable, apporte une composante à basse fréquence (période de 24 h). Un signal d'erreur, sur une source de référence, permet l'enregistrement d'une dérive également à basse fréquence. La correction de ces 2 termes ne comprend plus que des hautes fréquences, parmi lesquelles le signal sismique à analyser.
Crédit : ASM

Moyenne glissante

Un filtre par moyenne glissante substitue à une valeur donnée la moyenne des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur 2n+1. Plus l'intervalle est grand, plus le filtrage est efficace.

Ce filtrage présente des inconvénients que dévoile la transformée de Fourier.

glissante.png
Moyennes glissantes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).
Crédit : ASM
filglis.png
Spectre de Fourier (ordonnée en échelle logarithmique) d'une série de données non filtrée (courbe noire), ou filtrée par moyenne glissante de sur un intervalle de largeur 3 (courbe bleue) ou 7 (courbe rouge). On s'aperçoit que le filtrage des fréquences par moyenne glissante est très irrégulier.
Crédit : ASM

Médiane

Un filtre par moyenne médiane substitue à une valeur donnée la médiane des valeurs aux alentours, dans un intervalle de largeur 2n+1. Ce filtrage est efficace pour gommer les valeurs aberrantes.

filmedian.png
Moyennes médianes, calculées localement sur 10 (bleu ciel), 20 (vert) ou 50 points (rouge).
Crédit : ASM

Estimation linéaire

Réaliser une estimation linéaire d'une distribution de pont, c'est finalement ne décrire ce nuage de points que par 2 valeurs (ordonnée à l'origine et pente)

filtrage1.png
Estimation linéaire. Les hautes fréquences spatiales de la courbe rouge sont filtrées.
Crédit : ASM

Traitement d'un point aberrant

La correction de valeurs aberrantes est typiquement une opération de filtrage. Un filtrage par moyenne glissante ou par la médiane n'y parvient pas avec la même efficacité.

compfiltre.png
La valeur aberrante est bien corrigée par le filtre médian (vert) mais pas par la moyenne glissante (bleu ciel)
Crédit : ASM

Filtrage en fréquence

Toute série de données, dépendant de quelque paramètre que ce soit (temps, variable d'espace, autre variable), à n'importe quelle dimension, peut être décrite par ses composantes fréquentielles. Un filtrage ad hoc peut permettre de faire ressortir le signal des autres composantes.

sismiquebf.png
La correction par filtrage des basses fréquences (bleu ciel) permet de ne garder que le signal utile (rouge).
Crédit : ASM

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prerequisPrérequis

Analyse par transformée de Fourier

objectifsObjectifs

Aborder quelques-uns des (nombreux) aspects de la transformée de Fourier.

Problématique

Il est souvent indispensable de séparer les différentes composantes en fréquences qui constituent une observation, pour extraire le signal de la contribution du bruit ou d'autres signaux, ce qui constitue un filtrage du signal. Le but n'est pas de présenter sous forme de cours les multiples filtres possibles, mais plutôt quelques-uns de leurs effets.

Exemple de filtre temporel : l'acquisition de données

Toute acquisition de données, caractérisée par un pas de temps \delta t, filtre les fréquences temporelles plus rapides que 1/2\delta t.

Exemple de filtre spatial : la diffraction

On peut reconsidérer la diffraction d'une onde plane monochromatique de longueur d'onde \lambda par une ouverture a comme un filtrage des fréquences angulaires supérieures à \lambda / a.


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Comment ça marche ?

Les animations ci-jointes décortiquent le processus de filtrage par moyenne glissante ou par la médiane.

Filtrage par moyenne glissante
animfiltreglisse.gif
Un point donné est remplacé par la moyenne des points dans un intervalle centré autour de ce point, de plus ou moins ample largeur.
Crédit : ASM
Filtrage médian
animfiltremedian.gif
Un point donné est remplacé par la valeur médiane des points dans un intervalle centré autour de ce point, de plus ou moins ample largeur. Les points de chaque intervalle considéré ont été classés par valeur croissante, pour mettre en évidence la valeur médiane (indiquée en rouge).
Crédit : ASM
Filtrage par moyenne glissante
filglisfilm.gif
La série originale (en bleu) est filtrée par un filtre glissant, de largeur variable (en vert). Le nombre de points considérés pour la moyenne (en orange) a beau être de plus en plus élevé, le résultat (en rouge) présente toujours les oscillations originales, même lorsque la fenêtre est plusieurs fois plus large que la période du signal.
Crédit : ASM

Exemple de filtrage mal adapté

L'opération de filtrage n'est pas bégnine, et un filtre inadapté peut conduire à un mauvais résultat. Par exemple, le filtrage par moyenne glissante convient très mal pour un signal oscillant.

