Définition

Auteurs: Marc Fouchard, S. Renner, Stéphane Erard

Rétrogradation de Mars
Ex : rétrogradation de Mars
Orbites perturbées du problème à 2 corps
Ex: Orbites perturbées du problème à 2 corps
Loi de Planck en fréquence
Ex: loi de Planck en fréquence

Rétrogradation de Mars

Auteur : Marc Fouchard

Le mouvement de Mars vu depuis la Terre montre des périodes pendant lesquelles Mars se déplace dans le sens inverse au Soleil par rapport au fond d'étoiles fixes. L'exercice présenté ici consiste à étudier cette phase de rétrogradation de Mars.

L'animation ci-dessous montre à gauche le mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil et à droite les mêmes mouvements vus depuis la Terre.

Retrogradation de Mars

Mouvement de la Terre et de Mars autour du Soleil.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Bessou Fouchard

On remarque que vu de la Terre le mouvement de Mars se fait dans le sens inverse (sens retrograde) à celui du Soleil (sens prograde). Le but de cet exercice est d'étudier cette phase de rétrogradation.

Ex : rétrogradation de Mars

Auteur: Marc Fouchard

Rétrogradation de Mars

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

On suppose que la Terre et Mars se déplacent uniformément sur des cercles centrés sur le Soleil . Soit $r_{\rm T}$ et $r_{\rm M}$ les rayons respectives des orbites de la Terre et de Mars, et $\omega_{\rm T}$ , $\omega_M$ leur vitesses angulaires respectives. On suppose que les plans de l'orbite de la Terre et de Mars sont confondus. Ainsi, dans un repère fixe centré sur le Soleil on note $(x_{\rm T},y_{\rm T})$ et $(x_{\rm M}, y_{\rm M})$ les coordonnées respectives de la Terre et de Mars. On suppose qu'initialement le Soleil, la Terre et Mars sont alignés dans cet ordre sur l'axe des abscisses du côté des abscisses positives.

Question 1)

Exprimer les coordonnées de la Terre et de Mars en fonction du rayon de leur orbite, de leur vitesse angulaire et du temps . Soit $(D\cos \lambda , D\sin \lambda)$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{TM}$ . En déduire une expression de et de $\lambda$ en fonction de $r_{\rm T}$ , $r_{\rm M}$ , $\omega_{\rm M}$ , $\omega_{\rm T}$ et .

Question 2)

Calculer la dérivée de $\lambda$ par rapport au temps, puis déterminer son signe pour $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ et $180^\circ$ . On utilisera la propriété $\omega_T^2 r_T^3=\omega_M^2 r_M^3$ qui dérive de la troisième loi de Kepler. Conclure.

Question 3)

Cacluler la valeur de $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t$ lorsque $\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ s'annule. Ces positions correspondent aux stations de Mars. On notera dans la suite t_s un instant conrrespondant à une station.

Question 4)

Calculer les deux instants correspondant aux stations en fonction de $\alpha=\sqrt{\frac{r_M}{r_T}}$ . En déduire la durée de la rétrogradation.

Orbites perturbées du problème à 2 corps

Auteur: S. Renner

Date de création: 04 avril 2011

L'objectif de cet exercice est de déterminer quels types de forces perturbatrices peuvent modifier le demi grand-axe ou l'excentricité d'une orbite.

Il est nécessaire de s'intéresser au préalable à la résolution du problème à 2 corps.

Ex: Orbites perturbées du problème à 2 corps

Auteur: S. Renner

Orbites perturbées du problème à 2 corps

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Un corps en orbite elliptique autour du Soleil (de rayon vecteur ) est soumis à une force perturbatrice de la forme $d {\bf F} = F_r {\bf u_r} + F_\theta {\bf u_\theta} + F_z {\bf u_z}$ , où F_r , $F_\theta$ , F_z sont respectivement les composantes (constantes) radiale, tangentielle et normale de la force, et ${\bf u_r} = {\bf r}/r$ , ${\bf u_\theta}$ , ${\bf u_z}$ des vecteurs orthonormés unitaires. Cette force est suffisamment faible pour que la trajectoire de l'objet reste keplerienne.

Question 1)

On peut écrire la variation d'énergie ${\dot E}={\dot \bf r}.d{\bf F}$ due à la force $d {\bf F}$ . Sachant de plus que ${\dot E}= \frac{\mu}{2a^2} {\dot a}$ avec $\mu = G (M+m)$ , montrer quels types de forces vont modifier le demi-grand axe en calculant da/dt .

