On trouvera dans cette partie les exercices suivants :
Auteur: Alain Vienne
En mécanique céleste, il est quelque fois utile d'utiliser certaines formules du problème à 2 corps (ou problème keplerien) sous forme de développements. Cela permet, en théorie des perturbations, de faire des calculs analytiques.
Par exemple, l'"équation du centre", qui donne la position du corps sur son orbite en fonction du temps, est:
est l'anomalie vraie, c'est à dire l'angle qui positionne le corps sur son orbite à partir de la direction du minimum de distance (péricentre ). est le temps ou plus précisément c'est l'anomalie moyenne avec la période, le temps et l'instant de passage au péricentre. est l'excentricité.
Attention cette formule est bien une série entière en (mais tronquée à l'ordre 4). Cela aurait été plus net si on l'avait écrit comme:
Mais, en fait, on préfère l'écriture en série de Fourier, c'est-à-dire:
En tant que série de Fourier, la convergence ne pose pas de problème car la fonction à considérer est de classe par rapport à la variable . Seulement, dès que les sont tronqués à un certain ordre en excentricité, cela revient à considérer la série entière.
L'exercice qui est proposé utilise le théorème de Lagrange pour montrer que la série entière ci-dessus (et toutes celles du problème des 2-corps) converge si . Cela signifie que ces séries ne peuvent être utilisées que pour des excentricités bien en deça de cette valeur. Evidemment, la solution du problème à 2 corps elle-même existe quelque soit l'excentricité.
Soit une fonction complexe de la variable complexe . Soient et des complexes.
Si est analytique à l'intérieur du contour du plan complexe entourant le point avec tel que :
Alors l'équation : a une raçine développable dans l'intérieur de en série entière de :
Plus généralement, pour toute fonction analytique dans , peut aussi être développée:
Un autre exercice avec ce théorème est disponible ici.
Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1h30
Dans le problème à 2 corps (voir, pour plus de détails, un cours d'astronomie, par exemple celui-ci) l'anomalie vraie et l'anomalie moyenne sont liées grâce à l'anomalie excentrique par les 2 formules suivantes:
, et
qui est appelée "équation de Képler".
Sachant que est le petit paramètre, montrer que l'équation de Kepler est de la forme indiquée dans le théorème de Lagrange. Indiquer à quoi correspond chacun des paramètres de ce théorème dans notre problème.
est donc complexe. On suppose réel et on pose: (module et argument). Exprimer puis en fonction de , et
Le contour est défini par . Le cas le plus défavorable correspond à maximum. Donner les conditions sur et correspondantes.
Que devient pour ces conditions?
Par la condition , on cherche donc à maximiser . Montrer que ce maximum est atteint pour En déduire la plus grande valeur de l'exentricité .
Ainsi pour , on peut écrire:
. Pour obtenir l'équation du centre, il faut encore utiliser la formule pour revenir à . Mais cette formule ne pose aucun problème de convergence. La valeur de est donc inchangée.
Auteur: Stéphane Erard
Les relations de Kramers-Kronig relient les indices de réfraction réel et imaginaire d'un même milieu matériel. Ceux-ci, bien qu'on les appelle couramment constantes optiques, varient en fonction de la longueur d'onde d'une façon caractéristique de la composition du milieu. A ce titre, ils jouent un rôle particulièrement important en Astrophysique puisque l'étude de la lumière produite, absorbée ou réfléchie par un astre distant permet de connaître sa composition.
La partie réelle de l'indice (généralement appelée indice de réfraction) intervient dans les lois de Snell-Descartes, la partie imaginaire (coefficient d'absorption) rendant compte de l'absorption au cours de la propagation dans le milieu. La mesure simultanée des deux quantités est difficile ; les relations de Kramers-Kronig qui permettent de calculer l'un en connaissant l'autre ont donc une grande importance pratique en spectroscopie de laboratoire.
Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min
Les équations de Maxwell dans un milieu matériel font intervenir un vecteur induction électrique défini comme :
où est le champ électrique appliqué, la polarisation électrique du milieu (qui décrit la réaction du milieu à l'application du champ électrique externe) et une constante physique appelée permittivité du vide.