Exemple de filtrage numérique

La série temporelle ci-jointe est filtrée par filtrage numérique (algorithme de filtre à trous), avec séparation des hautes et basses fréquence. Les domaines de fréquence sont définis par rapport à une fréquence de valeur arbitraire ou mûrement réfléchie...

Filtrage numérique
filtragetemps.gif
Filtrage d'un signal bruité (bleu ciel) en haute (vert) et basse (bleu foncé) fréquences, avec glissement progressif de la transition entre les définition de `haut' et `bas'.
Crédit : ASM

A la recherche de motifs

Les appliquettes ci-dessous dévoilent l'intérêt du filtrage. Elles représentent des cartes de Jupiter dans l'infrarouge thermique. Sans filtrage, c'est la structure en bandes parallèles à l'équateur qui domine l'image ; après filtrage de cette structure dominante, on voit apparaître des motifs de type ondulatoire, avec une dizaine de motifs répartis en longitude, couvrant une extension en latitude plus vaste que les bandes.

Utiliser les appliquettes pour dévoiler ces structures.

application.png

application.png


Sommation d'image


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Correction élémentaire du champ plat

A l'aide de l'appliquette ci-jointe, on se propose d'illustrer l'évolution du bruit en sommant différentes images d'un même champ.

Correction du champ plat application.png


Analyse par transformée de Fourier : formalisme


Apprendre

prerequisPrérequis

Approche mathématique de la transformation de Fourier

objectifsObjectifs

Présentation de la transformation de Fourier, et rappel de quelques propriétés.

Formalisme de la transformation de Fourier

La transformation de Fourier associe à une fonction f(x) sa transformée~:

\tilde f (u) \ =\ \int f(x )\ \exp 2i\pi x .u \ {\mathrm{d}} x

Les variables x et u sont conjuguées. A la variable temporelle t est associée la variable fréquentielle \nu ; à la variable d'espace r, la fréquence spatiale k.

Propriétés

La TF est dotée de multiples propriétés (linéarité...) : se référer à un cours de maths.

L'opération inverse de la TF est notée : \tilde f (u)\ =\ \mathrm{TF}\, f(x) et f (x)\ =\ \mathrm{TF}^{-1} \tilde f(u).

Théorème de Parseval-Plancherel

Il ne s'agit rien d'autre que de la conservation de l'énergie, qui ici s'exprime par :

\int \left| f (x) \right|^{2} \ {\mathrm{d}} x \ =\ \int \left| \tilde f (u) \right|^{2} {\mathrm{d}} u

Autrement dit, l'énergie d'un signal ne peut pas dépendre de la description de ce signal, directe ou fréquentielle.

Analyse de Fourier
grandeur notation unité exemple
variable x X temps, en s
variable conjuguée u 1/X fréquence, en Hz
signal f Y vitesse, en m/s
spectre \tilde f XY m
spectre d'amplitude \left| \tilde f \right| XY m
spectre de puissance \left| \tilde f \right|^2 [\mathrm{XY}]^2 \mathrm{m}^2

Analyse de Fourier discrète

La définition de la transformation, continue, se doit d'être amendée pour tenir compte du fait qu'un signal réel est échantillonné. L'analyse de Fourier discrète s'appuie sur un nombre fini de réalisations du signal, et donne un nombre finie de fréquences pour le décrire. La discrétisation s'opère en douceur, car la TF d'une fonction peigne (succession équidistance de Dirac), fonction retranscrivant l'échantillonnage du signal, est une fonction peigne.

Analyse de Fourier rapide

L'analyse de Fourier rapide (fast Fourier transform, ou FFT) est une une forme spécifique de programmation de la transformation de Fourier. Une routine de calcul fft est présente dans toute bonne bibliothèque de programmation.

L'usage d'une FFT implique:


Simuler

TF et FFT

L'appliquette ci-dessous permet de calculer et visualiser le spectre de puissance de certaines fonctions. La transformée de Fourier peut calculée soit directement, soit par FFT.

application.png

Avec comme signal une sinusoïde, comme méthode la fft, visualiser les effets :

Vérifier le lien entre la résolution en fréquence et la durée totale d'observation ; vérifier le lien entre le nombre de points et la fréquence de coupure.