Question 2)

En écrivant la variation du moment cinétique ${\dot h}$ due à $d {\bf F}$ , montrer quels types de forces modifient l'excentricité en calculant de/dt .

Loi de Planck en fréquence

Auteur: Stéphane Erard

Date de création: 07 mars 2013

La loi de Planck donnant le spectre du corps noir est souvent donnée en fonction de la longueur d'onde. L'objectif de cet exercice est de dériver cette loi en fonction de la fréquence du rayonnement. Cette expression est plus naturellement utilisée dans certains domaines, en particulier aux basses énergies (domaine radio) et aux basses températures (dans le milieu interstellaire par exemple).

Ex: loi de Planck en fréquence

Auteur: Stéphane Erard

Loi de Planck en fréquence

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

On connaît la luminance du corps noir en fonction de la longueur d'onde, donnée par la loi de Planck (voir par exemple l'exercice sur la loi de Wien) : $B_{\lambda} = \frac{2hc^2}{\lambda^5 (e^{hc/kT\lambda} -1) }$

où est la vitesse de la lumière dans le vide, la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde et la température du corps noir.

Cette expression est une luminance directionnelle, donnée habituellement en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,\mu m^{-1}$ .

Question 1)

Donner l'expression de cette luminance en fonction de la fréquence du rayonnement.

Question 2)

Comparer les graphiques de ces deux expressions en échelle linéaire.

Réponses aux exercices

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Exercice 'Rétrogradation de Mars'

Question 1
Solution :
Pour la Terre on a : $x_{\rm T}=r_{\rm T} \cos \left(\omega_{\rm T} t \right)$ $y_{\rm T}=r_{\rm T} \sin \left(\omega_{\rm T} t\right)$ .

Et pour Mars on a : $x_{\rm M}=r_{\rm M} \cos \left(\omega_{\rm M} t\right)$ $y_{\rm M}=r_{\rm M} \sin \left( \omega_{\rm M} t\right)$ .

On en déduit : $\overrightarrow{TM}=\left(x_{\rm M}-x_{\rm T}, y_{\rm M}-y_{\rm T}\right)=\left(r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos ( \omega_{\rm T}t),r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin (\omega_{\rm T}t)\right)$ .

On en déduit: $D^2=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-2r_{\rm M}r_{\rm T}\left(\cos(\omega_{\rm M}t)\cos (\omega_{\rm M}t)+\sin(\omega_{\rm M}t)\sin (\omega_{\rm M}t)\right)$ $=r_{\rm M}^2+r_{\rm T}^2-r_{\rm M}r_{\rm T}\cos\left((\omega_{\rm M}-\omega_{\rm T})t\right)$ ,

et $\tan \lambda = \frac{y_{\rm M}-y_{\rm T}}{x_{\rm M}-x_{\rm T}}=\frac{r_{\rm M}\sin (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\sin ( \omega_{\rm T}t)}{r_{\rm M}\cos (\omega_{\rm M}t)-r_{\rm T}\cos (\omega_{\rm T}t)}$ . Cette fonction n'est pas définie lorsque
Question 2
Solution :
On a: $\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}\lambda}\cdot \frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d}t}=\frac{1}{\cos^2 \lambda} \frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d}t}$ .

Or $\frac{{\rm d} \tan \lambda}{{\rm d}t}=\frac{\left(r_M \omega_M \cos (\omega_Mt)-r_T\omega_T\cos (\omega_Tt)\right)\left(r_M\cos (\omega_M t)-r_T\cos (\omega_T t)\right) + \left(r_M\sin (\omega_M t)-r_T\sin (\omega_T t)\right)\left(r_M \omega_M \sin (\omega_Mt)-r_T\omega_T\sin (\omega_Tt)\right)}{\left((r_M\cos (\omega_M t)-r_T\cos (\omega_T t)\right)^2}$ $=\frac{r_M^2\omega_M+r_T^2\omega_T-r_Tr_M(\omega_T+\omega_M)\cos(\omega_T-\omega_M)t)}{\left(r_M\cos(\omegat)-r_T\cos(\omega_Tt)\right)^2}$ .

Le signe de $\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ est celui du numérateur de l'expression ci-dessus. Ainsi, quand $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ , le signe de la dérivée est celui de $r_M^2\omega_M+r_T^2\omega_T-r_Tr_M(\omega_M+\omega_T)=(r_M-r_T)(r_M\omega_M-r_T\omega_T)=(r_M-r_T)(v_M-v_T)$ , oùt $v_M=r_M\omega_M$ et $v_T=r_T\omega_T$ .

