Ex : Dans le problème des 2-corps

Auteur: Alain Vienne

La loi des aires

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Introduction

La loi des aires est très facile à obtenir avec le produit vectoriel. Sans le produit vectoriel, on peut aller voir cet exercice.

Question 1)

Montrer que dans le problème képlérien, le moment cinétique:

$\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \wedge \frac{\overrightarrow{r}}{dt}$

est invariant.

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Question 2)

Montrer que le mouvement de se fait dans un plan passant par le point et orthogonal à $\overrightarrow{G}$ .

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Question 3)

En utilisant un élément d'aire parcouru par $\overrightarrow{r}$ pendant l'élément de temps , montrer la loi des aires proprement dite: L'aire balayée par unité de temps est constante.

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Auteur: Alain Vienne

Intégrale de Laplace

Difficulté : ☆ Temps : 20mn

Question 1)

Montrer l'expression suivante:

$\frac{d}{dt} (\frac{\overrightarrow{r}}{dt}\wedge \overrightarrow{G}) = \mu \frac{d}{dt} ( \frac{\overrightarrow{r}}{r})$

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Question 2)

Déduire de l'égalité précédente une expression qui est constante pendant le mouvement (intégrale de Laplace).

Solution