Les propriétés du milieu lui-même sont décrites par un certain type de relation entre le champ électrique et la polarisation. Dans un grand nombre de cas (milieu isotrope, champ faible...) cette relation peut s'écrire :
où (la susceptibilité électrique) est a priori un tenseur d'ordre 2 dépendant du temps et de la position.
La solution des équations de Maxwell dans le milieu met en évidence l'indice de réfraction complexe de ce milieu :
où est la représentation en fréquence de , c'est-à-dire sa transformée de Fourier.
On considère un milieu linéaire, tel que :
Que représente la fonction G ?
Déduire en utilisant le théorème de convolution une relation entre les représentations en fréquence du champ électrique et de la polarisation, puis entre G et .
En supposant constantes les propriétés du milieu, comment peut-on simplifier la fonction G ?
On considère la fonction de la variable complexe , où est réel. Montrer qu'elle est analytique dans la partie supérieure du plan complexe.
Trouver un contour d'intégration adéquat pour calculer l'intégrale de . Calculer l'intégrale. Commentaire ?
En déduire une relation entre parties réelle et imaginaire de .
En explicitant les symétries de , trouver une autre écriture de ces relations.
On écrit l'indice de réfraction en fonction de l'indice réel n et du coefficient d'absorption , avec c = vitesse de la lumière :
Ecrire n en fonction de (ce sont les deux quantités directement mesurables). Quel est l'intérêt pratique de cette relation ?
pages_residus/exo-exc-limite.html
Il suffit d'identifier en acceptant que soit complexe. De plus qui est une fonction complexe.
, , et
Utiliser la fonction complexe , puis les fonctions réelles trigonométriques circulaires et hyperboliques avec les variables , et .
puis utiliser la formule d'addition. Puis que (de même avec le sinus)
D'après la question précédente, le cas le plus défavorable correspond à maximum et
et
La fonction est maximum pour racine de l'équation . Une résolution numérique (dichotomie, newton, ....) donne . Donc
pages_residus/exo-refraction.html
Remplacer le champ électrique par une impulsion
La polarisation est alors
G est donc la réponse impulsionnelle (polarisation résultant d'une impulsion unité, en l'occurrence un champ électrique externe appliqué pendant un court instant).
Le théorème de convolution donne directement :
où dénote la transformée de Fourier du champ électrique (fonction de la fréquence ) et où est celle de G(t). On a donc :
et
Puisque les propriétés du milieu sont constantes au cours du temps, G ne doit pas dépendre du moment considéré (t) mais seulement de l'intervalle de temps écoulé depuis l'application du champ électrique, (t-t').
Par ailleurs, la fonction G doit être causale : la polarisation du milieu ne peut dépendre que du champ appliqué avant l'instant t considéré.
On peut donc écrire G(t,t') = G(t-t'), avec G(t) = 0 pour t < 0. On a donc :
Si est analytique, la fonction l'est aussi sauf au pôle , situé sur l'axe réel.
Pour réel, est défini comme la transformée de Fourier de G, elle est donc analytique.
Pour tout t ≥ 0, dans la partie supérieure du plan complexe (où >0).
La définition assure que est fini, ce qui implique que converge.
Ces deux dernières conditions assurent que converge dans la partie supérieure du plan complexe.
On utilise le contour suivant, en faisant tendre vers l'infini sur , et vers 0 sur . Le théorème de Cauchy assure que l'intégrale le long de ce contour est nulle :
En appelant l'intégrale sur le contour , tend vers 0, la somme tend vers l'intégrale cherchée, et est donnée par le théorème de résidus. On a au total :
soit une relation entre et son intégrale avec un coefficient imaginaire, ce qui implique une relation entre les parties réelle et imaginaire de .
En posant on a :
La fonction étant réelle, le complexe conjugué de sa représentation en fréquence est tel que . En d'autres termes, est paire et est impaire. En remplaçant dans l'expression précédente, on trouve :
On suppose le milieu suffisamment dilué pour que
Le coefficient d'absorption se mesure facilement en transmission. Sa connaissance sur un domaine spectral suffisamment étendu permet de calculer l'indice réel à toute fréquence.