S'exercer

exerciceConservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆   Temps : 40 min

Question 1)

Vérifier l'homogénéité de la conservation de l'énergie énoncée par le théorème de Parseval-Plancherel.

Question 2)

Pour des raisons physiques, il est commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle bornée sur un intervalle de temps T comme :

\mathrm{TF} (f) (\nu) \ =\ {1\over T}\ \int_0^T f(t ) \exp 2i\pi \nu t \ {\mathrm{d}} t

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Montrer l'intérêt physique de cette notation, en s'appuyant p.ex. sur un signal purement sinusoïdale.

Question 3)

Pour d'autre raisons, il peut être commode de poser la définition de la TF d'une série temporelle discrète d'une manière différente :

\mathrm{TF} (f) (u) \ =\ {1\over N}\ \sum_1^N f(t ) \exp 2i\pi \nu t

avec le changement de notation pour préciser la différence par rapport à la TF classique. Réécrire la relation de Parseval-Plancherel, et montrer que

\sigma_\nu = \sqrt{2\over N} \ \sigma _{\mathrm{t}}

\sigma _{\mathrm{t}} et \sigma_\nu sont respectivement les écarts-types de la série temporelle et du spectre.


Analyse par transformée de Fourier : signal


Observer

Intérêt de la transformée de Fourier

La TF permet la recherche de composantes périodiques dans un signal. Les signaux ci-contre sont équivalents. L'un correspond à une série temporelle, l'autre à son spectre de Fourier.

Série temporelle et son spectre
tempfreq.png
La série temporelle (extrait donné en bleu) ne montre rien de définissable. Son spectre de Fourier dévoile en revanche les fréquences propres qui constituent le signal, en les distinguant clairement du bruit.
Crédit : ASM

Exemple : signal sismique

L'astérosismologie est un sujet en plein développement, dont les observations se basent sur de longues séries temporelles, pour l'identification des modes propres d'oscillations dans le spectre de Fourier.

alphacentemp.png
Série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile \alpha Cen.
Crédit : ESO
alphacenspectre.png
Spectre de Fourier de la série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile alpha Cen.
Crédit : ESO

Apprendre

objectifsObjectifs

Utiliser la TF pour la recherche de phénomènes périodiques.

Mesure

Si l'on enregistre une série temporelle de N signaux, sur une durée totale T, l'analyse par transformée de Fourier se réécrit :

\tilde s (\nu) \ = \ { }\sum_{i=1}^{N}\ s(t_i) \ \exp (2\pi i \nu t_i)\ \delta t_i

avec t_i les dates individuelles et \delta t_i = t_i - t_{i-1}. Si l'enregistrement est suffisamment régulier :

\delta t_i \simeq \delta t = {T\over N}

Les durées T et \delta t définissent les principales propriétés de l'analyse de Fourier.

Résolution en fréquence

Un signal observé durant une durée totale T permet une résolution en fréquence 1/T.

Fréquence de coupure

Un signal observé avec un échantillonnage \delta t permet de suivre les fréquences jusqu'à la coupure 1/2\delta t. Le facteur 2 provient de la nécessité d'observer sur 2 mesures distinctes une demi-période négative et une demi-période positive.

Echantillonnage

L'observation de phénomènes variables doit permettre :

A retenir

Si l'on enregistre une série temporelle de N signaux, sur une durée totale T et avec un échantillonnage \delta t = T/N, on peut alors distinguer sans ambiguïté N/2 fréquences, entre 1/T et N/2T.


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Résolution

Pour une série temporelle, la résolution en fréquence du spectre est d'autant meilleure que la base de temps d'observation est plus longue.

TF et résolution
resoltf.gif
La résolution en fréquence, d'autant plus fine que la série temporelle initiale est longue, permet de dévoiler peu à peu la richesse du spectre.
Crédit : ASM

Pour une image, on relie la fréquence de coupure spatiale à la résolution spatiale .

TF et fréquence de coupure
m31fft.gif
M31, vue avec un nombre plus ou moins grand de fréquences spatiales (spectre de Fourier 2-D à gauche, image reconstruite à droite).
Crédit : ASM

S'exercer

exercicePulsation de coupure

Difficulté : ☆☆   Temps : 30 min

On échantillonne un signal temporel avec un pas de temps \delta t. On définit la pulsation \omega _{\mathrm{c}} = \pi / \delta t.