Or d'après la propriété dérivant de la troisième loi de Kepler, on a $\left(\frac{v_M}{v_T}\right)^2=\frac{r_T}{r_M}$ . Ainsi, pour Mars on a et , donc la dérivée est négative. De même on montre que pour $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=180^\circ$ , la dérivée est positive.

On en conclue qu'effectivement lors de l'opposition ( $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=0^\circ$ ), le mouvement de Mars est rétrograde, alors qu'à la conjonction $\omega_{\rm M}t-\omega_{\rm T}t=180^\circ$ , le mouvement est prograde.
Question 3
Solution :
$\frac{{\rm d} \lambda}{{\rm d} t}$ s'annulle lorsque $\cos (\omega_Mt-\omega_Tt)=\frac{r_M^2\oemga_M+r_T^2\omega_T}{r_Mr_T(\omega_M+\omega_T)}$ , soit $(\omega_Mt-\omega_Tt)=\cos^{-1}\left(\frac{r_M^2\oemga_M+r_T^2\omega_T}{r_Mr_T(\omega_M+\omega_T)}\right)$ .

Ce qui nous donne, à $2\pi$ près, deux solutions opposées l'une de l'autre.
Question 4
Solution :
On a $t_s=\frac{\pm 1}{|\omega_M-\omega_T|}\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\alpha^2-\alpha+1}\right)$ , d'où la durée de la rétrogradation $T_s=\frac{2}{|\omega_M-\omega_T|}\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\alpha^2-\alpha+1}\right)$ .

Pour Mars, cette durée est égale à 72,8 jours.

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Exercice 'Orbites perturbées du problème à 2 corps'

Question 1
Solution :
${\dot E}={\dot \bf r}.d{\bf F} = {\dot r}. F_r + r{\dot \theta}. F_\theta$ et ${\dot E}= \frac{\mu}{2a^2} {\dot a}$ , où $\mu = G (M+m)$ .

Or $r=a(1-e^2)/(1+e \cos (\theta - \varpi) )$ , $a^3 n^2 = \mu$ donc ${\dot r}=(nae\sin(\theta - \varpi) ) / \sqrt{1 - e^2}$ et $r {\dot \theta} = (na [1 + e \cos(\theta - \varpi) ]) / \sqrt{1 - e^2}$ .

Finalement ${\dot a} = 2 a^{\displaystyle 3/2} [F_r e \sin (\theta - \varpi) + F_\theta (1 + e \cos (\theta - \varpi)) ]/\sqrt{\mu(1-e^2)}$

Les forces dans le plan orbital peuvent modifier le demi-grand axe
Question 2
Solution :
$h^2 = \mu a (1- e^2)$ , $E= -\mu/2a$ , donc $e=\sqrt{1 + 2 h^2 E \mu^{-2}}$ et ${\dot e} = \frac{e^2-1}{2e} (2 {\dot h}/h + {\dot E}/E )$ .

$d {\bf h}/dt = {\bf r} \Lambda d {\bf F} = r F_\theta {\bf u_z} - r F_z {\bf u_\theta}$ donc $dh/dt = {\dot h} = r F_\theta$

Sachant que de plus $r=a(1 - e \cos AE)$ où est l'anomalie excentrique, on obtient alors ${\dot e} = \sqrt{a(1-e^2)/\mu}[F_r \sin(\theta - \varpi) + F_\theta (\cos (\theta-\varpi) + \cos AE]$ .

Les forces dans le plan orbital peuvent modifier l'excentricité.

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Exercice 'Loi de Planck en fréquence'

Question 1
Aide :
Longueur d'onde et fréquence d'un rayonnement sont reliés par $\lambda = c / \nu$

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

Solution :
Les intégrales en $\lambda$ et $\nu$ sont égales, elles donnent toutes deux la luminance intégrale du corps noir (loi de Stefan) :

$\int{B_{\lambda} d_{\lambda}} =\int{B_{\nu} d_{\nu}} = \frac{\sigma}{\pi} T^4$

En dérivant, on obtient :

$|B_{\lambda} d_{\lambda}| =|B_{\nu} d_{\nu}|$ où $\frac{d_{\lambda} } {d_{\nu}} = \frac{\lambda^2}{c}$

Le changement de variable donne directement :

$B_{\nu} = \frac{2h\nu^3}{c^2 (e^{h\nu/kT} -1) }$ (donné couramment en $W\,m^{-2}\,sr^{-1}Hz^{-1}$ )
Question 2
Solution :

Corps noir en longueur d'onde

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Corps noir en fréquence

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Outre la forme différente, on voit que le maximum se déplace en direction inverse quand la température augmente.