Question 1)

Montrer qu'il y a confusion entre les spectres de puissance des signaux périodiques de pulsation \omega et \omega + 2k \omega _{\mathrm{c}} ou 2k \omega _{\mathrm{c}} - \omega, où k est un entier

Question 2)

En déduire l'expression de la pulsation de coupure


Analyse par transformée de Fourier : bruit


Observer

Bruit / signal cohérent

Une analyse par TF va traiter différemment un signal, avec un spectre donné, d'un bruit, sans signature spectrale caractéristique.

Transformée de Fourier et bruit
ftdidac.png
Evolution temporelle du bruit dans une TF. La durée d'observation augmentant, l'énergie du bruit se retrouve distribuée sur un nombre croissant de fréquences, contrairement au signal à fréquence bien déterminée.
Crédit : ASM

Bruit blanc

Un bruit gaussien ne montre aucune fréquence privilégiée, contrairement à un bruit en 1/f.

bruit1fspectrelog.png
Comparaison des spectre d'un bruit en 1/f et d'un bruit gaussien, avec une représentation en double échelle logarithmique.
Crédit : ASM

Apprendre

objectifsObjectifs

Utiliser la TF pour distinguer signaux et bruits

Signal ou bruit

La dialectique est simple : un bruit ne mérite ce titre qu'en l'absence de signature spectrale définie (un bruit blanc ne présente aucune particularité spectrale; un bruit instrumental, par effet de mémoire, présente plus d'énergie aux basses fréquences qu'aux fréquences plus élevées).

La TF permet par son principe, en classant et en analysant les fréquences constitutives d'une suite de données, de distinguer la part du signal de celle du bruit. En pratique, cela nécessite un rapport signal-à-bruit suffisant (mais qui peut être très faible).

Cohérence

Lorsque le nombre de données observationnelles augmente, un signal cohérent va garder une signature bien précise. En revanche, un bruit va voir son énergie diluée dans une multitude de fréquences.

La TF permet de faire ressortir du bruit un signal bien cohérent.


Simuler

Evolution temporelle des bruits et signaux

En augmentant la durée totale de la série temporelle de données, un signal périodique cohérent (càd de durée de vie supérieure à la durée d'observation) ressort peu à peu du bruit.

Comment faire taire le bruit ?
bruitf.gif
La durée d'observation augmentant, la puissance du bruit est peu à peu diluée sur un nombre croissant d'éléments spectraux, alors que le signal, supposé cohérent, s'accumule à une fréquence donnée.
Crédit : ASM

Faire taire le bruit

A l'aide de l'appliquette ci-dessous, on se propose d'évaluer comment le bruit évolue dans un spectre

application.png

Avec comme signal une sinusoïde, comme méthode la FT, et N (\simeq 100) points dans l'échantillon, faire varier le niveau de bruit B, et montrer que le signal est identifiable dans le spectre si son amplitude excède largement B/\sqrt{N}.

Si besoin, zoomer sur les hautes fréquences du spectre pour s'affranchir du fort signal à basse fréquence.


S'exercer

exerciceAstérosismologie

Difficulté : ☆☆☆   Temps : 30 min

Question 1)

La documentation de HARPS indique qu'un rapport signal à bruit de 500 sur un spectre correspond à une incertitude, exprimée en vitesse, de 45 cm/s. Par ailleurs, une cible de magnitude 5.5 conduit à un rapport signal à bruit de 200 avec des poses de 3 min. A quelle vitesse cela correspond-il ?

Question 2)

Combien de poses élémentaires sur une telle étoile sont nécessaires pour aboutir à un bruit résiduel de 5 cm/s. A quelle durée cela correspond-il ?

Question 3)

Sur la cible alphaCen B, très brillante, HARPS délivre un signal bruité à 2 cm/s, après 7 h d'observation. Les poses élémentaires étant de 1 min, quelle est la performance en vitesse sur une pose ?


Réponses aux exercices

pages_traiter/analyse-tf-sexercer.html

Exercice 'Conservation de l'énergie'


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Exercice 'Pulsation de coupure'


pages_traiter/analyse-tf-bruit-sexercer.html

Exercice 'Astérosismologie'